إضافة جذرين متطابقين. حساب الجذر التربيعي لعدد

الجذر التربيعي لعدد Xاتصل بالرقم أ، والتي في عملية الضرب في حد ذاتها ( أ*أ) يمكن أن تعطي رقما X.
أولئك. أ * أ = أ 2 = س، و √س = أ.

فوق الجذور التربيعية ( √x)، مثل الأرقام الأخرى، يمكنك إجراء العمليات الحسابية مثل الطرح والجمع. لطرح وإضافة الجذور، يجب أن تكون متصلة باستخدام علامات تتوافق مع هذه الإجراءات (على سبيل المثال √س - √y ).
ومن ثم جلب الجذور لهم أبسط شكل- إذا كان بينهما تشابه فلا بد من التخفيض. وهي أخذ معاملات الحدود المتشابهة مع إشارات الحدود المتناظرة، ثم وضعها بين قوسين، واستنتاج الجذر المشترك خارج قوسي العامل. تم تبسيط المعامل الذي حصلنا عليه وفقًا للقواعد المعتادة.

الخطوة الأولى: استخراج الجذور التربيعية

أولاً، لإضافة جذور تربيعية، عليك أولاً استخراج هذه الجذور. يمكن القيام بذلك إذا كانت الأرقام الموجودة أسفل علامة الجذر عبارة عن مربعات كاملة. على سبيل المثال، خذ التعبير المحدد √4 + √9 . الرقم الأول 4 هو مربع العدد 2 . الرقم الثاني 9 هو مربع العدد 3 . وبذلك يمكننا الحصول على المساواة التالية: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
هذا كل شيء، تم حل المثال. لكن الأمر ليس بهذه البساطة دائمًا.

الخطوة 2. إخراج مضاعف الرقم من تحت الجذر

إذا لم تكن هناك مربعات كاملة تحت علامة الجذر، فيمكنك محاولة إزالة مضاعف الرقم من أسفل علامة الجذر. على سبيل المثال، لنأخذ التعبير √24 + √54 .

عامل الأرقام:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

ضمن 24 لدينا مضاعف 4 ، يمكن إخراجها من تحت اللافتة الجذر التربيعي. ضمن 54 لدينا مضاعف 9 .

نحصل على المساواة:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

وبالنظر إلى هذا المثال، حصلنا على إزالة المضاعف من تحت علامة الجذر، وبالتالي تبسيط التعبير المعطى.

الخطوة 3: تقليل المقام

خذ بعين الاعتبار الموقف التالي: مجموع جذرين تربيعيين هو مقام الكسر، على سبيل المثال: أ/(√أ + √ب).
والآن نحن أمام مهمة "التخلص من اللاعقلانية في المقام".
دعونا نستفيد بالطريقة التالية: اضرب بسط ومقام الكسر بالتعبير √أ - √ب.

نحصل الآن على صيغة الضرب المختصرة في المقام:
(√أ + √ب) * (√أ - √ب) = أ - ب.

وبالمثل، إذا كان للمقام اختلاف جذري: √أ - √ب، يتم ضرب بسط ومقام الكسر بالتعبير √أ + √ب.

لنأخذ الكسر كمثال:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

مثال على تخفيض المقام المركب

الآن سننظر في مثال معقد إلى حد ما للتخلص من اللاعقلانية في المقام.

على سبيل المثال، لنأخذ الكسر: 12 / (√2 + √3 + √5) .
عليك أن تأخذ البسط والمقام وتضربهما بالتعبير √2 + √3 - √5 .

نحصل على:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

الخطوة 4. احسب القيمة التقريبية على الآلة الحاسبة

إذا كنت تحتاج فقط إلى قيمة تقريبية، فيمكن القيام بذلك باستخدام الآلة الحاسبة عن طريق حساب قيمة الجذور التربيعية. يتم حساب القيمة بشكل منفصل لكل رقم وتدوينها بالدقة المطلوبة والتي يتم تحديدها من خلال عدد المنازل العشرية. بعد ذلك، يتم تنفيذ كافة العمليات المطلوبة، كما هو الحال مع الأرقام العادية.

مثال لحساب قيمة تقريبية

من الضروري حساب القيمة التقريبية لهذا التعبير √7 + √5 .

ونتيجة لذلك نحصل على:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

يرجى ملاحظة: لا ينبغي بأي حال من الأحوال إضافة جذور تربيعية مثل الأعداد الأولية، وهذا غير مقبول على الإطلاق. أي أننا إذا جمعنا الجذر التربيعي لخمسة والجذر التربيعي لثلاثة، فلن نتمكن من الحصول على الجذر التربيعي لثمانية.

نصيحة مفيدة: إذا قررت تحليل رقم ما، لاشتقاق المربع من تحت علامة الجذر، فأنت بحاجة إلى إجراء فحص عكسي، أي مضاعفة جميع العوامل التي نتجت عن الحسابات، والنتيجة النهائية لذلك يجب أن يكون الحساب الرياضي هو الرقم الذي تم إعطاؤه لنا في الأصل.

الحقيقة 1.
\(\bullet\) لنأخذ بعض الأعداد غير السالبة \(a\) (أي \(a\geqslant 0\) ). ثم (الحسابية) الجذر التربيعيمن الرقم \(a\) يسمى هذا الرقم غير السالب \(b\) ، عند التربيع نحصل على الرقم \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(نفس )\quad a=b^2\]ويترتب على ذلك من التعريف \(a\geqslant 0، b\geqslant 0\). هذه القيود شرط مهموجود الجذر التربيعي ويجب أن نتذكر!
تذكر أن أي رقم عند تربيعه يعطي نتيجة غير سلبية. أي \(100^2=10000\geqslant 0\) و \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) ما الذي يساوي \(\sqrt(25)\)؟ نحن نعلم أن \(5^2=25\) و \((-5)^2=25\) . نظرًا لأنه يجب علينا العثور على رقم غير سالب بحكم التعريف، فإن \(-5\) غير مناسب، لذلك \(\sqrt(25)=5\) (نظرًا لأن \(25=5^2\) ).
يُطلق على إيجاد قيمة \(\sqrt a\) أخذ الجذر التربيعي للرقم \(a\) ، ويسمى الرقم \(a\) بالتعبير الجذري.
\(\bullet\) استنادًا إلى التعريف والتعبير \(\sqrt(-25)\)، \(\sqrt(-4)\)، وما إلى ذلك. لا معنى له.

الحقيقة 2.
لإجراء حسابات سريعة، سيكون من المفيد تعلم جدول مربعات الأعداد الطبيعية من \(1\) إلى \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

الحقيقة 3.
ما هي العمليات التي يمكنك القيام بها مع الجذور التربيعية؟
\(\رصاصة\) مجموع الجذور التربيعية أو الفرق بينها لا يساوي الجذر التربيعي للمجموع أو الفرق \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]وبالتالي، إذا كنت بحاجة إلى حساب، على سبيل المثال، \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) ، فيجب عليك في البداية العثور على قيم \(\sqrt(25)\) و \(\ sqrt(49)\ ) ثم قم بطيها. لذلك، \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] إذا تعذر العثور على القيم \(\sqrt a\) أو \(\sqrt b\) عند إضافة \(\sqrt a+\sqrt b\)، فلن يتم تحويل هذا التعبير بشكل أكبر ويبقى كما هو. على سبيل المثال، في المجموع \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) يمكننا أن نجد \(\sqrt(49)\) هو \(7\) ، لكن \(\sqrt 2\) لا يمكن تحويله إلى بأي شكل من الأشكال، لهذا السبب \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). لسوء الحظ، لا يمكن تبسيط هذا التعبير أكثر\(\bullet\) حاصل ضرب/حاصل الجذور التربيعية يساوي الجذر التربيعي لحاصل الضرب/حاصل القسمة، أي \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (بشرط أن يكون كلا طرفي المساواة منطقيين)
مثال: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) باستخدام هذه الخصائص، من السهل إيجاد الجذور التربيعية لـأعداد كبيرة
عن طريق التخصيم لهم.
دعونا نلقي نظرة على مثال. لنجد \(\sqrt(44100)\) . منذ \(44100:100=441\) ، ثم \(44100=100\cdot 441\) . وفقاً لمعيار قابلية القسمة، فإن الرقم \(441\) يقبل القسمة على \(9\) (حيث أن مجموع أرقامه هو 9 وهو يقبل القسمة على 9)، وبالتالي \(441:9=49\)، أي \(441=9\ cdot 49\) . وهكذا حصلنا على:\[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] دعونا ننظر إلى مثال آخر:
\(\bullet\) لنوضح كيفية إدخال الأرقام تحت علامة الجذر التربيعي باستخدام مثال التعبير \(5\sqrt2\) (تدوين قصير للتعبير \(5\cdot \sqrt2\)). منذ \(5=\sqrt(25)\) إذن \ لاحظ أيضًا أنه على سبيل المثال،
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

لماذا هذا؟ دعونا نشرح باستخدام المثال 1). كما تعلم، لا يمكننا بطريقة أو بأخرى تحويل الرقم \(\sqrt2\). لنتخيل أن \(\sqrt2\) هو رقم \(a\) . وبناء على ذلك، فإن التعبير \(\sqrt2+3\sqrt2\) ليس أكثر من \(a+3a\) (رقم واحد \(a\) بالإضافة إلى ثلاثة أرقام أخرى من نفس \(a\)). ونحن نعلم أن هذا يساوي أربعة أرقام من هذا القبيل \(a\) ، أي \(4\sqrt2\) .

الحقيقة 4.
\(\bullet\) غالبًا ما يقولون "لا يمكنك استخراج الجذر" عندما لا تتمكن من التخلص من علامة \(\sqrt () \ \) للجذر (الجذر) عند إيجاد قيمة الرقم . على سبيل المثال، يمكنك أخذ جذر الرقم \(16\) لأن \(16=4^2\) ، وبالتالي \(\sqrt(16)=4\) . لكن من المستحيل استخراج جذر الرقم \(3\)، أي العثور على \(\sqrt3\)، لأنه لا يوجد رقم مربع سيعطي \(3\) .
هذه الأرقام (أو التعبيرات التي تحتوي على هذه الأرقام) غير منطقية. على سبيل المثال، الأرقام \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)إلخ. غير عقلانية.
كما أن الأرقام غير المنطقية \(\pi\) (الرقم "pi"، يساوي تقريبًا \(3.14\))، \(e\) (يُسمى هذا الرقم رقم أويلر، وهو يساوي تقريبًا \(2.7) \)) إلخ.
\(\bullet\) يرجى ملاحظة أن أي رقم سيكون إما نسبيًا أو غير نسبي. وتشكل جميع الأعداد النسبية وغير المنطقية معًا مجموعة تسمى مجموعة من الأعداد الحقيقيةيُشار إلى هذه المجموعة بالحرف \(\mathbb(R)\) .
وهذا يعني أن جميع الأرقام التي نعرفها حاليًا تسمى أرقامًا حقيقية.

الحقيقة 5.
\(\bullet\) معامل الرقم الحقيقي \(a\) هو عدد غير سالب \(|a|\) يساوي المسافة من النقطة \(a\) إلى \(0\) على النقطة خط حقيقي. على سبيل المثال، \(|3|\) و \(|-3|\) تساوي 3، نظرًا لأن المسافات من النقطتين \(3\) و \(-3\) إلى \(0\) هي نفسه ويساوي \(3 \) .
\(\bullet\) إذا كان \(a\) رقمًا غير سالب، فإن \(|a|=a\) .
مثال: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) .
\(\bullet\) إذا كان \(a\) رقمًا سالبًا، فإن \(|a|=-a\) . مثال: \(|-5|=-(-5)=5\) ;.
\(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\)
يقولون أنه بالنسبة للأرقام السالبة، فإن المعامل "يأكل" الطرح، في حين أن الأرقام الموجبة، وكذلك الرقم \(0\)، تبقى دون تغيير بواسطة المعامل.تنطبق هذه القاعدة على الأرقام فقط. إذا كان يوجد تحت علامة المعامل الخاص بك مجهول \(x\) (أو غير معروف آخر)، على سبيل المثال، \(|x|\) ، والذي لا نعرف عنه ما إذا كان موجبًا أم صفرًا أم سالبًا، فتخلص منه من المعامل لا نستطيع. في هذه الحالة، يبقى هذا التعبير كما هو: \(|x|\) . \(\bullet\) تحتوي الصيغ التالية على: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\]\[(\كبير((\sqrt(a))^2=a)))، \text(متوفر ) a\geqslant 0\] في كثير من الأحيان يتم ارتكاب الخطأ التالي: يقولون أن \(\sqrt(a^2)\) و \(\sqrt a)^2\) هما نفس الشيء. هذا صحيح فقط إذا \(أ\) –رقم إيجابي
أو صفر. ولكن إذا كان \(a\) رقمًا سالبًا، فهذا غير صحيح. ويكفي النظر في هذا المثال. لنأخذ بدلاً من \(a\) الرقم \(-1\) . إذن \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) ، لكن التعبير \(\sqrt (-1))^2\) غير موجود على الإطلاق (بعد كل شيء، من المستحيل استخدام علامة الجذر لوضع أرقام سالبة!).لذلك نلفت انتباهكم إلى أن \(\sqrt(a^2)\) لا يساوي \(\sqrt a)^2\) ! مثال: 1)\(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\)<0\) ;

، لأن \(-\sqrt2 \(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) .
\(\bullet\) منذ \(\sqrt(a^2)=|a|\) ، ثم \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
(يشير التعبير \(2n\) إلى رقم زوجي)
أي أنه عند استخراج جذر عدد يكون بدرجة ما، تنخفض هذه الدرجة إلى النصف.
مثال:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)

2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (لاحظ أنه إذا لم يتم توفير الوحدة، فسيتبين أن جذر الرقم يساوي \(-25\ ) ؛ ولكننا نتذكر أنه بحكم تعريف الجذر، لا يمكن أن يحدث هذا: عند استخراج الجذر، يجب أن نحصل دائمًا على رقم موجب أو صفر)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (نظرًا لأن أي رقم بقوة زوجية ليس سالبًا)
الحقيقة 6.<\sqrt b\) , то \(a(يشير التعبير \(2n\) إلى رقم زوجي)
كيفية المقارنة بين جذرين تربيعيين؟ \(\bullet\) صحيح بالنسبة للجذور التربيعية: إذا كان \(\sqrt a 1) قارن \(\sqrt(50)\) و \(6\sqrt2\) . أولاً، دعونا نحول التعبير الثاني إلى<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
\(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\)
. وهكذا، منذ \(50<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
2) بين ما الأعداد الصحيحة يقع \(\sqrt(50)\)؟ بما أن \(\sqrt(49)=7\) و \(\sqrt(64)=8\) و \(49) 3) دعونا نقارن \(\sqrt 2-1\) و \(0.5\) . لنفترض أن \(\sqrt2-1>0.5\) :<0,5\) .
لاحظ أن إضافة عدد معين إلى طرفي المتراجحة لا يؤثر على إشارتها. ضرب/قسمة طرفي المتراجحة على رقم موجب لا يؤثر أيضًا على إشارتها، لكن الضرب/القسمة على رقم سالب يعكس إشارة المتراجحة!
لا يمكنك تربيع طرفي المعادلة/عدم المساواة إلا إذا كان كلا الطرفين غير سالب. على سبيل المثال، في المتباينة من المثال السابق يمكنك تربيع الطرفين، في المتباينة \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) يجب أن نتذكر ذلك \[\begin(محاذاة) &\sqrt 2\Approx 1.4\\ &\sqrt 3\Approx 1.7 \end(محاذاة)\]معرفة المعنى التقريبي لهذه الأرقام سيساعدك عند المقارنة بين الأرقام!
\(\bullet\) من أجل استخراج الجذر (إذا كان من الممكن استخلاصه) من عدد كبير غير موجود في جدول المربعات، يجب عليك أولاً تحديد "المئات" التي يقع بينها، ثم - بين أي " عشرات"، ثم حدد الرقم الأخير من هذا الرقم. دعونا نظهر كيف يعمل هذا مع مثال.
لنأخذ \(\sqrt(28224)\) . نحن نعلم أن \(100^2=10\,000\)، \(200^2=40\,000\)، وما إلى ذلك. لاحظ أن \(28224\) يقع بين \(10\,000\) و \(40\,000\) . لذلك، \(\sqrt(28224)\) يقع بين \(100\) و \(200\) .
الآن دعونا نحدد بين أي "عشرات" يقع رقمنا (أي، على سبيل المثال، بين \(120\) و\(130\)). ومن جدول المربعات أيضًا نعلم أن \(11^2=121\) ، \(12^2=144\) وما إلى ذلك، ثم \(110^2=12100\) ، \(120^2=14400 \) ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \) ) . لذلك نرى أن \(28224\) يقع بين \(160^2\) و \(170^2\) . ولذلك فإن الرقم \(\sqrt(28224)\) يقع بين \(160\) و \(170\) .
دعونا نحاول تحديد الرقم الأخير. دعونا نتذكر ما هي الأعداد المكونة من رقم واحد، عند تربيعها، تعطي \(4\) في النهاية؟ وهما \(2^2\) و \(8^2\) . لذلك، \(\sqrt(28224)\) سينتهي إما بالرقم 2 أو 8. دعونا نتحقق من ذلك. لنجد \(162^2\) و \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .

من أجل حل اختبار الدولة الموحدة في الرياضيات بشكل مناسب، تحتاج أولاً إلى دراسة المواد النظرية، والتي تعرفك على العديد من النظريات والصيغ والخوارزميات وما إلى ذلك. للوهلة الأولى، قد يبدو أن هذا بسيط للغاية. ومع ذلك، فإن العثور على مصدر يتم فيه تقديم نظرية امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات بطريقة سهلة ومفهومة للطلاب الذين لديهم أي مستوى من التدريب، هو في الواقع مهمة صعبة إلى حد ما. لا يمكن دائمًا الاحتفاظ بالكتب المدرسية في متناول اليد. وقد يكون العثور على الصيغ الأساسية لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات أمرًا صعبًا حتى على الإنترنت.

لماذا من المهم جدًا دراسة النظرية في الرياضيات ليس فقط لأولئك الذين يتقدمون لامتحان الدولة الموحدة؟

1. لأنه يوسع آفاقك. تعد دراسة المواد النظرية في الرياضيات مفيدة لأي شخص يرغب في الحصول على إجابات لمجموعة واسعة من الأسئلة المتعلقة بمعرفة العالم من حوله. كل شيء في الطبيعة منظم وله منطق واضح. وهذا بالضبط ما ينعكس في العلم، الذي من خلاله يمكن فهم العالم.
2. لأنه ينمي الذكاء. من خلال دراسة المواد المرجعية لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات، وكذلك حل المهام المختلفة، يتعلم الشخص التفكير والتفكير المنطقي، وصياغة الأفكار بكفاءة ووضوح. ينمي لديه القدرة على التحليل والتعميم واستخلاص النتائج.

نحن ندعوك إلى إجراء تقييم شخصي لجميع مزايا نهجنا في تنظيم وعرض المواد التعليمية.

إن استخراج الجذر الربعي لعدد ما ليس العملية الوحيدة التي يمكن إجراؤها بهذه الظاهرة الرياضية. تمامًا مثل الأعداد العادية، فإن الجذور التربيعية تجمع وتطرح.

قواعد جمع وطرح الجذور التربيعية

لا تكون العمليات مثل جمع وطرح الجذور التربيعية ممكنة إلا إذا كان التعبير الجذري هو نفسه.

مثال 1

يمكنك إضافة أو طرح التعبيرات 2 3 و 6 3ولكن ليس 56 و 9 4. إذا كان من الممكن تبسيط التعبير وإرجاعه إلى جذور لها نفس الجذر، فقم بالتبسيط ثم الجمع أو الطرح.

الإجراءات ذات الجذور: الأساسيات

6 50 - 2 8 + 5 12

خوارزمية العمل:

1. تبسيط التعبير الجذري. للقيام بذلك، من الضروري تحليل التعبير الجذري إلى عاملين، أحدهما رقم مربع (الرقم الذي يتم استخراج الجذر التربيعي بالكامل منه، على سبيل المثال، 25 أو 9).
2. ثم عليك أن تأخذ جذر الرقم المربعواكتب القيمة الناتجة قبل علامة الجذر. يرجى ملاحظة أنه يتم إدخال العامل الثاني تحت إشارة الجذر.
3. بعد عملية التبسيط، من الضروري التأكيد على الجذور بنفس التعبيرات الجذرية - فقط يمكن جمعها وطرحها.
4. بالنسبة للجذور التي لها نفس التعبيرات الجذرية، فمن الضروري إضافة أو طرح العوامل التي تظهر قبل علامة الجذر. يبقى التعبير الراديكالي دون تغيير. لا يمكنك جمع أو طرح أرقام جذرية!

نصيحة 1

إذا كان لديك مثال يحتوي على عدد كبير من التعبيرات الجذرية المتطابقة، فقم بوضع خط تحت هذه التعبيرات بأسطر مفردة ومزدوجة وثلاثية لتسهيل عملية الحساب.

مثال 3

دعونا نحاول حل هذا المثال:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. تحتاج أولاً إلى تحليل 50 إلى عاملين 25 و2، ثم أخذ جذر 25، وهو ما يساوي 5، وإخراج 5 من تحت الجذر. بعد ذلك، عليك أن تضرب 5 في 6 (المضاعف في الجذر) وتحصل على 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. تحتاج أولاً إلى تحليل 8 إلى عاملين: 4 و2. ثم خذ الجذر من 4، وهو ما يساوي 2، واستخرج 2 من تحت الجذر. بعد ذلك، عليك أن تضرب 2 في 2 (العامل عند الجذر) لتحصل على 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. تحتاج أولاً إلى تحليل 12 إلى عاملين: 4 و3. ثم قم باستخراج جذر 4، الذي يساوي 2، وقم بإزالته من تحت الجذر. بعد ذلك، عليك أن تضرب 2 في 5 (العامل عند الجذر) وتحصل على 10 3.

نتيجة التبسيط: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

ونتيجة لذلك، رأينا عدد التعبيرات الجذرية المتطابقة الموجودة في هذا المثال. الآن دعونا نتدرب مع أمثلة أخرى.

مثال 4

• دعونا نبسط (45). العامل 45: (45) = (9 × 5) ؛
• نخرج 3 من تحت الجذر (9 = 3): 45 = 3 5 ;
• أضف العوامل عند الجذور: 5 3 + 5 4 = 5 7.

مثال 5

6 40 - 3 10 + 5:

• دعونا نبسط 6 40. نحلل 40: 6 40 = 6 (4 × 10) ؛
• نخرج 2 من تحت الجذر (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
• نضرب العوامل التي تظهر أمام الجذر: 12 10 ;
• نكتب التعبير بشكل مبسط: 12 10 - 3 10 + 5 ;
• بما أن الحدين الأولين لهما نفس الأعداد الجذرية، فيمكننا طرحهما: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

مثال 6

كما نرى، ليس من الممكن تبسيط الأعداد الجذرية، لذلك نبحث عن الحدود التي لها نفس الأعداد الجذرية في المثال، ونجري عمليات رياضية (جمع، طرح، إلخ) ونكتب النتيجة:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

نصيحة:

• قبل الجمع أو الطرح، من الضروري تبسيط التعبيرات الجذرية (إن أمكن).
• يمنع منعا باتا إضافة وطرح الجذور ذات التعبيرات الجذرية المختلفة.
• لا ينبغي عليك إضافة أو طرح عدد صحيح أو جذر: 3 + (2 x) 1 / 2 .
• عند إجراء عمليات على الكسور، تحتاج إلى العثور على رقم يقبل القسمة على كل مقام، ثم إحضار الكسور إلى مقام مشترك، ثم إضافة البسطين، وترك المقامات دون تغيير.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

موضوع الجذور التربيعية إلزامي في مناهج الرياضيات المدرسية. لا يمكنك الاستغناء عنها عند حل المعادلات التربيعية. وبعد ذلك، يصبح من الضروري ليس فقط استخراج الجذور، ولكن أيضا تنفيذ إجراءات أخرى معهم. من بينها معقدة للغاية: الأس والضرب والقسمة. ولكن هناك أيضًا طرقًا بسيطة جدًا: طرح الجذور وإضافتها. بالمناسبة، يبدو الأمر كذلك للوهلة الأولى فقط. إن تنفيذها دون أخطاء ليس بالأمر السهل دائمًا بالنسبة لشخص بدأ للتو في التعرف عليها.

ما هو الجذر الرياضي؟

نشأ هذا الإجراء في معارضة الأسي. تقترح الرياضيات عمليتين متعارضتين. هناك الطرح للإضافة. الضرب يعارض القسمة. الإجراء العكسي للدرجة هو استخراج الجذر المقابل.

فإذا كانت الدرجة اثنتين، فإن الجذر سيكون مربعًا. وهو الأكثر شيوعا في الرياضيات المدرسية. ليس لديها حتى إشارة إلى أنها مربعة، أي أن الرقم 2 لم يتم تعيينه بجانبها. يتم عرض التدوين الرياضي لهذا العامل (الجذري) في الشكل.

يتدفق تعريفه بسلاسة من الإجراء الموصوف. لاستخراج الجذر التربيعي لعدد ما، عليك معرفة ما سيعطيه التعبير الجذري عند ضربه بنفسه. سيكون هذا الرقم هو الجذر التربيعي. إذا كتبنا ذلك رياضيًا، فسنحصل على ما يلي: x*x=x 2 =y، وهو ما يعني √y=x.

ما هي الإجراءات التي يمكنك القيام بها معهم؟

الجذر في جوهره هو قوة كسرية بها واحد في البسط. والمقام يمكن أن يكون أي شيء. على سبيل المثال، الجذر التربيعي له اثنان. ولذلك، فإن جميع الإجراءات التي يمكن تنفيذها بالصلاحيات ستكون صالحة أيضًا للجذور.

ومتطلبات هذه الإجراءات هي نفسها. إذا لم يكن الضرب والقسمة والأس يواجه صعوبات لدى الطلاب، فإن إضافة الجذور، مثل طرحها، يؤدي أحيانًا إلى الارتباك. وكل ذلك لأنني أريد إجراء هذه العمليات دون النظر إلى علامة الجذر. وهنا تبدأ الأخطاء.

ما هي قواعد الجمع والطرح؟

عليك أولاً أن تتذكر شيئين "ممنوعين" بشكل قاطع:

• من المستحيل إجراء عمليات الجمع والطرح للجذور، كما هو الحال مع الأعداد الأولية، أي أنه من المستحيل كتابة تعبيرات جذرية للمجموع تحت علامة واحدة وإجراء عمليات رياضية معهم؛
• لا يمكنك جمع وطرح جذور ذات أسس مختلفة، على سبيل المثال مربع ومكعب.

مثال واضح على المنع الأول: √6 + √10 ≠ √16، لكن √(6 + 10) = √16.

وفي الحالة الثانية، من الأفضل أن يقتصر الأمر على تبسيط الجذور نفسها. واترك مبلغهم في الجواب.

الآن إلى القواعد

1. ابحث عن الجذور المتشابهة وقم بتجميعها. وهذا هو، أولئك الذين ليس لديهم نفس الأرقام تحت الجذر فحسب، بل لديهم نفس المؤشر.
2. قم بإجراء إضافة الجذور المدمجة في مجموعة واحدة في الإجراء الأول. إنه سهل التنفيذ لأنك تحتاج فقط إلى إضافة القيم التي تظهر أمام الجذور.
3. استخرج جذور تلك الحدود التي يشكل فيها التعبير الجذري مربعًا كاملاً. بمعنى آخر، لا تترك أي شيء تحت علامة الراديكالي.
4. تبسيط التعبيرات الجذرية. للقيام بذلك، تحتاج إلى تحليلها إلى عوامل أولية ومعرفة ما إذا كانت تعطي مربع أي رقم. ومن الواضح أن هذا صحيح عندما نتحدث عن الجذر التربيعي. عندما يكون الأس ثلاثة أو أربعة، فإن العوامل الأولية يجب أن تعطي المكعب أو القوة الرابعة للرقم.
5. أزل من تحت علامة الراديكالي العامل الذي يعطي القوة الكاملة.
6. معرفة ما إذا كانت المصطلحات المماثلة تظهر مرة أخرى. إذا كانت الإجابة بنعم، فقم بتنفيذ الخطوة الثانية مرة أخرى.

في الحالة التي لا تتطلب فيها المهمة القيمة الدقيقة للجذر، يمكن حسابها باستخدام الآلة الحاسبة. قم بتقريب الكسر العشري الذي لا نهاية له والذي يظهر في نافذته. في أغلب الأحيان يتم ذلك حتى المئات. ثم قم بإجراء جميع العمليات على الكسور العشرية.

هذه هي كل المعلومات حول كيفية إضافة الجذور. الأمثلة أدناه سوف توضح ما ورد أعلاه.

المهمة الأولى

احسب قيمة التعبيرات:

أ) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18؛

ب) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300؛

ج) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

أ) إذا اتبعت الخوارزمية المذكورة أعلاه، يمكنك أن ترى أنه لا يوجد شيء للإجراءين الأولين في هذا المثال. ولكن يمكنك تبسيط بعض التعبيرات الجذرية.

على سبيل المثال، قم بتحليل 32 إلى عاملين 2 و16؛ 18 سيكون مساويا لحاصل ضرب 9 و 2؛ 128 يساوي 2 على 64. في ضوء ذلك، سيتم كتابة التعبير على النحو التالي:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

أنت الآن بحاجة إلى إزالة العوامل التي تعطي مربع الرقم من تحت العلامة الجذرية. هذا هو 16=4 2، 9=3 2، 64=8 2. التعبير سوف يأخذ الشكل :

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

نحن بحاجة إلى تبسيط التسجيل قليلا. للقيام بذلك، اضرب المعاملات قبل علامات الجذر:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

في هذا التعبير، تبين أن جميع المصطلحات متشابهة. لذلك، تحتاج فقط إلى طيها. الجواب سيكون: 5√2.

ب) كما في المثال السابق، فإن إضافة الجذور يبدأ بتبسيطها. التعبيرات الجذرية 75، 147، 48 و 300 سيتم تمثيلها في الأزواج التالية: 5 و 25، 3 و 49، 3 و 16، 3 و 100. كل واحد منهم يحتوي على رقم يمكن إخراجه من تحت علامة الجذر :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

بعد التبسيط، الإجابة هي: 5√5 - 5√3. يمكن تركه بهذه الصورة، لكن من الأفضل إخراج العامل المشترك 5 من القوسين: 5 (√5 - √3).

ج) ومرة ​​أخرى التحليل: 275 = 11 * 25، 99 = 11 * 9، 396 = 11 * 36. بعد إزالة العوامل من تحت علامة الجذر، يصبح لدينا:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. وبعد إحضار مصطلحات متشابهة نحصل على النتيجة: 7√11.

مثال مع التعبيرات الكسرية

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

سوف تحتاج إلى تحليل الأرقام التالية: 45 = 5 * 9، 20 = 4 * 5، 18 = 2 * 9، 245 = 5 * 49. كما هو الحال مع تلك التي تمت مناقشتها بالفعل، تحتاج إلى إزالة العوامل من تحت علامة الجذر وتبسيط التعبير:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7) ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

وهذا التعبير يتطلب التخلص من اللاعقلانية في المقام. للقيام بذلك، عليك ضرب الحد الثاني بـ √2/√2:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

لإكمال الإجراءات، تحتاج إلى تحديد الجزء الكامل من العوامل أمام الجذور. فالأول هو 1، والثاني هو 2.

نظرية

تتم دراسة جمع وطرح الجذور في دورة الرياضيات التمهيدية. ونفترض أن القارئ يعرف مفهوم الدرجة.

التعريف 1

الجذر $n$ للرقم الحقيقي $a$ هو رقم حقيقي $b$ الذي تساوي قوته $n$th $a$: $b=\sqrt[n]a, b^n=a.$ هنا $ a$ - تعبير جذري، $n$ - الأس الجذر، $b$ - قيمة الجذر. علامة الجذر تسمى جذرية.

معكوس استخراج الجذر هو الأسي.

العمليات الأساسية ذات الجذور الحسابية:

الشكل 1. العمليات الأساسية ذات الجذور الحسابية. Author24 - تبادل أعمال الطلاب عبر الإنترنت

كما نرى، في الإجراءات المدرجة لا توجد صيغة للجمع والطرح. يتم تنفيذ هذه الإجراءات ذات الجذور في شكل تحولات. بالنسبة لهذه التحويلات، يجب عليك استخدام صيغ الضرب المختصرة:

$(\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b)=a-b;$

$(\sqrta-\sqrtb)(\sqrt(a^2)+\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))=a-b;$

$(\sqrta+\sqrtb)(\sqrt(a^2)-\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))=a+b;$

$a\sqrt a+b\sqrt b=(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3=(\sqrt a+\sqrt b)(a-\sqrt(ab)+b);$

$a\sqrt a-b\sqrt b=(\sqrt a)^3-(\sqrt b)^3=(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt(ab)+b).$

تجدر الإشارة إلى أن عمليات الجمع والطرح تحدث في أمثلة التعبيرات غير المنطقية: $ab\sqrt(m-n); 1+\sqrt3.$

أمثلة

دعونا نلقي نظرة على أمثلة الحالات التي ينطبق فيها "تدمير" اللاعقلانية في المقام. عندما يظهر، نتيجة للتحولات، تعبير غير عقلاني في كل من البسط والمقام، فمن الضروري "تدمير" اللاعقلانية في المقام.

مثال 1

$\frac(1)(\sqrt7-\sqrt6)=\frac(\sqrt7+\sqrt6)((\sqrt7-\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6))=\frac(\sqrt7+\sqrt6)(7-6) )=\frac(\sqrt7+\sqrt6)(1)=\sqrt7+\sqrt6.$

في هذا المثال، ضربنا بسط الكسر ومقامه في مرافق المقام. وبالتالي، يتم تحويل المقام باستخدام صيغة فرق المربعات.