كيفية العثور على مساحة المثلث باستخدام الساقين. كيفية العثور على مساحة المثلث القائم بطريقة غير عادية

المثلث هو شكل هندسي مسطح له زاوية واحدة تساوي 90 درجة. علاوة على ذلك، في الهندسة غالبا ما يكون من الضروري حساب مساحة هذا الشكل. سنخبرك بكيفية القيام بذلك أكثر.

أبسط صيغة لتحديد مساحة المثلث القائم الزاوية

البيانات الأولية، حيث: a وb هما أضلاع المثلث الممتدة من الزاوية القائمة.

أي أن المساحة تساوي نصف حاصل ضرب الضلعين الخارجين من الزاوية القائمة. بالطبع، هناك صيغة هيرون المستخدمة لحساب مساحة المثلث المنتظم، ولكن لتحديد القيمة تحتاج إلى معرفة أطوال الأضلاع الثلاثة. وفقا لذلك، سيتعين عليك حساب الوتر، وهذا وقت إضافي.

أوجد مساحة المثلث القائم باستخدام صيغة هيرون

هذه صيغة معروفة ومبتكرة، ولكن لهذا سيتعين عليك حساب الوتر على قدمين باستخدام نظرية فيثاغورس.

في هذه الصيغة: أ، ب، ج هي أضلاع المثلث، و ع هو نصف المحيط.

أوجد مساحة المثلث القائم باستخدام الوتر والزاوية

إذا لم تكن أي من الأرجل معروفة في مشكلتك، فاستخدم أكثر من غيرها بطريقة بسيطةلا يمكنك. لتحديد القيمة التي تحتاجها لحساب طول الساقين. يمكن القيام بذلك ببساطة باستخدام الوتر وجيب التمام للزاوية المجاورة.

ب=ج×كوس(α)

بمجرد معرفة طول أحد الأرجل، يمكنك باستخدام نظرية فيثاغورس حساب الضلع الثاني الخارج من الزاوية القائمة.

ب 2 = ج 2 -أ 2

في هذه الصيغة، c وa هما الوتر والساق، على التوالي. الآن يمكنك حساب المساحة باستخدام الصيغة الأولى. بنفس الطريقة، يمكنك حساب أحد الساقين، مع مراعاة الثانية والزاوية. في هذه الحالة، أحد الجوانب المطلوبة سيكون مساوياً لمنتج الساق وظل الزاوية. هناك طرق أخرى لحساب المساحة، لكن بمعرفة النظريات والقواعد الأساسية، يمكنك بسهولة العثور على القيمة المطلوبة.

إذا لم يكن لديك أي من أضلاع المثلث، ولكن فقط الوسيط وإحدى الزوايا، فيمكنك حساب طول الجوانب. للقيام بذلك، استخدم خصائص الوسيط لتقسيم المثلث القائم إلى قسمين. وبناء على ذلك، يمكن أن يكون بمثابة الوتر إذا خرج من زاوية حادة. استخدم نظرية فيثاغورس وحدد أطوال أضلاع المثلث القادمة من الزاوية القائمة.

كما ترون، بمعرفة الصيغ الأساسية ونظرية فيثاغورس، يمكنك حساب مساحة المثلث القائم الزاوية، الذي يحتوي على زاوية واحدة فقط وطول أحد الجوانب.

المثلث القائم هو مثلث تكون إحدى زواياه 90 درجة. ويمكن معرفة مساحتها إذا عرف الجانبان. يمكنك بالطبع اتخاذ الطريق الطويل - العثور على الوتر وحساب المساحة باستخدام ، ولكن في معظم الحالات لن يستغرق ذلك سوى وقت إضافي. ولهذا السبب تبدو صيغة مساحة المثلث القائم كما يلي:

مساحة المثلث القائم تساوي نصف منتج الساقين.

مثال لحساب مساحة المثلث القائم الزاوية.
إعطاء مثلث قائم الزاوية مع الساقين أ= 8 سم، ب= 6 سم.
نحسب المساحة:
المساحة : 24 سم2

تنطبق نظرية فيثاغورس أيضًا على المثلث القائم الزاوية. – مجموع مربعي الساقين يساوي مربع الوتر.
يتم حساب صيغة مساحة المثلث القائم متساوي الساقين بنفس طريقة حساب المثلث القائم العادي.

مثال لحساب مساحة المثلث القائم الزاوية متساوي الساقين:
إعطاء مثلث مع الساقين أ= 4 سم، ب= 4 سم.
أحسب المساحة : = 8 سم2

يمكن استخدام صيغة مساحة المثلث القائم بواسطة الوتر إذا تم إعطاء الشرط لساق واحدة. ومن نظرية فيثاغورس نجد طول الساق المجهولة. على سبيل المثال، نظرا للوتر جوالساق أ، رجل بسيكون مساوياً لـ:
بعد ذلك، نحسب المساحة باستخدام الصيغة المعتادة. مثال لحساب صيغة مساحة المثلث القائم على أساس الوتر مطابق لتلك الموصوفة أعلاه.

دعونا نفكر في مشكلة مثيرة للاهتمام من شأنها أن تساعد في تعزيز المعرفة بصيغ حل المثلث.
مهمة: مساحة المثلث القائم الزاوية 180 مترا مربعا. انظر، ابحث عن الضلع الأصغر للمثلث إذا كان أقل من الثاني بمقدار 31 سم.
حل: دعونا نعين الساقين أو ب. والآن لنعوض بالبيانات في صيغة المساحة: نعلم أيضًا أن إحدى الساقين أصغر من الأخرى أ – ب= 31 سم
ومن الشرط الأول نحصل على ذلك
ونعوض بهذا الشرط في المعادلة الثانية:

وبما أننا وجدنا الجوانب، فإننا نزيل علامة الطرح.
اتضح أن الساق أ= 40 سم، أ ب= 9 سم.

يوجد مثلث قائم في الواقع في كل زاوية تقريبًا. إن معرفة خصائص هذا الشكل، وكذلك القدرة على حساب مساحته، ستكون بلا شك مفيدة لك ليس فقط لحل المشكلات الهندسية، ولكن أيضًا في مواقف الحياة.

هندسة المثلث

في الهندسة الأولية، المثلث القائم هو شكل يتكون من ثلاثة أجزاء متصلة تشكل ثلاث زوايا (اثنتان حادتان وواحدة مستقيمة). المثلث القائم هو شكل أصلي يتميز بعدد من الخصائص المهمة التي تشكل أساس علم المثلثات. على عكس المثلث العادي، فإن جوانب الشكل المستطيل لها أسماء خاصة بها:

• الوتر هو أطول ضلع في المثلث، مقابل الزاوية القائمة.
• الأرجل هي الأجزاء التي تشكل زاوية قائمة. اعتمادًا على الزاوية قيد النظر، يمكن أن تكون الساق مجاورة لها (تشكل هذه الزاوية مع الوتر) أو معاكسة (تقع مقابل الزاوية). بالنسبة للمثلثات غير القائمة لا توجد أرجل.

إن نسبة الأضلاع والوتر هي التي تشكل أساس علم المثلثات: يتم تعريف الجيب والظل والقاطع على أنها نسبة أضلاع المثلث القائم الزاوية.

المثلث القائم في الواقع

وقد أصبح هذا الرقم واسع الانتشار في الواقع. تُستخدم المثلثات في التصميم والتكنولوجيا، لذا فإن حساب مساحة الشكل يجب أن يتم بواسطة المهندسين والمعماريين والمصممين. قواعد رباعيات السطوح أو المنشورات - وهي أشكال ثلاثية الأبعاد يسهل العثور عليها في الحياة اليومية - لها شكل مثلث. بالإضافة إلى ذلك، المربع هو أبسط تمثيل للمثلث القائم "المسطح" في الواقع. المربع عبارة عن تشغيل المعادن والرسم والبناء و أداة النجارةوالذي يستخدم لبناء الزوايا من قبل كل من تلاميذ المدارس والمهندسين.

مساحة المثلث

مساحة الشكل الهندسي هي تقدير كمي لمدى حدود المستوى من جوانب المثلث. يمكن العثور على مساحة المثلث العادي بخمس طرق، باستخدام صيغة هيرون أو باستخدام متغيرات مثل القاعدة والجانب والزاوية ونصف القطر للدائرة المنقوشة أو المقيدة. يتم التعبير عن أبسط صيغة للمنطقة على النحو التالي:

حيث a هو جانب المثلث، h هو ارتفاعه.

إن صيغة حساب مساحة المثلث الأيمن أبسط:

حيث a و b أرجل.

من خلال استخدام الآلة الحاسبة الخاصة بنا على الإنترنت، يمكنك حساب مساحة المثلث باستخدام ثلاثة أزواج من المعلمات:

• قدمين
• الساق والزاوية المجاورة.
• الساق والزاوية المقابلة.

في المهام أو المواقف اليومية سيتم إعطاؤك مجموعات مختلفةالمتغيرات، لذلك يتيح لك هذا الشكل من الآلة الحاسبة حساب مساحة المثلث بعدة طرق. دعونا نلقي نظرة على بضعة أمثلة.

أمثلة من الحياة الحقيقية

بلاط السيراميك

لنفترض أنك تريد ترتيب جدران المطبخ. بلاط السيراميك، والذي له شكل المثلث القائم الزاوية. ومن أجل تحديد استهلاك البلاط يجب معرفة مساحة عنصر الكسوة الواحد والمساحة الإجمالية للسطح المراد معالجته. لنفترض أنك بحاجة إلى معالجة 7 متر مربع. يبلغ طول أرجل العنصر الواحد 19 سم، فتكون مساحة البلاط تساوي:

وهذا يعني أن مساحة العنصر الواحد هي 24.5 سم مربع أو 0.01805 متر مربع. بمعرفة هذه المعلمات، يمكنك حساب أنه لإنهاء 7 أمتار مربعة من الجدار، ستحتاج إلى 7/0.01805 = 387 عنصرًا من البلاط المواجه.

مهمة المدرسة

لنفترض أنه في مشكلة هندسية مدرسية، تحتاج إلى إيجاد مساحة المثلث القائم الزاوية، مع العلم فقط أن جانب ساق واحدة يبلغ 5 سم، والزاوية المقابلة هي 30 درجة. تأتي الآلة الحاسبة الإلكترونية الخاصة بنا مزودة برسم توضيحي يوضح جوانب وزوايا المثلث القائم الزاوية. إذا كان الضلع أ = 5 سم، فإن الزاوية المقابلة لها هي الزاوية ألفا، وتساوي 30 درجة. أدخل هذه البيانات في نموذج الآلة الحاسبة واحصل على النتيجة:

وبالتالي، فإن الآلة الحاسبة لا تحسب مساحة مثلث معين فحسب، بل تحدد أيضًا طول الضلع والوتر المجاورين، بالإضافة إلى قيمة الزاوية الثانية.

خاتمة

توجد المثلثات القائمة في حياتنا حرفيًا في كل زاوية. تحديد مساحة هذه الأشكال سيكون مفيدًا لك ليس فقط عند حل الواجبات المدرسية في الهندسة، ولكن أيضًا في الأنشطة اليومية والمهنية.

صيغة المنطقةمن الضروري تحديد مساحة الشكل، وهي دالة ذات قيمة حقيقية محددة على فئة معينة من أشكال المستوى الإقليدي وتلبية 4 شروط:

1. الإيجابية - لا يمكن أن تكون المساحة أقل من الصفر؛
2. التطبيع - المربع ذو الوحدة الجانبية له مساحة 1؛
3. التطابق - الأشكال المتطابقة لها مساحة متساوية؛
4. المضافة - مساحة اتحاد رقمين بدون نقاط داخلية مشتركة تساوي مجموع مساحات هذه الأشكال.

في صف الهندسة في المدرسة الثانوية، تم إخبارنا جميعًا عن المثلثات. ومع ذلك، كجزء من المناهج الدراسية، نتلقى فقط المعرفة الأكثر أهمية ونتعلم طرق الحساب الأكثر شيوعًا والمعيارية. هل هناك أي طرق غير عادية للعثور على هذه الكمية؟

كمقدمة، دعونا نتذكر المثلث الذي يعتبر قائم الزاوية، ونحدد أيضًا مفهوم المساحة.

المثلث الأيمن هو مثلث مغلق الشكل الهندسي، إحدى زواياها تساوي 90 0. المفاهيم المتكاملة في التعريف هي الساقين والوتر. الأرجل تعني جانبين يشكلان زاوية قائمة عند نقطة الاتصال. الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة. يمكن للمثلث القائم الزاوية أن يكون متساوي الساقين (سيكون ضلعاه بنفس الحجم)، لكنه لن يكون متساوي الأضلاع أبدًا (جميع الأضلاع ستكون بنفس الطول). تعريفات الارتفاع والوسيط والمتجهات وغيرها المصطلحات الرياضيةلن نخوض في التفاصيل. من السهل العثور عليها في الكتب المرجعية.

مساحة المثلث الأيمن. على عكس المستطيلات، فإن القاعدة حول

ولا ينطبق عمل الأطراف في القرار. إذا تحدثنا بعبارات جافة، فإن مساحة المثلث تُفهم على أنها خاصية هذا الشكل لاحتلال جزء من المستوى، معبرًا عنه برقم. من الصعب جدًا أن تفهم، سوف توافق. دعونا لا نحاول التعمق في التعريف؛ فهذا ليس هدفنا. دعنا ننتقل إلى الشيء الرئيسي - كيفية العثور على مساحة المثلث القائم؟ لن نقوم بإجراء الحسابات نفسها، وسوف نشير فقط إلى الصيغ. للقيام بذلك، دعونا نحدد الترميز: A، B، C - جوانب المثلث، الأرجل - AB، BC. الزاوية ACB مستقيمة. S هي مساحة المثلث، h n n هو ارتفاع المثلث، حيث nn هو الجانب الذي يتم خفضه عليه.

الطريقة الأولى. كيفية العثور على مساحة المثلث القائم إذا كان حجم أرجله معروفًا

الطريقة الثانية. ابحث عن مساحة المثلث القائم الزاوية متساوي الساقين

الطريقة الثالثة. حساب المساحة باستخدام المستطيل

نكمل المثلث الأيمن إلى مربع (إذا كان المثلث

متساوي الساقين) أو مستطيل. نحصل على شكل رباعي بسيط يتكون من مثلثين قائمي الزاوية متطابقين. وفي هذه الحالة ستكون مساحة إحداهما مساوية لنصف مساحة الشكل الناتج. يتم حساب S للمستطيل بواسطة منتج الجوانب. دعنا نشير إلى هذه القيمة M. ستكون قيمة المنطقة المطلوبة تساوي نصف M.

الطريقة الرابعة." السراويل فيثاغورس" نظرية فيثاغورس الشهيرة

وكلنا نتذكر صيغته: "مجموع مربعات الساقين...". ولكن لا يستطيع الجميع ذلك

قل، ما علاقة بعض "السراويل" بالأمر؟ الحقيقة هي أن فيثاغورس درس في البداية العلاقة بين أضلاع المثلث القائم الزاوية. وبعد أن حدد الأنماط في نسبة جوانب المربعات، تمكن من استخلاص صيغة معروفة لنا جميعًا. ويمكن استخدامه في الحالات التي يكون فيها حجم أحد الجانبين غير معروف.

الطريقة الخامسة. كيفية العثور على مساحة المثلث القائم باستخدام صيغة هيرون

هذه أيضًا طريقة حسابية بسيطة إلى حد ما. تتضمن الصيغة التعبير عن مساحة المثلث من خلال القيم العددية لأضلاعه. لإجراء العمليات الحسابية، عليك معرفة أحجام جميع جوانب المثلث.

S = (p-AC)*(p-BC)، حيث p = (AB+BC+AC)*0.5

بالإضافة إلى ما سبق، هناك العديد من الطرق الأخرى للعثور على حجم هذا الشكل الغامض مثل المثلث. من بينها: الحساب بطريقة الدائرة المنقوشة أو المقيدة، الحساب باستخدام إحداثيات القمم، استخدام المتجهات، القيمة المطلقة، الجيوب، الظلال.