خصائص المشتق المضاد. التكامل المضاد والمشتق غير المحدد، خصائصهما

يعد حل التكاملات مهمة سهلة، ولكن فقط لقلة مختارة. هذه المقالة مخصصة لأولئك الذين يريدون تعلم كيفية فهم التكاملات، ولكنهم لا يعرفون شيئًا عنها أو لا يعرفون شيئًا تقريبًا عنها. لا يتجزأ... لماذا هو مطلوب؟ كيفية حساب ذلك؟ ما هي التكاملات المحددة وغير المحددة؟ إذا كان الاستخدام الوحيد الذي تعرفه للتكامل هو استخدام خطاف كروشيه على شكل أيقونة متكاملة للحصول على شيء مفيد من الأماكن التي يصعب الوصول إليها، فمرحبًا بك! تعرف على كيفية حل التكاملات ولماذا لا يمكنك الاستغناء عنها.

ندرس مفهوم "التكامل"

كان التكامل معروفًا مرة أخرى في مصر القديمة. بالطبع، ليس في شكله الحديث، ولكن لا يزال. ومنذ ذلك الحين، كتب علماء الرياضيات العديد من الكتب حول هذا الموضوع. تميزوا بشكل خاص نيوتن و لايبنتز لكن جوهر الأشياء لم يتغير. كيف نفهم التكاملات من الصفر؟ مستحيل! لفهم هذا الموضوع سوف لا تزال بحاجة المعرفة الأساسيةأساسيات التحليل الرياضي. لدينا بالفعل معلومات حول، ضرورية لفهم التكاملات، على مدونتنا.

تكامل غير محدد

دعونا نحصل على بعض الوظائف و (خ) .

دالة تكاملية غير محددة و (خ) تسمى هذه الوظيفة و(خ) ، الذي مشتقه يساوي الدالة و (خ) .

بمعنى آخر، التكامل هو مشتق عكسي أو مشتق عكسي. بالمناسبة، اقرأ عن كيفية القيام بذلك في مقالتنا.

يوجد مشتق عكسي لجميع الوظائف المستمرة. أيضًا، غالبًا ما تتم إضافة علامة ثابتة إلى المشتق العكسي، نظرًا لأن مشتقات الوظائف التي تختلف بثبات تتزامن. تسمى عملية إيجاد التكامل بالتكامل.

مثال بسيط:

من أجل عدم حساب المشتقات العكسية للوظائف الأولية باستمرار، فمن الملائم وضعها في جدول واستخدام القيم الجاهزة.

جدول كامل للتكاملات للطلاب

تكامل محدد

عند التعامل مع مفهوم التكامل، فإننا نتعامل مع كميات متناهية الصغر. سيساعد التكامل في حساب مساحة الشكل وكتلة الجسم غير المنتظم والمسافة المقطوعة أثناء الحركة غير المستوية وغير ذلك الكثير. يجب أن نتذكر أن التكامل هو مجموع لا نهائي كمية كبيرةمصطلحات متناهية الصغر.

على سبيل المثال، تخيل رسمًا بيانيًا لبعض الوظائف. كيفية العثور على مساحة الشكل الذي يحده الرسم البياني للدالة؟

باستخدام جزء لا يتجزأ! دعونا نقسم شبه المنحرف المنحني، المحدود بمحاور الإحداثيات والرسم البياني للدالة، إلى أجزاء متناهية الصغر. بهذه الطريقة سيتم تقسيم الشكل إلى أعمدة رفيعة. مجموع مساحات الأعمدة سيكون مساحة شبه المنحرف. لكن تذكر أن مثل هذا الحساب سيعطي نتيجة تقريبية. ومع ذلك، كلما كانت الأجزاء أصغر وأضيق، كلما كان الحساب أكثر دقة. إذا قمنا بتقليلها إلى درجة أن الطول يميل إلى الصفر، فإن مجموع مساحات القطع سوف يميل إلى مساحة الشكل. وهذا تكامل محدد، وهو مكتوب على النحو التالي:

تسمى النقطتان a وb بحدود التكامل.

باري علي باسوف ومجموعة "لا يتجزأ"

بالمناسبة! لقرائنا هناك الآن خصم 10٪ على

قواعد لحساب التكاملات للدمى

خصائص التكامل غير المحدد

كيفية حل تكامل غير محدد؟ سننظر هنا إلى خصائص التكامل غير المحدد، والتي ستكون مفيدة عند حل الأمثلة.

• مشتق التكامل يساوي التكامل:

• يمكن إخراج الثابت من تحت علامة التكامل:

• جزء لا يتجزأ من المبلغ يساوي المبلغالتكاملات. وهذا ينطبق أيضًا على الفرق:

خصائص التكامل المحدد

• الخطية:

• تتغير إشارة التكامل إذا بدلت حدود التكامل:

• في أينقاط أ, بو مع:

لقد اكتشفنا بالفعل أن التكامل المحدد هو نهاية المبلغ. ولكن كيف يمكن الحصول على قيمة محددة عند حل مثال؟ لهذا هناك صيغة نيوتن-لايبنتز:

أمثلة على حل التكاملات

أدناه سننظر في عدة أمثلة لإيجاد التكاملات غير المحددة. نقترح عليك معرفة تعقيدات الحل بنفسك، وإذا كان هناك شيء غير واضح، اطرح الأسئلة في التعليقات.

لتعزيز المادة، شاهد مقطع فيديو حول كيفية حل التكاملات عمليًا. لا تيأس إذا لم يتم إعطاء التكامل على الفور. اتصل بخدمة احترافية للطلاب، وسيكون أي تكامل ثلاثي أو منحني على سطح مغلق في حدود طاقتك.

دالة المشتقة العكسية والتكامل غير المحدد

الحقيقة 1. التكامل هو الإجراء العكسي للتمايز، أي استعادة دالة من المشتق المعروف لهذه الدالة. وهكذا تم استعادة الوظيفة ف(س) يسمى مشتق مضادللوظيفة و(س).

التعريف 1. الوظيفة ف(س و(س) في فترة ما X، إذا لجميع القيم سمن هذه الفترة تتحقق المساواة ف "(س)=و(س) أي هذه الوظيفة و(س) هو مشتق من وظيفة المشتق العكسي ف(س). .

على سبيل المثال، الدالة ف(س) = خطيئة س هو مشتق عكسي للوظيفة و(س) = كوس س على خط الأعداد بأكمله، لأنه لأي قيمة لـ x (الخطيئة س)" = (كوس س) .

التعريف 2. التكامل غير المحدد للدالة و(س) هي مجموعة جميع مشتقاتها المضادة. في هذه الحالة، يتم استخدام التدوين

∫

و(س)dx

,

أين هي العلامة ∫ تسمى علامة التكامل، الدالة و(س) - وظيفة التكامل، و و(س)dx - تعبير التكامل.

وهكذا إذا ف(س) - بعض المشتقات المضادة ل و(س) ، الذي - التي

∫

و(س)dx = ف(س) +ج

أين ج - ثابت تعسفي (ثابت).

لفهم معنى مجموعة المشتقات العكسية للدالة باعتبارها تكاملًا غير محدد، فإن القياس التالي مناسب. يجب أن يكون هناك باب (باب خشبي تقليدي). وظيفتها هي أن تكون "بابًا". ما هو الباب مصنوع من؟ مصنوعة من الخشب. وهذا يعني أن مجموعة المشتقات العكسية للدالة "ليكون بابًا"، أي تكاملها غير المحدد، هي الدالة "ليكون شجرة + C"، حيث C ثابت، والذي يمكن في هذا السياق تشير، على سبيل المثال، إلى نوع الشجرة. فكما يصنع الباب من الخشب باستخدام بعض الأدوات، يتم "صنع" مشتقة دالة من دالة مشتقة عكسية باستخدام الصيغ التي تعلمناها أثناء دراسة المشتقة .

ثم يكون جدول وظائف الأشياء المشتركة والمشتقات العكسية المقابلة لها ("أن تكون بابًا" - "أن تكون شجرة"، "أن تكون ملعقة" - "أن تكون معدنًا"، وما إلى ذلك) مشابهًا لجدول الدوال الأساسية. التكاملات غير المحددة، والتي سيتم تقديمها أدناه. يسرد جدول التكاملات غير المحددة الدوال الشائعة، مع الإشارة إلى المشتقات العكسية التي "تُصنع" منها هذه الدوال. في جزء من المسائل المتعلقة بإيجاد التكامل غير المحدد، يتم إعطاء التكاملات التي يمكن تكاملها مباشرة دون بذل الكثير من الجهد، أي باستخدام جدول التكاملات غير المحددة. في المسائل الأكثر تعقيدًا، يجب أولاً تحويل التكامل بحيث يمكن استخدام تكاملات الجدول.

الحقيقة 2. عند استعادة دالة كمشتق عكسي، يجب أن نأخذ في الاعتبار ثابتًا اعتباطيًا (ثابت) ج، ولكي لا تكتب قائمة من المشتقات العكسية بثوابت مختلفة من 1 إلى ما لا نهاية، عليك أن تكتب مجموعة من المشتقات العكسية ذات ثابت اختياري جمثلا هكذا: 5 س³+ج. لذلك، يتم تضمين ثابت تعسفي (ثابت) في التعبير عن المشتق العكسي، حيث يمكن أن يكون المشتق العكسي دالة، على سبيل المثال، 5 س³+4 أو 5 س³+3 وعند التفريق فإن 4 أو 3 أو أي ثابت آخر يذهب إلى الصفر.

دعونا نطرح مشكلة التكامل: لهذه الوظيفة و(س) العثور على مثل هذه الوظيفة ف(س), الذي مشتقيساوي و(س).

مثال 1.أوجد مجموعة المشتقات العكسية للدالة

حل. بالنسبة لهذه الوظيفة، المشتق العكسي هو الوظيفة

وظيفة ف(س) يسمى مشتق عكسي للوظيفة و(س)، إذا كان المشتق ف(س) يساوي و(س) أو وهو نفس الشيء التفاضلي ف(س) متساوي و(س) dx، أي.

(2)

وبالتالي، فإن الدالة هي مشتق عكسي للدالة. ومع ذلك، فهو ليس المشتق المضاد الوحيد لـ . كما أنها بمثابة وظائف

أين مع- ثابت تعسفي. ويمكن التحقق من ذلك عن طريق التمايز.

وبالتالي، إذا كان هناك مشتقة عكسية واحدة للدالة، فإن لها عددًا لا نهائيًا من المشتقات العكسية التي تختلف بحد ثابت. جميع المشتقات العكسية للدالة مكتوبة في النموذج أعلاه. هذا يتبع من النظرية التالية.

النظرية (البيان الرسمي للحقيقة 2).لو ف(س) - المشتق العكسي للوظيفة و(س) في فترة ما X، ثم أي مشتق مضاد آخر لـ و(س) على نفس الفاصل الزمني يمكن تمثيله في النموذج ف(س) + ج، أين مع- ثابت تعسفي.

في المثال التالي، ننتقل إلى جدول التكاملات، الذي سيتم ذكره في الفقرة 3، بعد خصائص التكامل غير المحدد. نقوم بذلك قبل قراءة الجدول بأكمله حتى يتضح جوهر ما سبق. وبعد الجدول والخصائص، سنستخدمها بالكامل أثناء التكامل.

مثال 2.ابحث عن مجموعات من وظائف المشتقات العكسية:

حل. نجد مجموعات من الدوال المشتقة العكسية التي "تُصنع" منها هذه الدوال. عند ذكر الصيغ من جدول التكاملات، في الوقت الحالي فقط اقبل وجود مثل هذه الصيغ هناك، وسوف ندرس جدول التكاملات غير المحددة نفسه بشكل أعمق قليلاً.

1) تطبيق الصيغة (7) من جدول التكاملات ن= 3، نحصل على

2) استخدام الصيغة (10) من جدول التكاملات ن= 1/3، لدينا

3) منذ

ثم حسب الصيغة (7) مع ن= -1/4 نجد

ليست الوظيفة نفسها مكتوبة تحت علامة التكامل و، ومنتجه بالتفاضل dx. يتم ذلك في المقام الأول من أجل الإشارة إلى المتغير الذي يتم البحث عن المشتق العكسي به. على سبيل المثال،

, ;

هنا في كلتا الحالتين يكون التكامل مساويًا لـ ، لكن تكاملاته غير المحددة في الحالات قيد النظر تكون مختلفة. في الحالة الأولى، تعتبر هذه الوظيفة بمثابة دالة للمتغير سوفي الثانية - كوظيفة ض .

تسمى عملية إيجاد التكامل غير المحدد للدالة بتكامل تلك الوظيفة.

المعنى الهندسي للتكامل غير المحدد

لنفترض أننا بحاجة إلى العثور على منحنى ص = و (خ)ونحن نعلم بالفعل أن ظل الزاوية المماسية عند كل نقطة من نقاطها هو دالة معينة و (خ)حدود هذه النقطة.

وفقا للمعنى الهندسي للمشتق، ظل زاوية ميل المماس عند نقطة معينة من المنحنى ص = و (خ)يساوي قيمة المشتقة واو"(خ). لذلك نحن بحاجة إلى العثور على مثل هذه الوظيفة و(خ)، من أجلها F"(x)=f(x). الوظيفة المطلوبة في المهمة و(خ)هو مشتق مضاد ل و (خ). لا يتم استيفاء شروط المشكلة بمنحنى واحد، بل بمجموعة من المنحنيات. ص = و (خ)- أحد هذه المنحنيات، وأي منحنى آخر يمكن الحصول عليه منه بالانتقال الموازي على طول المحور أوي.

دعنا نسمي الرسم البياني لوظيفة المشتق العكسي لـ و (خ)منحنى متكامل. لو F"(x)=f(x)، ثم الرسم البياني للوظيفة ص = و (خ)هناك منحنى متكامل.

الحقيقة 3. يتم تمثيل التكامل غير المحدد هندسيًا بواسطة عائلة جميع منحنيات التكامل ، كما في الصورة أدناه. يتم تحديد مسافة كل منحنى من أصل الإحداثيات بواسطة ثابت التكامل التعسفي ج.

خصائص التكامل غير المحدد

الحقيقة 4. النظرية 1. مشتق التكامل غير المحدد يساوي التكامل، وتفاضله يساوي التكامل.

الحقيقة 5. النظرية 2. التكامل غير المحدد لتفاضل الوظيفة و(س) يساوي الدالة و(س) حتى مدة ثابتة ، أي.

(3)

توضح النظريات 1 و 2 أن التمايز والتكامل عمليتان عكسيتان.

الحقيقة 6. النظرية 3. يمكن إخراج العامل الثابت في التكامل من إشارة التكامل غير المحدد ، أي.

ولكل إجراء رياضي هناك إجراء عكسي. بالنسبة لعمل التمايز (إيجاد مشتقات الدوال)، هناك أيضًا إجراء عكسي - التكامل. من خلال التكامل، يتم العثور على (إعادة بناء) دالة من مشتقها أو تفاضلها المعطى. يتم استدعاء الوظيفة التي تم العثور عليها مشتق مضاد.

تعريف.وظيفة قابلة للتفاضل و(خ)يسمى المشتق العكسي للدالة و (خ)على فترة زمنية معينة، إذا كان للجميع Xمن هذه الفترة تتحقق المساواة التالية: و'(س)=و (س).

أمثلة. ابحث عن المشتقات العكسية للدوال: 1) f (x)=2x; 2) و (س)=3cos3x.

1) بما أن (x²)′=2x، إذن، بحكم التعريف، ستكون الدالة F (x)=x² مشتقًا عكسيًا للدالة f (x)=2x.

2) (الخطيئة3x)′=3cos3x. إذا كنا نشير إلى f (x)=3cos3x وF (x)=sin3x، إذن، حسب تعريف المشتق العكسي، لدينا: F′(x)=f (x)، وبالتالي، F (x)=sin3x هو مشتق عكسي لـ f ( x)=3cos3x.

لاحظ أن (sin3x +5 )′= 3cos3xو (sin3x -8,2 )′= 3cos3x، ... بشكل عام يمكننا أن نكتب: (sin3x +ج)′= 3cos3x، أين مع- بعض القيمة الثابتة. تشير هذه الأمثلة إلى غموض إجراء التكامل، على عكس إجراء التفاضل، عندما يكون لأي دالة تفاضلية مشتقة واحدة.

تعريف.إذا كانت الوظيفة و(خ)هو مشتق عكسي للوظيفة و (خ)على فترة معينة، فإن مجموعة جميع المشتقات العكسية لهذه الدالة لها الشكل:

و(خ)+ج، حيث C هو أي عدد حقيقي.

مجموعة جميع المشتقات العكسية F (x) + C للدالة f (x) في الفترة قيد النظر تسمى التكامل غير المحدد ويشار إليها بالرمز ∫ (علامة متكاملة). اكتب: ∫f (x) dx=F (x)+C.

تعبير ∫f(x)dxاقرأ: "التكامل ef من x إلى de x."

و (خ) دكس- التعبير التكاملي،

و (خ)- وظيفة التكامل،

Xهو متغير التكامل.

و(خ)- المشتق العكسي للدالة و (خ),

مع- بعض القيمة الثابتة.

الآن يمكن كتابة الأمثلة المدروسة على النحو التالي:

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

ماذا تعني علامة د؟

د —العلامة التفاضلية - لها غرض مزدوج: أولاً، تفصل هذه العلامة التكامل عن متغير التكامل؛ ثانيًا، كل ما يأتي بعد هذه العلامة يتم اشتقاقه افتراضيًا وضربه في التكامل.

أمثلة. أوجد التكاملات: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) بعد الأيقونة التفاضلية دالتكاليف XX، أ ص

∫ 2xrdx=rh²+C. قارن مع المثال 1).

دعونا نفعل الاختيار. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) بعد الأيقونة التفاضلية دالتكاليف ص. وهذا يعني أن متغير التكامل ص، والمضاعف Xينبغي اعتبار بعض القيمة الثابتة.

∫ 2hrдr=ص²×+س. قارن مع الأمثلة 1) و 3).

دعونا نفعل الاختيار. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

لقد رأينا أن للمشتق استخدامات عديدة: المشتق هو سرعة الحركة (أو، بشكل أعم، سرعة أي عملية)؛ المشتق هو ميل المماس للرسم البياني للدالة؛ باستخدام المشتق، يمكنك فحص الدالة للرتابة والنقاط القصوى؛ يساعد المشتق في حل مشكلات التحسين.

لكن في الحياة الواقعية علينا أيضًا حل المشكلات العكسية: على سبيل المثال، إلى جانب مشكلة إيجاد السرعة وفقًا لقانون معروف للحركة، نواجه أيضًا مشكلة استعادة قانون الحركة وفقًا لسرعة معروفة. دعونا نفكر في واحدة من هذه المشاكل.

مثال 1.تتحرك نقطة مادية في خط مستقيم، وسرعتها عند الزمن t تعطى بالصيغة u = tg. العثور على قانون الحركة.

حل.دع s = s(t) هو قانون الحركة المطلوب. ومن المعروف أن s"(t) = u"(t). هذا يعني أنه لحل المشكلة عليك أن تختار وظيفة s = s(t)، الذي مشتقه يساوي tg. ليس من الصعب تخمين ذلك

دعونا نلاحظ على الفور أن المثال قد تم حله بشكل صحيح، ولكن بشكل غير كامل. لقد وجدنا أن المشكلة، في الواقع، لها عدد لا نهائي من الحلول: أي دالة من الشكل الثابت التعسفي يمكن أن يكون بمثابة قانون للحركة، منذ ذلك الحين

لجعل المهمة أكثر تحديدًا، كنا بحاجة إلى إصلاح الوضع الأولي: الإشارة إلى إحداثيات نقطة متحركة في وقت ما، على سبيل المثال، عند t=0. إذا، على سبيل المثال، s(0) = s 0، فمن المساواة نحصل على s(0) = 0 + C، أي S 0 = C. الآن يتم تعريف قانون الحركة بشكل فريد:
في الرياضيات، تُعطى العمليات العكسية أسماء مختلفة ويتم اختراع رموز خاصة: على سبيل المثال، التربيع (× 2) والاستخراج الجذر التربيعيجيب (الخطيئة) و أركسين(أركسين س)، الخ. تسمى عملية إيجاد المشتق بالنسبة لدالة معينة بالتمايز، والعملية العكسية، أي. عملية إيجاد دالة من مشتق معين - التكامل.
يمكن تبرير مصطلح "مشتق" في حد ذاته "في الحياة اليومية": الوظيفة y - f(x) "تلد" وظيفة جديدة y"= f"(x) تعمل كوظيفة "الأم"، لكن علماء الرياضيات، بطبيعة الحال، لا يسمونها "الأم" أو "المنتج"؛ يقولون أن هذه، فيما يتعلق بالدالة y"=f"(x)، هي الصورة الأساسية، أو في باختصار، المشتق المضاد.

التعريف 1.تسمى الدالة y = F(x) بالمشتق العكسي للدالة y = f(x) في فترة زمنية معينة X إذا كانت المساواة F"(x)=f(x) صالحة لجميع x من X.

من الناحية العملية، لا يتم تحديد الفاصل الزمني X عادة، ولكنه ضمني (باعتباره المجال الطبيعي لتعريف الوظيفة).

فيما يلي بعض الأمثلة:

1) الدالة y = x 2 هي مشتقة عكسية للدالة y = 2x، حيث أن المساواة (x 2)" = 2x صحيحة لجميع x.
2) الدالة y - x 3 هي مشتقة عكسية للدالة y-3x 2، حيث أن المساواة (x 3)" = 3x 2 صحيحة لجميع x.
3) الدالة y-sinx هي مشتق عكسي للدالة y = cosx، حيث أن المساواة (sinx)" = cosx صحيحة لجميع x.
4) الدالة هي مشتقة عكسية لدالة في الفاصل الزمني حيث أن المساواة صحيحة لجميع x > 0
بشكل عام، معرفة صيغ البحث عن المشتقات، ليس من الصعب تجميع جدول الصيغ للعثور على المشتقات العكسية.

نأمل أن تفهم كيفية تجميع هذا الجدول: مشتق الدالة المكتوبة في العمود الثاني يساوي الدالة المكتوبة في الصف المقابل من العمود الأول (تحقق من ذلك، لا تكن كسولًا، إنه أمر بالغ الأهمية مفيد). على سبيل المثال، بالنسبة للدالة y = x 5، المشتق العكسي، كما ستثبت، هو الدالة (انظر الصف الرابع من الجدول).

ملحوظات: 1. أدناه سنثبت النظرية القائلة بأنه إذا كانت y = F(x) مشتقة عكسية للدالة y = f(x)، فإن الدالة y = f(x) لها عدد لا نهائي من المشتقات العكسية وجميعها لها الشكل y = F(x) + C. لذلك، سيكون من الأصح إضافة المصطلح C في كل مكان في العمود الثاني من الجدول، حيث C هو رقم حقيقي عشوائي.
2. من أجل الإيجاز، في بعض الأحيان بدلاً من عبارة "الدالة y = F(x) هي مشتق عكسي للدالة y = f(x)"، يقولون F(x) هي مشتق عكسي للدالة f(x) ".

2. قواعد العثور على المشتقات العكسية

عند العثور على المشتقات العكسية، وكذلك عند البحث عن المشتقات، لا يتم استخدام الصيغ فقط (وهي مدرجة في الجدول ص 196)، ولكن أيضًا بعض القواعد. ترتبط ارتباطًا مباشرًا بالقواعد المقابلة لحساب المشتقات.

نحن نعلم أن مشتقة المجموع تساوي مجموع مشتقاته. تنشئ هذه القاعدة القاعدة المقابلة للعثور على المشتقات العكسية.

القاعدة 1.المشتقة العكسية للمجموع تساوي مجموع المشتقات العكسية.

نلفت انتباهكم إلى "خفة" هذه الصيغة إلى حد ما. في الواقع، ينبغي للمرء صياغة النظرية: إذا كانت الدالتان y = f(x) وy = g(x) لها مشتقات عكسية في الفترة X، على التوالي y-F(x) وy-G(x)، فإن مجموع الدوال y = f(x)+g(x) له مشتق عكسي في الفترة X، وهذا المشتق العكسي هو الدالة y = F(x)+G(x). ولكن عادة، عند صياغة القواعد (وليس النظريات)، يتم ترك الكلمات الرئيسية فقط - وهذا أكثر ملاءمة لتطبيق القواعد في الممارسة العملية

مثال 2.أوجد المشتق العكسي للدالة y = 2x + cos x.

حل.المشتق العكسي لـ 2x هو x"؛ والمشتق العكسي لـ cox هو sin x. وهذا يعني أن المشتق العكسي للدالة y = 2x + cos x سيكون الدالة y = x 2 + sin x (وبشكل عام أي دالة من النموذج ص = س 1 + جاينكس + ج) .
نحن نعلم أنه يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة المشتقة. تنشئ هذه القاعدة القاعدة المقابلة للعثور على المشتقات العكسية.

القاعدة 2.يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة المشتق العكسي.

مثال 3.

حل.أ) المشتق العكسي لـ sin x هو -soz x؛ هذا يعني أنه بالنسبة للدالة y = 5 sin x، ستكون دالة المشتق العكسي هي الدالة y = -5 cos x.

ب) المشتق العكسي لـ cos x هو sin x؛ هذا يعني أن المشتق العكسي للدالة هو الدالة
ج) المشتق العكسي لـ x 3 هو المشتق العكسي لـ x هو المشتق العكسي للدالة y = 1 هي الدالة y = x. باستخدام القاعدتين الأولى والثانية لإيجاد المشتقات العكسية نجد أن المشتقة العكسية للدالة y = 12x 3 + 8x-1 هي الدالة
تعليق.كما هو معروف، مشتقة المنتج لا تساوي منتج المشتقات (قاعدة اشتقاق المنتج أكثر تعقيدا) ومشتقة حاصل القسمة لا تساوي حاصل قسمة المشتقات. لذلك، لا توجد قواعد لإيجاد المشتق العكسي للمنتج أو المشتق العكسي لحاصل دالتين. احرص!
دعونا نحصل على قاعدة أخرى لإيجاد المشتقات العكسية. نحن نعلم أن مشتق الدالة y = f(kx+m) يتم حسابه بواسطة الصيغة

تنشئ هذه القاعدة القاعدة المقابلة للعثور على المشتقات العكسية.
القاعدة 3.إذا كانت y = F(x) مشتقًا عكسيًا للدالة y = f(x)، فإن المشتق العكسي للدالة y=f(kx+m) هو الدالة

في الحقيقة،

هذا يعني أنه مشتق عكسي للدالة y = f(kx+m).
معنى القاعدة الثالثة هو كما يلي. إذا كنت تعلم أن المشتق العكسي للدالة y = f(x) هو الدالة y = F(x)، وتحتاج إلى العثور على المشتق العكسي للدالة y = f(kx+m)، فافعل كما يلي: نفس الوظيفة F، ولكن بدلاً من الوسيطة x، استبدل التعبير kx+m؛ بالإضافة إلى ذلك، لا تنس كتابة "عامل التصحيح" قبل علامة الوظيفة
مثال 4.ابحث عن المشتقات العكسية لوظائف معينة:

حل، أ) المشتق العكسي لـ sin x هو -soz x؛ هذا يعني أنه بالنسبة للدالة y = sin2x فإن المشتق العكسي هو الدالة
ب) المشتق العكسي لـ cos x هو sin x؛ هذا يعني أن المشتق العكسي للدالة هو الدالة

ج) المشتق العكسي لـ x 7 يعني أنه بالنسبة للدالة y = (4-5x) 7 فإن المشتق العكسي هو الدالة

3. تكامل غير محدد

لقد سبق أن أشرنا أعلاه إلى أن مشكلة إيجاد المشتق العكسي لدالة معينة y = f(x) لها أكثر من حل. دعونا نناقش هذه المسألة بمزيد من التفصيل.

دليل. 1. افترض أن y = F(x) هو المشتق العكسي للدالة y = f(x) في الفاصل الزمني X. وهذا يعني أنه بالنسبة لجميع x من X فإن المساواة x"(x) = f(x) موجودة. دعونا أوجد مشتقة أي دالة بالصيغة y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

إذن (F(x)+C) = f(x). هذا يعني أن y = F(x) + C هو مشتق عكسي للدالة y = f(x).
وهكذا، أثبتنا أنه إذا كانت الدالة y = f(x) لها مشتق عكسي y=F(x)، فإن الدالة (f = f(x) لها عدد لا نهائي من المشتقات العكسية، على سبيل المثال، أي دالة على الشكل y = F(x) +C هو مشتق عكسي.
2. دعونا نثبت الآن أن نوع الوظائف المشار إليه يستنفد مجموعة المشتقات العكسية بأكملها.

افترض أن y=F 1 (x) وy=F(x) هما مشتقان عكسيان للدالة Y = f(x) في الفترة X. وهذا يعني أنه بالنسبة لجميع x من الفترة X فإن العلاقات التالية تكون: F^ ( س) = و (س)؛ F"(س) = و(س).

لنفكر في الدالة y = F 1 (x) -.F(x) ونجد مشتقتها: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - و(س) = 0.
من المعروف أنه إذا كان مشتق الدالة في الفترة X يساوي الصفر، فإن الدالة تكون ثابتة في الفترة X (انظر النظرية 3 من الفقرة 35). وهذا يعني أن F 1 (x) - F (x) = C، أي. Fx) = F(x)+C.

تم إثبات النظرية.

مثال 5.قانون تغير السرعة مع الزمن معطى: v = -5sin2t. أوجد قانون الحركة s = s(t)، إذا كان من المعروف أنه في الزمن t=0 كان إحداثي النقطة يساوي الرقم 1.5 (أي s(t) = 1.5).

حل.بما أن السرعة هي مشتقة من الإحداثيات كدالة للزمن، فعلينا أولًا إيجاد المشتقة العكسية للسرعة، أي. المشتق العكسي للدالة v = -5sin2t. إحدى هذه المشتقات العكسية هي الدالة، ومجموعة جميع المشتقات العكسية لها الشكل:

للعثور على القيمة المحددة للثابت C، نستخدم الشروط الأولية، والتي بموجبها s(0) = 1.5. باستبدال القيم t=0، S = 1.5 في الصيغة (1)، نحصل على:

باستبدال القيمة الموجودة لـ C في الصيغة (1)، نحصل على قانون الحركة الذي يهمنا:

التعريف 2.إذا كانت الدالة y = f(x) تحتوي على مشتق عكسي y = F(x) في الفاصل الزمني X، فإن مجموعة جميع المشتقات العكسية، أي. مجموعة الوظائف من النموذج y = F(x) + C تسمى التكامل غير المحدد للدالة y = f(x) ويشار إليها بواسطة:

(اقرأ: "تكامل غير محدد ef من x de x").
في الفقرة التالية سوف نكتشف ما هو المعنى الخفيالتسمية المشار إليها.
بناءً على جدول المشتقات العكسية المتوفرة في هذا القسم، سنقوم بتجميع جدول للتكاملات غير المحددة الرئيسية:

استنادًا إلى القواعد الثلاث المذكورة أعلاه لإيجاد المشتقات العكسية، يمكننا صياغة قواعد التكامل المقابلة.

القاعدة 1.تكامل مجموع الدوال يساوي مجموع تكاملات هذه الدوال:

القاعدة 2.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التكامل:

القاعدة 3.لو

مثال 6.أوجد التكاملات غير المحددة:

حلأ) باستخدام قاعدتي التكامل الأولى والثانية نحصل على:

الآن دعونا نستخدم صيغ التكامل الثالثة والرابعة:

ونتيجة لذلك نحصل على:

ب) باستخدام القاعدة الثالثة للتكامل والصيغة 8 نحصل على:

ج) لإيجاد تكامل معين مباشرة، ليس لدينا الصيغة المقابلة ولا القاعدة المقابلة. في مثل هذه الحالات، تساعد أحيانًا التحويلات المتطابقة التي تم إجراؤها مسبقًا للتعبير الموجود تحت علامة التكامل.

دعونا نستفيد الصيغة المثلثيةتخفيض الدرجة:

ثم نجد تباعا:

أ.ج. جبر موردكوفيتش الصف العاشر

التخطيط المواضيعي للتقويم في الرياضيات، فيديوفي الرياضيات على الانترنت، الرياضيات في المدرسة

التعريف 1.وظيفة ف(س) يسمى المشتق العكسي للدالة f(س) على فترة زمنية معينة، إذا كانت الوظيفة عند كل نقطة من هذه الفترة ف(س) قابل للتمييز وتبقى المساواة ف "(س) = و(س).

مثال 1.وظيفة ف(س) = خطيئة سهو المشتق العكسي للوظيفة و(س) = كوس سعلى فترة لا نهائية (- ¥; +¥)، منذ ذلك الحين

ف’(س) = (خطيئة س) " = كوس س = و(س) ل س Î (– ¥;+¥).

من السهل التحقق من الوظائف ف 1 (س) = خطيئة س+ 5 و ف 2 (س) = خطيئة س- 10 هي أيضًا مشتقات عكسية للدالة و(س) = كوس سللجميع (- ¥;+¥)، أي إذا للوظيفة و(س) يوجد مشتق عكسي للدالة في فترة ما، فهي ليست فريدة. دعونا نثبت أن مجموعة جميع المشتقات العكسية لدالة معينة و(س) هي المجموعة المعطاة بواسطة الصيغة ف(س) + ج، أين ج- أي قيمة ثابتة.

النظرية 1 (على الشكل العام للمشتق العكسي).يترك ف(س) هي إحدى المشتقات العكسية للدالة و(س) على الفاصل الزمني ( أ;ب). ثم أي مشتق عكسي آخر للدالة و(س) على الفاصل الزمني ( أ;ب) يتم تقديمه في النموذج ف(س) + ج، أين ج– عدد معين .

دليل.أولا، دعونا نتحقق من ذلك ف(س) + جهو أيضًا مشتق عكسي للوظيفة و(س) على الفاصل الزمني ( أ;ب).

وفقا لشروط النظرية ف(س) على الفاصل الزمني ( أ;ب و(س)، وبالتالي فإن المساواة تحمل:

ف "(س) = و(س) لأي سÎ ( أ;ب).

لأن مع- بعض الأرقام، إذن

(ف(س) + مع) " = ف"(س)+مع" = ف "(س) + 0 = و(س).

ويترتب على ذلك: ( ف(س) + ج)" = و(س) لأي سÎ ( أ;ب)، مما يعني ف(س) + معفي الفاصل ( أ;ب) هو مشتق عكسي للوظيفة و(س).

ثانيا، دعونا نتحقق من ذلك إذا ف(س) و ف ( س) - اثنين من المشتقات العكسية للوظيفة و(س) على الفاصل الزمني ( أ;ب)، فإنهم يختلفون عن بعضهم البعض بمقدار ثابت، أي: ف(س) – ف( س) = ثابت.

دعونا نشير إلى ي( س) = ف(س) – ف( س). منذ بافتراض الوظيفة ف(س) و ف ( س) المشتقات العكسية على الفترة ( أ;ب) للوظيفة و(س) ، فإن المساواة التالية تتحقق: ف "(س) = و(س) و ف"( س) = و(س) لأي سÎ ( أ;ب). لذلك ي"( س) = ف "(س) - ف" ( س) = و(س) – و(س) = 0 لأي سÎ ( أ;ب).

الدالة ي( س) مستمر وقابل للتمييز في سÎ ( أ;ب). وهذا يعني أنه على أي شريحة [ س 1 ; س 2 ] م ( أ; ب) وظيفة ي( س) يفي بنظرية لاغرانج: توجد نقطة О( س 1 ; س 2) والتي تنص على المساواة:

ي( س 2) - ي( س 1) = ي" ()× ( س 2 – س 1) = 0×( س 2 – س 1) = 0

ص ي( س 2) - ي( س 1) = 0 Þ ي( س 2) = ي( س 1) Þ ي( س) = ثابت.

وسائل، ف(س) – ف( س) = ثابت.

إذن، حصلنا على ذلك إذا عرفنا مشتقًا عكسيًا واحدًا ف(س) للوظيفة و(س) على الفاصل الزمني ( أ;ب)، فيمكن تمثيل أي مشتق عكسي آخر في النموذج ف(س) + مع، أين مع- قيمة ثابتة تعسفية. ويسمى هذا النوع من كتابة المشتقات العكسية المظهر العام للمشتق المضاد.

مفهوم التكامل غير المحدد

التعريف 2.مجموعة جميع المشتقات العكسية لدالة معينة و(س) على الفاصل الزمني ( أ;ب) يسمى التكامل غير المحدد للدالة f(x)في هذه الفترة ويشار إليه بالرمز:

في التسمية تسمى العلامة علامة متكاملة, – تكامل, – وظيفة التكامل, – متغير التكامل.

النظرية 2.إذا كانت الوظيفة و(س) مستمرة على الفترة ( أ;ب) ، ثم في الفاصل الزمني ( أ;ب) المشتق العكسي والتكامل غير المحدد.

تعليق.عملية إيجاد التكامل غير المحدد لدالة معينة و(س) على فترة زمنية معينة يسمى تكامل الوظيفة و(س).

خصائص التكامل غير المحدد

من تعاريف المشتقات المضادة ف(س) والتكامل غير المحدد لهذه الوظيفة و(س) في فترة زمنية معينة تتبع خصائص التكامل غير المحدد:

1. .

2. .

3. ، أين مع- ثابت تعسفي.

4. ، أين ك= ثابت.

تعليق.جميع الخصائص المذكورة أعلاه صحيحة بشرط أن تكون التكاملات التي تظهر فيها معتبرة في نفس الفترة وموجودة.

جدول التكاملات الأساسية غير المحددة

ففعل التكامل هو عكس فعل التفاضل، أي. بواسطة دالة مشتقة معينة و(س) فمن الضروري استعادة الوظيفة الأولية ف(س). ثم من التعريف 2 وجدول المشتقات (انظر الفقرة 4، الفقرة 3، ص 24) يتبين جدول التكاملات الأساسية.

3. .

4. .

فيسبوك

تغريد

فكونتاكتي

زملاء الدراسة

جوجل+