Matrični zapis kvadratnog oblika ima oblik. Pozitivno određene kvadratne forme

Pozitivno određene kvadratne forme

Definicija. Kvadratni oblik iz n nepoznato se zove pozitivno određen, ako je njegov rang jednak pozitivnom indeksu tromosti i jednak je broju nepoznanica.

Teorema. Kvadratni oblik je pozitivno određen ako i samo ako uzima pozitivne vrijednosti na bilo kojem skupu varijabli različitih od nule.

Dokaz. Neka je kvadratna forma nedegenerirana linearna transformacija nepoznanica

vratio u normalu

.

Za bilo koji skup vrijednosti varijable koji nije nula, barem jedan od brojeva različit od nule, tj. . Nužnost teorema je dokazana.

Pretpostavimo da kvadratni oblik poprima pozitivne vrijednosti na bilo kojem skupu varijabli koji nije nula, ali je njegov indeks tromosti pozitivan. Nedegeneriranom linearnom transformacijom nepoznanica

Vratimo to u normalu. Bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da u ovom normalnom obliku kvadrat posljednje varijable ili nema ili u nju ulazi s predznakom minus, tj. , gdje ili . Pretpostavimo da je skup vrijednosti varijabli različit od nule, dobiven kao rezultat rješavanja sustava linearnih jednadžbi

U ovom sustavu broj jednadžbi jednak je broju varijabli, a determinanta sustava je različita od nule. Prema Cramerovom teoremu, sustav ima jedinstveno rješenje i ono je različito od nule. Za ovaj set. Kontradikcija s uvjetom. Dolazimo do kontradikcije s pretpostavkom, što dokazuje dostatnost teorema.

Koristeći ovaj kriterij, iz koeficijenata nije moguće odrediti je li kvadratna forma pozitivno-određena. Odgovor na ovo pitanje daje drugi teorem, za čiju formulaciju uvodimo još jedan pojam. Minori glavne dijagonalne matrice su minori koji se nalaze u njegovom gornjem lijevom kutu:

, , , … , .

Teorema.Kvadratna forma je pozitivno određena ako i samo ako su sve njezine glavne dijagonale umanjenice pozitivne.

Dokaz provest ćemo metodom potpune matematičke indukcije na broj n varijable kvadratnog oblika f.

Hipoteza indukcije. Pretpostavimo da za kvadratne oblike s manje varijabli n izjava je točna.

Razmotrimo kvadratni oblik iz n varijable. Sakupite u jednu zagradu sve pojmove koji sadrže . Preostali članovi tvore kvadratni oblik u varijablama. Prema hipotezi indukcije, izjava je istinita za njega.

Pretpostavimo da je kvadratni oblik pozitivno određen. Tada je i kvadratna forma pozitivno određena. Ako pretpostavimo da to nije slučaj, tada postoji različit od nule skup vrijednosti varijable , za koji i sukladno tome, , što je u suprotnosti s činjenicom da je kvadratni oblik pozitivno određen. Prema hipotezi indukcije, svi glavni dijagonalni minori kvadratnog oblika su pozitivni, tj. svi prvi glavni minori kvadratne forme f su pozitivni. Zadnji glavni minor kvadratne forme – je determinanta njegove matrice. Ova determinanta je pozitivna jer joj se predznak podudara s predznakom matrice njenog normalnog oblika, tj. s predznakom determinante matrice identiteta.

Neka su svi glavni dijagonalni minori kvadratnog oblika pozitivni. Tada su svi glavni dijagonalni minori kvadratnog oblika pozitivni iz jednakosti . Prema hipotezi indukcije, kvadratna forma je pozitivno određena, pa postoji nedegenerirana linearna transformacija varijabli koja formu svodi na oblik zbroja kvadrata novih varijabli. Ova linearna transformacija može se proširiti na nedegeneriranu linearnu transformaciju svih varijabli postavljanjem . Kvadratni oblik se ovom transformacijom svodi na oblik

Pojam kvadratne forme. Matrica kvadratnog oblika. Kanonski oblik kvadratne forme. Lagrangeova metoda. Normalni oblik kvadratne forme. Rang, indeks i signatura kvadratnog oblika. Pozitivno određeni kvadratni oblik. Kvadrika.

Koncept kvadratnog oblika: funkcija na vektorskom prostoru dana homogenim polinomom drugog stupnja u koordinatama vektora.

kvadratni oblik iz n nepoznato naziva se zbroj, čiji je svaki član ili kvadrat jedne od tih nepoznanica ili produkt dviju različitih nepoznanica.

Kvadratna matrica: Matrica se naziva matrica kvadratnog oblika u zadanoj bazi. Ako karakteristika polja nije jednaka 2, možemo pretpostaviti da je matrica kvadratne forme simetrična, tj.

Napiši matricu kvadratnog oblika:

Stoga,

U obliku vektorske matrice, kvadratni oblik je:

A, gdje

Kanonski oblik kvadratnog oblika: Kvadratni oblik naziva se kanoničkim ako je sve tj.

Svaki kvadratni oblik može se reducirati u kanonski oblik pomoću linearnih transformacija. U praksi se obično koriste sljedeće metode.

Lagrangeova metoda : uzastopni izbor punih kvadrata. Na primjer, ako

Zatim se sličan postupak provodi s kvadratnom formom itd. Ako je u kvadratnom obliku sve osim jest tada se, nakon prethodne transformacije, stvar svodi na razmatrani postupak. Tako, ako npr. tada postavljamo

Normalni oblik kvadratnog oblika je: Normalni kvadratni oblik je kanonski kvadratni oblik u kojem su svi koeficijenti jednaki +1 ili -1.

Rang, indeks i signatura kvadratnog oblika: Rang kvadratnog oblika A naziva se rang matrice A. Rang kvadratne forme ne mijenja se pri nedegeneriranim transformacijama nepoznanica.

Broj negativnih koeficijenata naziva se negativni indeks oblika.

Broj pozitivnih članova u kanonskom obliku naziva se pozitivnim indeksom tromosti kvadratnog oblika, a broj negativnih članova naziva se negativnim indeksom. Razlika između pozitivnih i negativnih indeksa naziva se signatura kvadratnog oblika

Pozitivno određeni kvadratni oblik: Realni kvadratni oblik naziva se pozitivno-određeno (negativno-određeno) ako za bilo koje stvarne vrijednosti varijabli koje nisu istodobno jednake nuli

. (36)

U ovom slučaju, matrica se također naziva pozitivno određeno (negativno određeno).

Klasa pozitivno-određenih (niječno-određenih) oblika dio je klase nenegativnih (odnosno nepozitivnih) oblika.

Četvorci: Kvadrik - n-dimenzionalna hiperpovršina u n+1-dimenzionalni prostor, definiran kao skup nula polinoma drugog stupnja. Ako unesete koordinate ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (u euklidskom ili afinom prostoru), opća kvadrična jednadžba ima oblik

Ova se jednadžba može prepisati kompaktnije u matričnom zapisu:

gdje je x = ( x 1 , x 2 , x n+1 ) je vektor reda, x T je transponirani vektor, Q je matrica veličine ( n+1)×( n+1) (pretpostavlja se da je barem jedan njegov element različit od nule), P je vektor reda, i R je konstanta. Najčešće se kvadrike razmatraju preko realnih ili kompleksnih brojeva. Definicija se može proširiti na kvadrike u projektivnom prostoru, vidi dolje.

Općenitije, skup nula sustava polinomskih jednadžbi poznat je kao algebarska raznolikost. Stoga je kvadrika (afina ili projektivna) algebarska varijanta drugog stupnja i kodimenzije 1.

Ravninske i prostorne transformacije.

Definicija ravninske transformacije. Definicija kretanja. svojstva kretanja. Dvije vrste kretanja: kretanje prve vrste i gibanje druge vrste. Primjeri kretanja. Analitičko izražavanje gibanja. Klasifikacija ravninskih gibanja (ovisno o prisutnosti fiksnih točaka i nepromjenljivih pravaca). Skupina ravninskih gibanja.

Definicija ravninske transformacije: Definicija. Ravninska transformacija koja zadržava udaljenost između točaka naziva se pokret(ili pomaka) ravnine. Ravninska transformacija naziva se afin, ako uzima bilo koje tri točke koje leže na istoj liniji do tri točke koje također leže na istoj liniji i istovremeno čuva jednostavnu relaciju triju točaka.

Definicija pokreta: Ovo je transformacija oblika koja čuva udaljenosti između točaka. Ako su dvije figure točno spojene jedna s drugom pomoću kretanja, tada su te figure iste, jednake.

Svojstva kretanja: svako gibanje ravnine koje održava orijentaciju je ili paralelna translacija ili rotacija; svako gibanje ravnine koje mijenja orijentaciju je ili aksijalna simetrija ili klizna simetrija. Točke koje leže na pravoj liniji pri kretanju prelaze u točke koje leže na pravoj liniji, a redoslijed njihovog međusobnog rasporeda ostaje očuvan. Pri pomicanju se čuvaju kutovi između polupravaca.

Dva tipa kretanja: kretanje prve vrste i kretanje druge vrste: Pokreti prve vrste su oni pokreti koji zadržavaju orijentaciju baza određene figure. Mogu se realizirati kontinuiranim pokretima.

Kretanja druge vrste su ona kretanja koja mijenjaju orijentaciju baza u suprotnu. Ne mogu se ostvariti kontinuiranim pokretima.

Primjeri gibanja prve vrste su translacija i rotacija oko pravca, a gibanja druge vrste su središnja i zrcalna simetrija.

Sastav bilo kojeg broja gibanja prve vrste je gibanje prve vrste.

Sastav parnog broja gibanja druge vrste je gibanje 1. vrste, a sastav neparnog broja gibanja 2. vrste je gibanje 2. vrste.

Primjeri pokreta:Paralelni prijenos. Neka je a zadani vektor. Paralelni prijenos na vektor a je preslikavanje ravnine na samu sebe, pri čemu se svaka točka M preslikava u točku M 1, da je vektor MM 1 jednak vektoru a.

Paralelno prevođenje je kretanje jer je to preslikavanje ravnine na samu sebe, čuvajući udaljenosti. Vizualno se to kretanje može prikazati kao pomak cijele ravnine u smjeru zadanog vektora a po njegovoj duljini.

Skretanje . Označimo točku O na ravnini ( središte okretanja) i postavite kut α ( kut rotacije). Rotacija ravnine oko točke O za kut α je preslikavanje ravnine na samu sebe, pri čemu se svaka točka M preslikava u točku M 1, da je OM = OM 1 i da je kut MOM 1 jednak α. U tom slučaju točka O ostaje na svom mjestu, tj. prikazuje se sama za sebe, a sve ostale točke se okreću oko točke O u istom smjeru - u smjeru kazaljke na satu ili suprotno (slika prikazuje rotaciju u smjeru suprotnom od kazaljke na satu).

Okret je pokret jer je to preslikavanje ravnine na samu sebe, čime se čuvaju udaljenosti.

Analitički izraz kretanja: analitička veza između koordinata praslike i slike točke ima oblik (1).

Klasifikacija ravninskih gibanja (ovisno o prisutnosti fiksnih točaka i nepromjenjivih linija): Definicija:

Točka u ravnini je nepromjenjiva (fiksna) ako se pod zadanom transformacijom pretvara u samu sebe.

Primjer: Kod središnje simetrije, točka središta simetrije je nepromjenjiva. Kod skretanja točka središta rotacije je nepromjenjiva. Kod osne simetrije pravac je nepromjenjiv - os simetrije je pravac nepromjenljivih točaka.

Teorem: Ako gibanje nema nepromjenjivu točku, onda ima barem jedan nepromjenjivi smjer.

Primjer: Paralelni prijenos. Doista, pravci paralelni s tim pravcem nepromjenjivi su kao lik kao cjelina, iako se ne sastoji od nepromjenjivih točaka.

Teorem: Ako se neka zraka giba, zraka se prevodi u sebe, tada je to gibanje ili identična transformacija, ili simetrija u odnosu na pravac koji sadrži danu zraku.

Prema tome, prema prisutnosti nepromjenjivih točaka ili figura, moguće je klasificirati kretanja.

Naziv pokreta	Invarijantne točke	Invarijantne linije
Kretanje prve vrste.
1. - okret	(u sredini) - 0	Ne
2. Transformacija identiteta	sve točke ravnine	sve ravno
3. Centralna simetrija	točka 0 - centar	sve prave koje prolaze točkom 0
4. Paralelni prijenos	Ne	sve ravno
Kretanje druge vrste.
5. Osna simetrija.	skup točaka	os simetrije (ravna) sve ravno

Grupa kretanja aviona: U geometriji samopodudarne skupine likova igraju važnu ulogu. Ako je - neka figura na ravnini (ili u prostoru), tada možemo smatrati skup svih onih kretanja ravnine (ili prostora), u kojima figura prelazi u sebe.

Ovaj skup je grupa. Na primjer, za jednakostranični trokut, skupina ravninskih gibanja koja uzimaju trokut u sebe sastoji se od 6 elemenata: rotacije za kutove oko točke i simetrije oko tri pravca.

Oni su prikazani na sl. 1 s crvenim linijama. Elementi skupine samopodudaranja pravilnog trokuta mogu se specificirati i na drugi način. Da bismo to pojasnili, označimo vrhove pravilnog trokuta brojevima 1, 2, 3. može se uvjetno unijeti u obliku jedne od ovih zagrada:

itd.

gdje brojevi 1, 2, 3 označavaju brojeve onih vrhova u koje vrhovi 1, 2, 3 prelaze kao rezultat razmatranog kretanja.

Projektivni prostori i njihovi modeli.

Pojam projektivnog prostora i model projektivnog prostora. Osnove projektivne geometrije. Gomila linija sa središtem u točki O je model projektivne ravnine. projektivne točke. Produžena ravnina je model projektivne ravnine. Prošireni trodimenzionalni afini ili euklidski prostor je model projektivnog prostora. Slike ravnih i prostornih figura u paralelnom dizajnu.

Pojam projektivnog prostora i model projektivnog prostora:

Projektivni prostor nad poljem je prostor koji se sastoji od pravaca (jednodimenzionalnih podprostora) nekog linearnog prostora nad danim poljem. Ravni prostori nazivaju se točkice projektivni prostor. Ova se definicija može generalizirati na proizvoljno tijelo

Ako ima dimenziju , tada se dimenzija projektivnog prostora naziva broj , a sam projektivni prostor se označava i naziva pridruženim (da se to označi, usvojena je oznaka).

Prijelaz iz vektorskog prostora dimenzije u odgovarajući projektivni prostor naziva se projektivizacija prostori.

Točke se mogu opisati pomoću homogenih koordinata.

Osnovne činjenice projektivne geometrije: Projektivna geometrija je grana geometrije koja proučava projektivne ravnine i prostore. Glavna značajka projektivne geometrije je princip dualnosti, koji dodaje gracioznu simetriju mnogim dizajnima. Projektivna geometrija može se proučavati i sa čisto geometrijskog gledišta, i sa analitičkog (koristeći homogene koordinate) i salgebarskog gledišta, razmatrajući projektivnu ravninu kao strukturu nad poljem. Često, i povijesno, stvarna projektivna ravnina se tretira kao Euklidska ravnina uz dodatak "pravca u beskonačnosti".

Dok su svojstva figura kojima se bavi euklidska geometrija metrički(određene vrijednosti kutova, odsječaka, površina), a ekvivalentnost figura je ekvivalentna njihovoj kongruencija(tj. kada se figure mogu prevesti jedna u drugu pomoću kretanja uz očuvanje metričkih svojstava), postoje više "dubljih" svojstava geometrijskih likova koja se čuvaju transformacijama općenitijeg tipa od kretanja. Projektivna geometrija proučava svojstva figura koje su nepromjenjive prema klasi projektivne transformacije, kao i same ove transformacije.

Projektivna geometrija nadopunjuje euklidsku geometriju pružajući lijepa i jednostavna rješenja za mnoge probleme komplicirane prisutnošću paralelnih linija. Projektivna teorija konusnih presjeka posebno je jednostavna i elegantna.

Postoje tri glavna pristupa projektivnoj geometriji: nezavisna aksiomatizacija, dodatak euklidskoj geometriji i struktura nad poljem.

Aksiomatizacija

Projektivni prostor može se definirati pomoću različitih skupova aksioma.

Coxeter nudi sljedeće:

1. Postoji pravac, a točka nije na njemu.

2. Na svakom pravcu nalaze se najmanje tri točke.

3. Kroz dvije točke može se povući točno jedna ravna crta.

4. Ako A, B, C, I D različite točke i AB I CD presijecati, dakle AC I BD presijecati.

5. Ako ABC je ravnina, tada postoji barem jedna točka koja nije u ravnini ABC.

6. Dvije različite ravnine sijeku se u najmanje dvije točke.

7. Tri dijagonalne točke potpunog četverokuta nisu kolinearne.

8. Ako na pravoj liniji postoje tri točke x x

Projektivna ravnina (bez treće dimenzije) definirana je nešto drugačijim aksiomima:

1. Kroz dvije točke može se povući točno jedna ravna crta.

2. Bilo koja dva pravca se sijeku.

3. Postoje četiri točke od kojih ne postoje tri kolinearne.

4. Tri dijagonalne točke potpunih četverokuta nisu kolinearne.

5. Ako na pravoj liniji postoje tri točke x su invarijantne prema projektivnosti φ, tada su sve točke na x su nepromjenjive u odnosu na φ.

6. Desarguesov teorem: Ako su dva trokuta perspektivna kroz točku, onda su perspektivna i kroz pravac.

U prisutnosti treće dimenzije, Desarguesov teorem može se dokazati bez uvođenja idealne točke i pravca.

Proširena ravnina - model projekcijske ravnine: u afinom prostoru A3 uzmite snop pravaca S(O) sa središtem u točki O i ravninu Π koja ne prolazi kroz središte snopa: O 6∈ Π. Snop pravaca u afinom prostoru je model projektivne ravnine. Postavimo preslikavanje skupa točaka ravnine Π na skup linija snopa S (Prokletstvo, molim te ako imaš ovo pitanje, žao mi je)

Prošireni trodimenzionalni afini ili euklidski prostor - model projektivnog prostora:

Kako bismo preslikavanje učinili surjektivnim, ponavljamo postupak formalnog proširenja afine ravnine Π na projektivnu ravninu, Π, dopunjavajući ravninu Π skupom nepravih točaka (M∞) tako da je: ((M∞)) = P0(O). Kako je u preslikavanju inverzna slika svake ravnine snopa ravnina S(O) pravac na ravnini d, očito je da skup svih nevlastitih točaka proširene ravnine: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), je nevlastiti pravac d∞ proširene ravnine koja je inverzna slika singularne ravnine Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Dogovorimo se da ćemo ovdje i dalje posljednju jednakost P0(O) = Π0 shvatiti u smislu jednakosti skupova točaka, ali obdarenih različitim strukturama. Nadopunjujući afinu ravninu nepravilnom linijom, osigurali smo da preslikavanje (I.21) postane bijektivno na skupu svih točaka proširene ravnine:

Slike ravnih i prostornih figura u paralelnom dizajnu:

U stereometriji se proučavaju prostorne figure, ali na crtežu se prikazuju kao ravne figure. Kako bi, dakle, trebao biti prikazan prostorni lik na ravnini? Obično se u geometriji za to koristi paralelni dizajn. Neka je p neka ravnina, l- ravna linija koja ga siječe (slika 1). Kroz proizvoljnu točku A, ne pripadaju liniji l nacrtaj liniju paralelnu s linijom l. Sjecište tog pravca s ravninom p naziva se paralelna projekcija točke A na ravninu p u smjeru pravca l. Označimo to A". Ako je točka A pripada liniji l, zatim paralelna projekcija A na ravninu p smatra se sjecište pravca l s ravninom str.

Dakle, svaki bod A prostor se preslikava na njegovu projekciju A" na ravninu p. Ova podudarnost naziva se paralelna projekcija na ravninu p u smjeru pravca l.

Skupina projektivnih transformacija. Primjena za rješavanje problema.

Pojam projektivne transformacije ravnine. Primjeri projektivnih ravninskih transformacija. Svojstva projektivnih transformacija. Homologija, svojstva homologije. Skupina projektivnih transformacija.

Koncept projektivne transformacije ravnine: Pojam projektivne transformacije generalizira pojam središnje projekcije. Izvedemo li središnju projekciju ravnine α na neku ravninu α 1 , zatim projekciju α 1 na α 2 , α 2 na α 3 , ... i, konačno, neku ravninu α n opet na α 1 , tada je sastav svih ovih projekcija projektivna transformacija ravnine α; takav lanac može uključivati ​​paralelne projekcije.

Primjeri projektivnih ravninskih transformacija: Projektivna transformacija proširene ravnine je njezino jedno-na-jedan preslikavanje na samu sebe, koje zadržava kolinearnost točaka, ili, drugim riječima, slika bilo kojeg pravca je pravac. Svaka projektivna transformacija je sastav lanca središnjih i paralelnih projekcija. Afina transformacija je poseban slučaj projektivne transformacije, u kojoj pravac u beskonačnosti ide sam u sebe.

Svojstva projektivnih transformacija:

Pod projektivnom transformacijom, tri točke koje nisu na pravcu preslikavaju se u tri točke koje nisu na pravcu.

Pod projektivnom transformacijom, okvir prelazi na okvir.

Kod projektivne transformacije pravac prelazi u ravnu liniju, snop prelazi u snop.

Homologija, svojstva homologije:

Projektivna transformacija ravnine koja ima pravac nepromjenljivih točaka i stoga pramen nepromjenljivih pravaca naziva se homologija.

1. Pravac koji prolazi kroz odgovarajuće točke homologije koje se ne podudaraju je invarijantni pravac;

2. Pravci koji prolaze kroz odgovarajuće nepoklapajuće homološke točke pripadaju istoj olovci čije je središte invarijantna točka.

3. Točka, njezina slika i središte homologije leže na istoj ravnici.

Skupina projektivnih transformacija: razmotrimo projektivno preslikavanje projektivne ravnine P 2 na samu sebe, odnosno projektivnu transformaciju te ravnine (P 2 ’ = P 2).

Kao i prije, sastav f projektivnih transformacija f 1 i f 2 projektivne ravnine P 2 je rezultat uzastopnog izvođenja transformacija f 1 i f 2: f = f 2 °f 1 .

Teorem 1: Skup H svih projektivnih transformacija projektivne ravnine P 2 je grupa pod kompozicijom projektivnih transformacija.

Kvadratni oblici

kvadratni oblik f(x 1, x 2,..., x n) od n varijabli naziva se zbrojem, čiji je svaki član ili kvadrat jedne od varijabli ili umnožak dviju različitih varijabli, uzetih s određenim koeficijentom: f(x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Matrica A, sastavljena od ovih koeficijenata, naziva se matrica kvadratne forme. Uvijek je simetričan matrica (tj. matrica simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu, a ij = a ji).

U matričnom zapisu, kvadratni oblik ima oblik f(X) = X T AX, gdje je

Doista

Na primjer, zapišimo kvadratni oblik u matričnom obliku.

Da bismo to učinili, nalazimo matricu kvadratnog oblika. Njegovi dijagonalni elementi jednaki su koeficijentima na kvadratima varijabli, a ostali elementi jednaki su polovici odgovarajućih koeficijenata kvadratne forme. Zato

Neka je stupac matrice varijabli X dobiven nedegeneriranom linearnom transformacijom stupca matrice Y, tj. X = CY, gdje je C nedegenerirana matrica reda n. Zatim kvadratni oblik
f(X) \u003d X T AX \u003d (CY) T A (CY) \u003d (Y T C T) A (CY) \u003d Y T (CT AC) Y.

Dakle, pod nedegeneriranom linearnom transformacijom C, matrica kvadratnog oblika poprima oblik: A * = C T AC.

Na primjer, pronađimo kvadratni oblik f(y 1, y 2) dobiven iz kvadratnog oblika f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 linearnom transformacijom.

Kvadratni oblik se zove kanonski(Ima kanonski pogled) ako su svi njegovi koeficijenti a ij = 0 za i ≠ j, tj.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Njegova matrica je dijagonalna.

Teorema(dokaz nije dat ovdje). Svaki kvadratni oblik može se reducirati na kanonski oblik pomoću nedegenerirane linearne transformacije.

Na primjer, svedimo na kanonski oblik kvadratni oblik
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Da biste to učinili, prvo odaberite puni kvadrat za varijablu x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Sada odabiremo puni kvadrat za varijablu x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Tada nedegenerirana linearna transformacija y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 i y 3 \u003d x 3 dovodi ovaj kvadratni oblik u kanonski oblik f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Imajte na umu da je kanonski oblik kvadratnog oblika definiran dvosmisleno (isti kvadratni oblik može se svesti na kanonski oblik na različite načine). Međutim, kanonski oblici dobiveni različitim metodama imaju niz zajedničkih svojstava. Konkretno, broj članova s ​​pozitivnim (negativnim) koeficijentima kvadratnog oblika ne ovisi o tome kako se oblik svodi na taj oblik (npr. u razmatranom primjeru uvijek će postojati dva negativna i jedan pozitivan koeficijent). Ovo svojstvo se zove zakon tromosti kvadratnih oblika.

Provjerimo ovo redukcijom istog kvadratnog oblika na kanonski oblik na drugačiji način. Započnimo transformaciju s varijablom x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, gdje je y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6 ) x 3 i y 3 = x 1 . Ovdje, pozitivan koeficijent 2 za y 3 i dva negativna koeficijenta (-3) za y 1 i y 2 (i koristeći drugu metodu, dobili smo pozitivan koeficijent 2 za y 1 i dva negativna koeficijenta - (-5) za y 2 i (-1/20) za y 3).

Također treba napomenuti da je rang matrice kvadratnog oblika, tzv rang kvadratne forme, jednak je broju koeficijenata različitih od nule kanonskog oblika i ne mijenja se pod linearnim transformacijama.

Kvadratni oblik f(X) naziva se pozitivno (negativan) određeni, ako je za sve vrijednosti varijabli koje nisu istovremeno jednake nuli, ona pozitivna, tj. f(X) > 0 (negativno, tj.
f(X)< 0).

Na primjer, kvadratni oblik f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 je pozitivno određen, jer je zbroj kvadrata, a kvadratni oblik f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 je negativno određen, jer predstavlja može se predstaviti kao f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

U većini praktičnih situacija nešto je teže utvrditi predznak određenosti kvadratne forme, pa se za to koristi jedan od sljedećih teorema (formuliramo ih bez dokaza).

Teorema. Kvadratni oblik je pozitivno (negativno) određen ako i samo ako su sve svojstvene vrijednosti njegove matrice pozitivne (negativne).

Teorem (Sylvesterov kriterij). Kvadratna forma je pozitivno određena ako i samo ako su svi glavni minori matrice te forme pozitivni.

Dur (kutak) mol K-ti red matrice A n-tog reda naziva se determinanta matrice, sastavljena od prvih k redaka i stupaca matrice A ().

Imajte na umu da se za negativno određene kvadratne oblike predznaci glavnih minora izmjenjuju, a minor prvog reda mora biti negativan.

Na primjer, ispitujemo predznačno definirani kvadratni oblik f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Stoga je kvadratna forma pozitivno određena.

Metoda 2. Glavni minor prvog reda matrice A D 1 = a 11 = 2 > 0. Glavni minor drugog reda D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Prema tome, prema Sylvesterovom kriteriju, kvadratna forma je pozitivno određena.

Ispitujemo još jedan kvadratni oblik za predznak, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Konstruirajmo matricu kvadratnog oblika A = . Karakteristična jednadžba će imati oblik = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 \u003d (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 + 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Stoga je kvadratni oblik negativno određen.

Četvrtasti oblici.
Značaj formi. Sylvesterov kriterij

Pridjev "kvadrat" odmah sugerira da je ovdje nešto povezano s kvadratom (drugi stupanj), a vrlo brzo ćemo znati to "nešto" i što je forma. Odmah ispalo :)

Dobrodošli u moju novu lekciju, a kao neposredno zagrijavanje, pogledat ćemo oblik pruge linearni. Linearni oblik varijable nazvao homogena Polinom 1. stupnja:

- neke konkretne brojke * (pretpostavljamo da je barem jedan od njih različit od nule), i su varijable koje mogu poprimiti proizvoljne vrijednosti.

* U ovoj temi ćemo samo razmotriti realni brojevi .

Već smo se susreli s pojmom "homogen" u lekciji o homogeni sustavi linearnih jednadžbi, au ovom slučaju implicira da polinom nema dodanu konstantu .

Na primjer: – linearni oblik dviju varijabli

Sada je oblik kvadratičan. kvadratni oblik varijable nazvao homogena polinom 2. stupnja, svaki termin od kojih sadrži ili kvadrat varijable ili dvostruko umnožak varijabli. Tako, na primjer, kvadratni oblik dviju varijabli ima sljedeći oblik:

Pažnja! Ovo je standardni unos i ne morate ništa mijenjati u njemu! Unatoč "užasnom" izgledu, ovdje je sve jednostavno - dvostruki indeksi konstanti signaliziraju koje su varijable uključene u jedan ili drugi izraz:
– ovaj pojam sadrži umnožak i (kvadrat);
- evo posla;
- i evo posla.

- Odmah predviđam grubu pogrešku kada izgube "minus" koeficijenta, ne shvaćajući da se to odnosi na pojam:

Ponekad postoji "školska" verzija dizajna u duhu, ali onda samo ponekad. Usput, imajte na umu da nam konstante ovdje ne govore baš ništa, pa je stoga teže zapamtiti "jednostavnu notaciju". Pogotovo kada ima više varijabli.

A kvadratni oblik tri varijable već sadrži šest članova:

... zašto su "dva" množitelja stavljena u "mješovite" pojmove? To je zgodno, a uskoro će postati jasno zašto.

Međutim, zapisat ćemo opću formulu, prikladno je urediti je s "listom":

- pažljivo proučite svaki redak - u tome nema ništa loše!

Kvadratni oblik sadrži članove s kvadratom varijabli i članove s njihovim umnošcima parova (cm. kombinatorna formula kombinacija) . Ništa drugo - nema "usamljenog x" i nema dodane konstante (tada ne dobivate kvadratni oblik, već heterogena polinom 2. stupnja).

Matrični zapis kvadratnog oblika

Ovisno o vrijednostima, razmatrani oblik može poprimiti i pozitivne i negativne vrijednosti, a isto vrijedi i za bilo koji linearni oblik - ako je barem jedan njegov koeficijent različit od nule, tada može ispasti ili pozitivan ili negativan (ovisno o na vrijednosti).

Ovaj oblik se zove naizmjenično. I ako je kod linearne forme sve transparentno, onda je kod kvadratne forme stvari puno zanimljivije:

Sasvim je jasno da ovaj oblik može poprimiti vrijednosti bilo kojeg znaka, dakle, kvadratni oblik također može biti izmjeničan.

Možda nije:

– uvijek, osim ako oba nisu jednaka nuli.

- za bilo koga vektor osim nule.

I općenito govoreći, ako za bilo koji različit od nule vektor , , tada se zove kvadratni oblik pozitivno određen; ako tada negativno određen.

I sve bi bilo u redu, ali određenost kvadratne forme vidljiva je samo u jednostavnim primjerima, a ta se vidljivost gubi već uz malu komplikaciju:
– ?

Moglo bi se pretpostaviti da je oblik pozitivno definiran, no je li to doista tako? Odjednom postoje vrijednosti na kojima je manje od nule?

Na ovom računu, tamo teorema: Ako svi svojstvene vrijednosti matrice kvadratnog oblika su pozitivne * , onda je pozitivno definiran. Ako su svi negativni, onda negativni.

* U teoriji je dokazano da su sve svojstvene vrijednosti realne simetrične matrice važeći

Napišimo matricu gornjeg oblika:
a iz jednadžbe hajde da je pronađemo svojstvene vrijednosti:

Rješavamo dobro staro kvadratna jednadžba:

, dakle obrazac je pozitivno definiran, tj. za sve vrijednosti različite od nule, ona je veća od nule.

Čini se da razmatrana metoda djeluje, ali postoji jedno veliko ALI. Već za matricu tri puta tri, traženje svojstvenih vrijednosti dug je i neugodan zadatak; s velikom vjerojatnošću dobijete polinom 3. stupnja s iracionalnim korijenima.

Kako biti? Postoji lakši način!

Sylvesterov kriterij

Ne, ne Sylvester Stallone :) Prvo, da vas podsjetim što kutni minori matrice. Ovaj odrednice koji "rastu" iz njegovog gornjeg lijevog kuta:

a posljednji je točno jednak determinanti matrice.

Sada, zapravo, kriterij:

1) Kvadratni oblik definiran pozitivno ako i samo ako su SVI njegovi kutni minori veći od nule: .

2) Kvadratni oblik definiran negativan ako i samo ako se njegovi kutni minori izmjenjuju u predznaku, dok je 1. minor manji od nule: , , ako je paran ili , ako je neparan.

Ako barem jedan kutni minor ima suprotan predznak, tada je oblik znakovno-izmjenični. Ako su kutni minori “onog” predznaka, ali među njima ima nula, onda je to poseban slučaj, koji ću analizirati malo kasnije, nakon što kliknemo na češće primjere.

Analizirajmo kutne minore matrice :

A to nam odmah govori da forma nije negativno određena.

Zaključak: svi minori kutova su veći od nule, pa oblik pozitivno definiran.

Postoji li razlika s metodom svojstvenih vrijednosti? ;)

Matricu oblika pišemo iz Primjer 1:

njegov prvi kutni minor, a drugi , odakle slijedi da je oblik znakovnoizmjeničan, t j . ovisno o vrijednostima, može imati i pozitivne i negativne vrijednosti. Međutim, ovo je tako očito.

Uzmite obrazac i njegovu matricu iz Primjer 2:

ovdje uopće bez uvida ne razumjeti. Ali sa Sylvesterovim kriterijem, nije nas briga:
, stoga oblik definitivno nije negativan.

, i definitivno ne pozitivno. (jer svi minori kutova moraju biti pozitivni).

Zaključak: oblik je izmjeničan.

Primjeri za zagrijavanje za samostalno rješavanje:

Primjer 4

Istražite predznačno definiranost kvadratnih oblika

A)

U ovim primjerima, sve je glatko (pogledajte kraj lekcije), ali zapravo, izvršiti takav zadatak Sylvesterov kriterij možda nije dovoljan.

Stvar je u tome da postoje "granični" slučajevi, naime: ako za bilo koji različit od nule vektor , tada je oblik definiran nenegativan, ako tada nepozitivan. Ovi oblici imaju različit od nule vektori za koje .

Ovdje možete donijeti takvu "harmoniku s gumbima":

Isticanje puni kvadrat, odmah vidimo nenegativnost oblik: , štoviše, jednak je nuli za bilo koji vektor s jednakim koordinatama, na primjer: .

Primjer "ogledala". nepozitivan određeni oblik:

i još trivijalniji primjer:
– ovdje je oblik jednak nuli za bilo koji vektor , gdje je proizvoljan broj.

Kako otkriti nenegativnost ili nepozitivnost forme?

Za ovo nam je potreban koncept glavni maloljetnici matrice. Glavni minor je minor sastavljen od elemenata koji se nalaze na sjecištu redaka i stupaca s istim brojevima. Dakle, matrica ima dva glavna minora 1. reda:
(element je na sjecištu 1. reda i 1. stupca);
(element je na sjecištu 2. reda i 2. stupca),

i jedan veliki sporedni 2. reda:
- sastavljen od elemenata 1., 2. reda i 1., 2. stupca.

Matrica "tri po tri" Postoji sedam glavnih sporednih, a ovdje već morate mahati bicepsom:
- tri maloljetnika I. reda,
tri maloljetnika 2. reda:
- sastavljen od elemenata 1., 2. reda i 1., 2. stupca;
- sastavljen od elemenata 1., 3. reda i 1., 3. stupca;
- sastoji se od elemenata 2., 3. reda i 2., 3. stupca,
i jedan minor 3. reda:
- sastoji se od elemenata 1., 2., 3. retka i 1., 2. i 3. stupca.
Vježbajte za razumijevanje: zapišite sve glavne minore matrice .
Provjeravamo na kraju lekcije i nastavljamo.

Schwarzeneggerov kriterij:

1) Definiran kvadratni oblik različit od nule* nenegativan ako i samo ako SVI njegovi glavni minori nenegativan(veće ili jednako nuli).

* Nulti (degenerirani) kvadratni oblik ima sve koeficijente jednake nuli.

2) Kvadratni oblik različit od nule s definiranom matricom nepozitivan ako i samo ako je:
– glavni maloljetnici I. reda nepozitivan(manje ili jednako nuli);
su glavni minori 2. reda nenegativan;
– glavni maloljetnici 3. reda nepozitivan(alternacija je počela);
…
– durski mol th reda nepozitivan, ako je neparan ili nenegativan, ako je paran.

Ako je barem jedan minor suprotnog predznaka, tada je oblik predznakoizmjenični.

Pogledajmo kako kriterij funkcionira u gornjim primjerima:

Napravimo matricu oblika, i Prvo izračunajmo kutne minore - što ako je pozitivno ili negativno definiran?

Dobivene vrijednosti ne zadovoljavaju Sylvesterov kriterij, ali drugi minor nije negativno, zbog čega je potrebno provjeriti 2. kriterij (u slučaju 2. kriterija neće se automatski ispuniti, tj. odmah se zaključuje o predznaku promjene oblika).

Glavni manji 1. reda:
- su pozitivni
2. red dur mol:
- nije negativno.

Dakle, SVI glavni minori su nenegativni, pa oblik nenegativan.

Napišimo matricu oblika , za koje očito nije zadovoljen Sylvesterov kriterij. Ali također nismo dobili suprotne predznake (jer su oba kutna minora jednaka nuli). Stoga provjeravamo ispunjenje kriterija nenegativnosti/nepozitivnosti. Glavni manji 1. reda:
- nije pozitivno
2. red dur mol:
- nije negativno.

Dakle, prema Schwarzeneggerovom kriteriju (točka 2) forma je određena nepozitivno.

Sada ćemo, potpuno naoružani, analizirati jedan zabavniji problem:

Primjer 5

Ispitajte kvadratni oblik za predznak

Ovaj obrazac je ukrašen redom "alfa", koji može biti jednak bilo kojem realnom broju. Ali bit će samo zabavnije odlučiti.

Prvo, zapišimo matricu obrazaca, vjerojatno su se mnogi već prilagodili da to rade usmeno: glavna dijagonala na kvadrate stavljamo koeficijente, a na simetrična mjesta - polukoeficijente odgovarajućih "mješovitih" proizvoda:

Izračunajmo kutne minore:

Proširit ću treću odrednicu duž 3. retka:

U ovom odjeljku usredotočit ćemo se na posebnu, ali važnu klasu pozitivnih kvadratnih oblika.

Definicija 3. Realni kvadratni oblik naziva se nenegativnim (nepozitivnim) ako za bilo koje stvarne vrijednosti varijabli

. (35)

U tom slučaju se simetrična matrica koeficijenata naziva pozitivno poluodređena (negativna poluodređena).

Definicija 4. Realni kvadratni oblik naziva se pozitivno-određenim (negativno-određenim) ako za bilo koje stvarne vrijednosti varijabli koje nisu istodobno jednake nuli

. (36)

U ovom slučaju, matrica se također naziva pozitivno određeno (negativno određeno).

Klasa pozitivno-određenih (niječno-određenih) oblika dio je klase nenegativnih (odnosno nepozitivnih) oblika.

Neka je dan nenegativan oblik. Predstavljamo ga kao zbroj neovisnih kvadrata:

. (37)

U ovom prikazu svi kvadrati moraju biti pozitivni:

. (38)

Doista, ako ih ima, tada bi bilo moguće odabrati takve vrijednosti za koje

Ali tada bi za te vrijednosti varijabli obrazac imao negativnu vrijednost, što je uvjetom nemoguće. Očito, obrnuto, iz (37) i (38) slijedi da je oblik pozitivan.

Dakle, nenegativni kvadratni oblik karakteriziraju jednakosti .

Neka sada bude pozitivno određen oblik. Zatim i neniječni oblik. Stoga se može prikazati u obliku (37), gdje su svi pozitivni. Iz pozitivne određenosti oblika proizlazi da . Doista, u slučaju je moguće odabrati takve vrijednosti koje nisu istovremeno jednake nuli, za koje bi sve nestalo. Ali onda, na temelju (37), na , što je u suprotnosti s uvjetom (36).

Lako je vidjeti da, obrnuto, ako su u (37) i svi pozitivni, tada je pozitivno određen oblik.

Drugim riječima, nenegativni oblik je pozitivno određen ako i samo ako nije singularan.

Sljedeći teorem daje kriterij za pozitivnu određenost forme u obliku nejednakosti koje moraju zadovoljiti koeficijenti forme. U ovom slučaju koristi se oznaka koja se već susreće u prethodnim odjeljcima za uzastopne glavne minore matrice:

.

Teorem 3. Da bi kvadratna forma bila pozitivno određena, potrebno je i dovoljno da su nejednadžbe

Dokaz. Dostatnost uvjeta (39) izravno proizlazi iz Jacobijeve formule (28). Nužnost uvjeta (39) utvrđuje se kako slijedi. Iz pozitivne određenosti oblika slijedi pozitivna određenost »krnjih« oblika

.

Ali tada svi ti oblici moraju biti nesingularni, tj.

Sada imamo priliku upotrijebiti Jacobijevu formulu (28) (za ). Budući da na desnoj strani ove formule svi kvadrati moraju biti pozitivni, onda

To implicira nejednakosti (39). Teorem je dokazan.

Budući da se bilo koji glavni minor matrice, s pravilnim prenumeriranjem varijabli, može smjestiti u gornji lijevi kut, imamo

Posljedica. U pozitivno određenom kvadratnom obliku, svi glavni minori matrice koeficijenata su pozitivni:

Komentar. Iz nenegativnosti uzastopnih glavnih minora

ne slijedi nenegativnost oblika . Doista, forma

,

pri čemu , zadovoljava uvjete , ali nije nenegativan.

Međutim, postoji sljedeće

Teorem 4. Da bi kvadratna forma bila nenegativna, potrebno je i dovoljno da svi glavni minori njene matrice koeficijenata budu nenegativni:

Dokaz. Uvedimo pomoćni oblik koji je nepozitivan, potrebno je i dovoljno da nejednakosti

Facebook

Cvrkut

U kontaktu s

Kolege

Google Plus