Ինչից է բաղկացած եռանկյունը: Նմանատիպ եռանկյուններ

Ընդհանուր առմամբ, երկու եռանկյունները համարվում են նման, եթե նրանք ունեն նույն ձևը, նույնիսկ եթե դրանք տարբեր չափերի են, պտտված կամ նույնիսկ գլխիվայր:

Նկարում ներկայացված A 1 B 1 C 1 և A 2 B 2 C 2 միանման եռանկյունների մաթեմատիկական պատկերը գրված է հետևյալ կերպ.

ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2

Երկու եռանկյուններ նման են, եթե.

1. Մի եռանկյան յուրաքանչյուր անկյուն հավասար է մեկ այլ եռանկյան համապատասխան անկյան.
∠A 1 = ∠A 2, ∠B 1 = ∠B 2Եվ ∠C 1 = ∠C 2

2. Մի եռանկյան կողմերի հարաբերությունները մյուս եռանկյան համապատասխան կողմերի հարաբերությունները հավասար են միմյանց.
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Հարաբերություններ երկու կողմՄեկ եռանկյունը մյուս եռանկյան համապատասխան կողմերին հավասար են միմյանց և միևնույն ժամանակ
Այս կողմերի միջև անկյունները հավասար են.
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ և $\անկյուն A_1 = \անկյուն A_2$
կամ
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ և $\անկյուն B_1 = \անկյուն B_2$
կամ
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ և $\անկյուն C_1 = \անկյուն C_2$

Մի շփոթեք նմանատիպ եռանկյունները հավասար եռանկյունների հետ: Հավասար եռանկյունները ունեն հավասար համապատասխան կողմերի երկարություններ: Հետևաբար, համահունչ եռանկյունների համար.

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Այստեղից հետևում է, որ բոլոր հավասար եռանկյունները նման են։ Այնուամենայնիվ, ոչ բոլոր նման եռանկյուններն են հավասար:

Թեև վերը նշված նշումը ցույց է տալիս, որ պարզելու համար, թե երկու եռանկյունները նման են, թե ոչ, մենք պետք է իմանանք յուրաքանչյուր եռանկյունու երեք անկյունների արժեքները կամ երեք կողմերի երկարությունները, նույնանման եռանկյունների հետ խնդիրներ լուծելու համար բավական է իմանալ. յուրաքանչյուր եռանկյունու համար վերը նշված արժեքներից ցանկացած երեքը: Այս քանակները կարող են լինել տարբեր համակցություններով.

1) յուրաքանչյուր եռանկյան երեք անկյուն (պետք չէ իմանալ եռանկյունների կողմերի երկարությունները):

Կամ մեկ եռանկյան առնվազն 2 անկյունը պետք է հավասար լինի մեկ այլ եռանկյան 2 անկյունին:
Քանի որ եթե 2 անկյունները հավասար են, ապա երրորդ անկյունը նույնպես հավասար կլինի (երրորդ անկյան արժեքը 180 - անկյուն 1 - անկյուն 2):

2) յուրաքանչյուր եռանկյունու կողմերի երկարությունները (անկյունները պետք չէ իմանալ);

3) երկու կողմերի երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունը.

Հաջորդիվ կանդրադառնանք նմանատիպ եռանկյուններով որոշ խնդիրների լուծմանը: Մենք նախ կանդրադառնանք խնդիրներին, որոնք կարող են լուծվել ուղղակիորեն օգտագործելով վերը նշված կանոնները, այնուհետև կքննարկենք մի քանի գործնական խնդիրներ, որոնք կարող են լուծվել նմանատիպ եռանկյունու մեթոդով:

Կատարեք խնդիրներ նմանատիպ եռանկյունների հետ

Օրինակ #1: Ցույց տվեք, որ ստորև նկարում պատկերված երկու եռանկյունները նման են:

Լուծում:
Քանի որ երկու եռանկյունների կողմերի երկարությունները հայտնի են, այստեղ կարող է կիրառվել երկրորդ կանոնը.

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$$\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Օրինակ #2: Ցույց տվեք, որ երկու տրված եռանկյունները նման են և որոշեք կողմերի երկարությունները PQԵվ PR.

Լուծում:
∠A = ∠PԵվ ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(քանի որ ∠C = 180 - ∠A - ∠B և ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Այստեղից հետևում է, որ ΔABC և ΔPQR եռանկյունները նման են։ Հետևաբար.
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Աջ սլաք PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ և
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14 դոլար

Օրինակ #3: Որոշեք երկարությունը ԱԲայս եռանկյունու մեջ:

Լուծում:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AEDԵվ ∠ Աընդհանուր => եռանկյուններ ΔABCԵվ ΔADEնման են.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Աջ սլաք 2\անգամ AB = AB + 4 \Աջ սլաք AB = 4$

Օրինակ #4: Որոշեք երկարությունը AD (x)երկրաչափական պատկեր նկարում.

ΔABC և ΔCDE եռանկյունները նման են, քանի որ AB || DE և նրանք ունեն ընդհանուր վերին անկյուն C:
Մենք տեսնում ենք, որ մի եռանկյունը մյուսի մասշտաբային տարբերակն է: Այնուամենայնիվ, մենք պետք է դա ապացուցենք մաթեմատիկորեն:

ԱԲ || DE, CD || AC և BC || Ե.Կ.
∠BAC = ∠EDC և ∠ABC = ∠DEC

Ելնելով վերը նշվածից և հաշվի առնելով ընդհանուր անկյան առկայությունը Գ, կարող ենք պնդել, որ ΔABC և ΔCDE եռանկյունները նման են։

Հետևաբար.
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \անգամ 11)(7 ) = 23,57 դոլար
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Գործնական օրինակներ

Օրինակ #5: Գործարանը օգտագործում է թեք փոխակրիչ՝ արտադրանքը 1-ից 2-րդ մակարդակ տեղափոխելու համար, որը 3 մետրով բարձր է 1-ին մակարդակից, ինչպես ցույց է տրված նկարում: Թեք փոխակրիչը սպասարկվում է մի ծայրից մինչև 1 մակարդակ, իսկ մյուս ծայրից՝ աշխատատեղ, որը գտնվում է 1-ին մակարդակի աշխատանքային կետից 8 մետր հեռավորության վրա:

Գործարանը ցանկանում է արդիականացնել փոխակրիչը՝ մուտք գործելու նոր մակարդակ, որը գտնվում է 1-ին մակարդակից 9 մետր բարձրության վրա՝ միաժամանակ պահպանելով փոխակրիչի թեքության անկյունը:

Որոշեք այն հեռավորությունը, որով պետք է տեղադրվի նոր աշխատանքային կայանը՝ ապահովելու համար, որ փոխակրիչը կգործի իր նոր ծայրում՝ 2-րդ մակարդակում: Նաև հաշվարկեք լրացուցիչ հեռավորությունը, որը արտադրանքը կանցնի նոր մակարդակ տեղափոխվելիս:

Լուծում:

Նախ, եկեք յուրաքանչյուր հատման կետ պիտակավորենք որոշակի տառով, ինչպես ցույց է տրված նկարում:

Ելնելով նախորդ օրինակներում վերը բերված պատճառաբանությունից՝ կարող ենք եզրակացնել, որ ΔABC և ΔADE եռանկյունները նման են: Հետևաբար,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Աջ սլաք AB = \frac(8 \անգամ 9)(3 ) = 24 մ$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 մ

Այսպիսով, նոր կետը պետք է տեղադրվի գործող կետից 16 մետր հեռավորության վրա։

Եվ քանի որ կառուցվածքը բաղկացած է ուղղանկյուն եռանկյուններից, արտադրանքի շարժման հեռավորությունը կարող ենք հաշվարկել հետևյալ կերպ.

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Նմանապես, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25.63 m$
որն այն հեռավորությունն է, որը ներկայումս անցնում է ապրանքը, երբ այն հասնում է առկա մակարդակին:

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 մ
սա այն լրացուցիչ հեռավորությունն է, որը ապրանքը պետք է անցնի նոր մակարդակի հասնելու համար:

Օրինակ #6: Սթիվը ցանկանում է այցելել իր ընկերոջը, ով վերջերս է տեղափոխվել նոր տուն: Սթիվի և նրա ընկերոջ տուն տանող ճանապարհային քարտեզը՝ Սթիվին հայտնի հեռավորությունների հետ միասին, ներկայացված է նկարում: Օգնեք Սթիվին հնարավորինս կարճ ճանապարհով հասնել իր ընկերոջ տուն:

Լուծում:

Ճանապարհային քարտեզը կարող է երկրաչափորեն ներկայացված լինել հետևյալ ձևով, ինչպես ցույց է տրված նկարում.

Մենք տեսնում ենք, որ ΔABC և ΔCDE եռանկյունները նման են, հետևաբար.
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Խնդրի հայտարարության մեջ ասվում է.

AB = 15 կմ, AC = 13,13 կմ, CD = 4,41 կմ և DE = 5 կմ

Օգտագործելով այս տեղեկատվությունը, մենք կարող ենք հաշվարկել հետևյալ հեռավորությունները.

$BC = \frac (AB \ անգամ CD) (DE) = \frac (15 \ անգամ 4,41) (5) = 13,23 կմ $
$CE = \frac (AC \ անգամ CD) (BC) = \frac (13.13 \ անգամ 4.41) (13.23) = 4.38 կմ $

Սթիվը կարող է հասնել իր ընկերոջ տուն հետևյալ երթուղիներով.

A -> B -> C -> E -> G, ընդհանուր հեռավորությունը 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 կմ է:

F -> B -> C -> D -> G, ընդհանուր հեռավորությունը 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 կմ է:

F -> A -> C -> E -> G, ընդհանուր հեռավորությունը 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 կմ է:

F -> A -> C -> D -> G, ընդհանուր հեռավորությունը 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 կմ

Ուստի թիվ 3 երթուղին ամենակարճն է և կարելի է առաջարկել Սթիվին։

Օրինակ 7:
Տրիշան ցանկանում է չափել տան բարձրությունը, բայց չունի համապատասխան գործիքներ։ Նա նկատեց, որ տան դիմաց ծառ է աճում, և որոշեց օգտագործել իր հնարամտությունն ու դպրոցում ձեռք բերած երկրաչափական գիտելիքները՝ որոշելու շենքի բարձրությունը: Նա չափեց ծառից մինչև տուն հեռավորությունը, արդյունքը դարձավ 30 մ: Նա կանգնեց ծառի առջև և սկսեց հետ շարժվել, մինչև շենքի վերին եզրը տեսանելի դարձավ ծառի վերևում: Տրիշան նշել է այս վայրը և չափել հեռավորությունը դրանից մինչև ծառը: Այս հեռավորությունը 5 մ էր։

Ծառի բարձրությունը 2,8 մ է, իսկ Տրիշայի աչքի մակարդակը 1,6 մ է։

Լուծում:

Խնդրի երկրաչափական պատկերը ներկայացված է նկարում:

Սկզբում օգտագործում ենք ΔABC և ΔADE եռանկյունների նմանությունը։

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Աջ սլաք 2.8 \անգամ AC = 1.6 \անգամ (5) + AC) = 8 + 1.6 \ անգամ AC$

$(2.8 - 1.6) \անգամ AC = 8 \Աջ սլաք AC = \frac(8) (1.2) = 6.67$

Այնուհետև մենք կարող ենք օգտագործել ΔACB և ΔAFG կամ ΔADE և ΔAFG եռանկյունների նմանությունը: Եկեք ընտրենք առաջին տարբերակը.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Աջ սլաք H = \frac(1.6 )(0.16) = 10 մ$

Եռանկյուն - սահմանում և ընդհանուր հասկացություններ

Եռանկյունը պարզ բազմանկյուն է, որը բաղկացած է երեք կողմերից և ունի նույն թվով անկյուններ։ Նրա հարթությունները սահմանափակված են 3 կետով և այս կետերը զույգերով միացնող 3 հատվածներով։

Ցանկացած եռանկյան բոլոր գագաթները, անկախ նրա տեսակից, նշանակված են մեծատառ լատինատառով, իսկ նրա կողմերը պատկերված են հակառակ գագաթների համապատասխան նշումներով, միայն ոչ մեծատառերով, այլ փոքրերով: Այսպիսով, օրինակ, A, B և C գագաթներով եռանկյունը ունի a, b, c կողմեր:

Եթե ​​դիտարկենք եռանկյունը Էվկլիդեսյան տարածության մեջ, ապա այն երկրաչափական պատկեր է, որը ձևավորվում է երեք հատվածների միջոցով, որոնք միացնում են երեք կետերը, որոնք չեն գտնվում նույն ուղիղ գծի վրա:

Ուշադիր նայեք վերևում ներկայացված նկարին: Դրա վրա A, B և C կետերը այս եռանկյան գագաթներն են, իսկ հատվածները կոչվում են եռանկյան կողմեր։ Այս բազմանկյան յուրաքանչյուր գագաթ իր ներսում անկյուններ է կազմում:

Եռանկյունների տեսակները

Ըստ եռանկյունների անկյունների չափի՝ դրանք բաժանվում են այնպիսի սորտերի, ինչպիսիք են՝ ուղղանկյուն;
Սուր անկյունային;
Բութ.

Ուղղանկյուն եռանկյունները ներառում են այն եռանկյունները, որոնք ունեն մեկ ուղղանկյուն, իսկ մյուս երկուսը ունեն սուր անկյուններ:

Սուր եռանկյուններն այն եռանկյուններն են, որոնցում նրա բոլոր անկյունները սուր են:

Իսկ եթե եռանկյունն ունի մեկ բութ անկյուն, իսկ մյուս երկուսը՝ սուր անկյուն, ապա այդպիսի եռանկյունը դասակարգվում է որպես բութ:

Ձեզանից յուրաքանչյուրը հիանալի հասկանում է, որ ոչ բոլոր եռանկյուններն ունեն հավասար կողմեր։ Եվ ըստ իր կողմերի երկարության՝ եռանկյունները կարելի է բաժանել.

Isosceles;
Հավասարակողմ;
Բազմակողմանի.

Առաջադրանք՝ գծե՛ք տարբեր տեսակի եռանկյուններ: Սահմանեք դրանք: Ի՞նչ տարբերություն եք տեսնում նրանց միջև:

Եռանկյունների հիմնական հատկությունները

Չնայած այս պարզ բազմանկյունները կարող են տարբերվել միմյանցից իրենց անկյունների կամ կողմերի չափերով, յուրաքանչյուր եռանկյուն ունի այն հիմնական հատկությունները, որոնք բնորոշ են այս նկարին:

Ցանկացած եռանկյունում.

Նրա բոլոր անկյունների ընդհանուր գումարը 180º է։
Եթե ​​այն պատկանում է հավասարակողմներին, ապա նրա յուրաքանչյուր անկյունը 60º է:
Հավասարակողմ եռանկյունն ունի հավասար և հավասար անկյուններ:
Որքան փոքր է բազմանկյան կողմը, այնքան փոքր է նրա դիմացի անկյունը, և հակառակը, այնքան մեծ է մեծ կողմի հակառակ անկյունը:
Եթե ​​կողմերը հավասար են, ապա դրանց հակառակ անկյունները հավասար են, և հակառակը։
Եթե ​​վերցնենք եռանկյունը և երկարացնենք նրա կողմը, ապա կհայտնվենք արտաքին անկյունով: Այն հավասար է ներքին անկյունների գումարին։
Ցանկացած եռանկյունու մեջ նրա կողմը, անկախ նրանից, թե որ մեկը կընտրեք, միևնույն է փոքր կլինի մյուս 2 կողմերի գումարից, բայց ավելի շատ, քան նրանց տարբերությունը.

1.ա< b + c, a >b–c;
2.բ< a + c, b >a–c;
3. գ< a + b, c >ա–բ.

Զորավարժություններ

Աղյուսակում ներկայացված են եռանկյան արդեն հայտնի երկու անկյունները: Իմանալով բոլոր անկյունների ընդհանուր գումարը, գտե՛ք, թե ինչին է հավասար եռանկյան երրորդ անկյունը և մուտքագրեք այն աղյուսակում.

1. Քանի՞ աստիճան ունի երրորդ անկյունը:
2. Ի՞նչ տեսակի եռանկյունի է այն պատկանում։

Եռանկյունների համարժեքության թեստեր

ստորագրում եմ

II նշան

III նշան

Եռանկյան բարձրությունը, կիսանկյունը և միջինը

Եռանկյան բարձրություն - նկարի գագաթից դեպի հակառակ կողմը գծված ուղղահայացը կոչվում է եռանկյան բարձրություն: Եռանկյան բոլոր բարձրությունները հատվում են մեկ կետում: Եռանկյան բոլոր 3 բարձրությունների հատման կետը նրա ուղղանկյունն է։

Տրված գագաթից գծված և հակառակ կողմի մեջտեղում միացնող հատվածը միջինն է: Միջինները, ինչպես նաև եռանկյան բարձրությունները, ունեն մեկ ընդհանուր հատման կետ, այսպես կոչված, եռանկյան կամ կենտրոնաձև ծանրության կենտրոն:

Եռանկյան կիսորդը մի հատված է, որը կապում է անկյան գագաթն ու հակառակ կողմի կետը, ինչպես նաև կիսում է այս անկյունը: Եռանկյան բոլոր կիսատները հատվում են մի կետում, որը կոչվում է եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի կենտրոն։

Եռանկյան 2 կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը կոչվում է միջնագիծ։

Պատմական անդրադարձ

Եռանկյունի նման ֆիգուրը հայտնի էր դեռևս հին ժամանակներում: Այս ցուցանիշը և դրա հատկությունները հիշատակվել են եգիպտական ​​պապիրուսների վրա չորս հազար տարի առաջ: Մի փոքր ուշ, Պյութագորասի թեորեմի և Հերոնի բանաձևի շնորհիվ, եռանկյունու հատկությունների ուսումնասիրությունը տեղափոխվեց ավելի բարձր մակարդակ, բայց, այնուամենայնիվ, դա տեղի ունեցավ ավելի քան երկու հազար տարի առաջ:

15-16-րդ դարերում սկսվեցին բազմաթիվ հետազոտություններ եռանկյունու հատկությունների վերաբերյալ, և արդյունքում առաջացավ այնպիսի գիտություն, ինչպիսին է պլանաչափությունը, որը կոչվում էր «Նոր եռանկյունի երկրաչափություն»:

Եռանկյունների հատկությունների իմացության մեջ հսկայական ներդրում է ունեցել ռուս գիտնական Ն.Ի. Նրա աշխատանքները հետագայում կիրառություն գտան մաթեմատիկայի, ֆիզիկայի և կիբեռնետիկայի բնագավառներում։

Եռանկյունների հատկությունների իմացության շնորհիվ առաջացավ այնպիսի գիտություն, ինչպիսին է եռանկյունաչափությունը։ Պարզվեց, որ դա անհրաժեշտ է մարդուն իր գործնական կարիքների մեջ, քանի որ դրա օգտագործումը պարզապես անհրաժեշտ է քարտեզներ կազմելիս, տարածքները չափելիս և նույնիսկ տարբեր մեխանիզմներ նախագծելիս:

Ո՞րն է ձեր իմացած ամենահայտնի եռանկյունը: Սա իհարկե Բերմուդյան եռանկյունին է: Այս անվանումն այն ստացել է 50-ական թվականներին՝ պայմանավորված կետերի աշխարհագրական դիրքով (եռանկյան գագաթներով), որոնց ներսում, ըստ առկա տեսության, առաջացել են դրա հետ կապված անոմալիաներ։ Բերմուդյան եռանկյունու գագաթներն են Բերմուդյան կղզիները, Ֆլորիդան և Պուերտո Ռիկոն:

Առաջադրանք. Բերմուդյան եռանկյունու մասին ի՞նչ տեսություններ եք լսել:

Գիտե՞ք, որ Լոբաչևսկու տեսության մեջ եռանկյան անկյունները գումարելիս դրանց գումարը միշտ ունենում է 180º-ից պակաս արդյունք: Ռիմանի երկրաչափության մեջ եռանկյան բոլոր անկյունների գումարը մեծ է 180º-ից, իսկ Էվկլիդեսի աշխատություններում այն ​​հավասար է 180 աստիճանի։

Տնային աշխատանք

Տրված թեմայի շուրջ խաչբառ լուծել

Հարցեր խաչբառի համար.

1. Ինչպե՞ս է կոչվում այն ​​ուղղահայացը, որը գծված է եռանկյան գագաթից դեպի հակառակ կողմում գտնվող ուղիղը:
2. Ինչպե՞ս կարելի է մեկ բառով անվանել եռանկյան կողմերի երկարությունների գումարը:
3. Անվանի՛ր այն եռանկյունը, որի երկու կողմերը հավասար են:
4. Անվանի՛ր այն եռանկյունը, որն ունի 90°-ի հավասար անկյուն:
5. Ինչպե՞ս է կոչվում եռանկյան ամենամեծ կողմը:
6. Ինչպե՞ս է կոչվում հավասարաչափ եռանկյան կողմը:
7. Ցանկացած եռանկյունու մեջ միշտ դրանք երեքն են:
8. Ինչպե՞ս է կոչվում այն ​​եռանկյունը, որի անկյուններից մեկը գերազանցում է 90°-ը:
9. Մեր պատկերի գագաթը հակառակ կողմի կեսին միացնող հատվածի անունը:
10. Պարզ ABC բազմանկյան մեջ A մեծատառը...?
11. Ինչպե՞ս է կոչվում եռանկյան անկյունը կիսով չափ բաժանող հատվածը:

Հարցեր եռանկյունների թեմայի վերաբերյալ.

1. Սահմանեք այն:
2. Քանի՞ բարձրություն ունի:
3. Քանի՞ կիսանկյուն ունի եռանկյունը:
4. Որքա՞ն է նրա անկյունների գումարը:
5. Այս պարզ բազմանկյան ի՞նչ տեսակներ գիտեք:
6. Անվանի՛ր եռանկյունների այն կետերը, որոնք ուշագրավ են կոչվում:
7. Ինչ սարքով կարող եք չափել անկյունը:
8. Եթե ժամացույցի սլաքները ցույց են տալիս ժամը 21: Ի՞նչ անկյուն են կազմում ժամացույցի սլաքները:
9. Ի՞նչ անկյան տակ է մարդը շրջվում, եթե նրան տրվում է «ձախ», «շրջանակ» հրամանը:
10. Ի՞նչ այլ սահմանումներ գիտեք, որոնք կապված են երեք անկյուն և երեք կողմ ունեցող գործչի հետ:

Առարկաներ > Մաթեմատիկա > Մաթեմատիկա 7-րդ դասարան

Երկու եռանկյունները կոչվում են համահունչ, եթե դրանք կարող են ի մի բերել համընկնման միջոցով: Նկար 1-ում ներկայացված են ABC և A 1 B 1 C 1 հավասար եռանկյունները: Այս եռանկյուններից յուրաքանչյուրը կարող է դրվել մյուսի վրա այնպես, որ դրանք լիովին համատեղելի լինեն, այսինքն՝ նրանց գագաթներն ու կողմերը զույգերով համատեղելի լինեն։ Պարզ է, որ այս եռանկյունների անկյունները նույնպես զույգերով կհամընկնեն։

Այսպիսով, եթե երկու եռանկյուններ համահունչ են, ապա մի եռանկյան տարրերը (այսինքն՝ կողմերն ու անկյունները) համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան տարրերին։ Նշենք, որ հավասար եռանկյունիներում՝ համապատասխանաբար հավասար կողմերի դեմ(այսինքն՝ համընկնումը, երբ վերադրվում է) հավասար անկյուններ ենև ետ: Հավասար կողմերը գտնվում են համապատասխանաբար հավասար անկյունների հակառակ կողմերում:

Այսպիսով, օրինակ, ABC և A 1 B 1 C 1 հավասար եռանկյուններում, որոնք ներկայացված են Նկար 1-ում, AB և A 1 B 1 հավասար կողմերը, համապատասխանաբար, գտնվում են հավասար անկյուններ C և C 1: ABC և A 1 B 1 C 1 եռանկյունների հավասարությունը կնշենք հետևյալ կերպ. Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1: Ստացվում է, որ երկու եռանկյունների հավասարությունը կարելի է հաստատել՝ համեմատելով դրանց որոշ տարրեր։

Թեորեմ 1. Եռանկյունների հավասարության առաջին նշանը.Եթե ​​մի եռանկյան երկու կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը համապատասխանաբար հավասար են երկու կողմերին և նրանց միջև գտնվող մեկ այլ եռանկյան անկյունին, ապա այդպիսի եռանկյունները համահունչ են (նկ. 2):

Ապացույց. Դիտարկենք ABC և A 1 B 1 C 1 եռանկյունները, որոնցում AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (տես նկ. 2): Եկեք ապացուցենք, որ Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1:

Քանի որ ∠ A = ∠ A 1, ապա ABC եռանկյունը կարող է դրվել A 1 B 1 C 1 եռանկյան վրա այնպես, որ A գագաթը հավասարեցվի A 1 գագաթին, իսկ AB և AC կողմերը համապատասխանաբար տեղադրվեն A 1 B 1 և A 1 ճառագայթների վրա: Գ 1 . Քանի որ AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, ապա AB կողմը կհավասարեցվի A 1 B 1 կողմի հետ, իսկ AC կողմը կհավասարեցվի A 1 C 1 կողմի հետ; մասնավորապես B և B 1, C և C 1 կետերը կհամընկնեն: Հետևաբար, BC և B 1 C 1 կողմերը կհավասարեցվեն: Այսպիսով, ABC և A 1 B 1 C 1 եռանկյունները լիովին համատեղելի են, ինչը նշանակում է, որ դրանք հավասար են:

Թեորեմ 2-ն ապացուցված է նմանատիպ եղանակով՝ օգտագործելով սուպերպոզիցիայի մեթոդը։

Թեորեմ 2. Եռանկյունների հավասարության երկրորդ նշանը.Եթե ​​մեկ եռանկյան կողմը և երկու հարակից անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան կողմին և երկու հարակից անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները համընկնում են (նկ. 34):

Մեկնաբանություն. Թեորեմ 2-ի հիման վրա հաստատվում է 3-րդ թեորեմը:

Թեորեմ 3. Եռանկյան ցանկացած երկու ներքին անկյունների գումարը 180°-ից փոքր է:

Թեորեմ 4-ը բխում է վերջին թեորեմից:

Թեորեմ 4. Եռանկյան արտաքին անկյունն ավելի մեծ է, քան ցանկացած ներքին անկյուն, որը կից չէ նրան:

Թեորեմ 5. Եռանկյունների հավասարության երրորդ նշանը.Եթե ​​մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները համահունչ են ():

Օրինակ 1. ABC և DEF եռանկյուններում (նկ. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 սմ, AC = 18 սմ, DE = 18 սմ, EF = 20 սմ Համեմատեք ABC և DEF եռանկյունները: DEF եռանկյան ո՞ր անկյունն է հավասար B անկյունին:

Լուծում. Այս եռանկյունները հավասար են ըստ առաջին նշանի։ DEF եռանկյան F անկյունը հավասար է ABC եռանկյան B անկյունին, քանի որ այս անկյունները գտնվում են համապատասխանաբար հավասար DE և AC կողմերի հակառակ կողմերում:

Օրինակ 2. AB և CD հատվածները (նկ. 5) հատվում են O կետում, որը յուրաքանչյուրի միջնամասն է։ Որքա՞ն է BD հատվածի երկարությունը, եթե AC հատվածը 6 մ է:

Լուծում. AOC և BOD եռանկյունները հավասար են (ըստ առաջին չափանիշի՝ ∠ AOC = ∠ BOD (ուղղահայաց), AO = OB, CO = OD (ըստ պայմանի):
Այս եռանկյունների հավասարությունից հետևում է, որ նրանց կողմերը հավասար են, այսինքն՝ AC = BD: Բայց քանի որ ըստ AC = 6 մ պայմանի, ապա BD = 6 մ.

Երկրաչափության գիտությունը մեզ ասում է, թե ինչ են եռանկյունը, քառակուսին և խորանարդը: Ժամանակակից աշխարհում այն ​​բոլորն առանց բացառության սովորում են դպրոցներում։ Նաև գիտությունը, որն ուղղակիորեն ուսումնասիրում է, թե ինչ է եռանկյունը և ինչ հատկություններ ունի, դա եռանկյունաչափությունն է: Նա մանրամասն ուսումնասիրում է տվյալների հետ կապված բոլոր երևույթները, մենք կխոսենք այն մասին, թե ինչ է եռանկյունին այսօր մեր հոդվածում: Նրանց տեսակները կնկարագրվեն ստորև, ինչպես նաև դրանց հետ կապված որոշ թեորեմներ:

Ի՞նչ է եռանկյունը: Սահմանում

Սա հարթ բազմանկյուն է: Այն ունի երեք անկյուն, ինչպես պարզ է նրա անունից։ Այն ունի նաև երեք կողմ և երեք գագաթ, որոնցից առաջինը հատվածներ են, երկրորդը՝ կետեր։ Իմանալով, թե ինչի են հավասար երկու անկյունները, կարող եք գտնել երրորդը՝ 180 թվից հանելով առաջին երկուսի գումարը։

Ի՞նչ տեսակի եռանկյուններ կան:

Նրանք կարող են դասակարգվել ըստ տարբեր չափանիշների:

Առաջին հերթին դրանք բաժանվում են սուր անկյունային, բութ անկյունային և ուղղանկյունի։ Առաջիններն ունեն սուր անկյուններ, այսինքն՝ նրանք, որոնք հավասար են 90 աստիճանից պակաս: Բութ անկյուններում անկյուններից մեկը բութ է, այսինքն՝ մեկը, որը հավասար է 90 աստիճանից ավելի, մյուս երկուսը սուր են։ Սուր եռանկյունները ներառում են նաև հավասարակողմ եռանկյուններ: Նման եռանկյունները ունեն բոլոր կողմերն ու անկյունները հավասար: Նրանք բոլորը հավասար են 60 աստիճանի, դա կարելի է հեշտությամբ հաշվարկել՝ բոլոր անկյունների գումարը (180) բաժանելով երեքի։

Ուղղանկյուն եռանկյուն

Անհնար է չխոսել այն մասին, թե ինչ է ուղղանկյուն եռանկյունը։

Նման գործիչը ունի մեկ անկյուն, որը հավասար է 90 աստիճանի (ուղիղ), այսինքն՝ նրա երկու կողմերն ուղղահայաց են։ Մնացած երկու անկյունները սուր են: Նրանք կարող են լինել հավասար, ապա դա կլինի հավասարաչափ: Պյութագորասի թեորեմը կապված է ուղղանկյուն եռանկյունու հետ։ Օգտագործելով այն, դուք կարող եք գտնել երրորդ կողմը, իմանալով առաջին երկուսը: Այս թեորեմի համաձայն, եթե մի ոտքի քառակուսին ավելացնեք մյուսի քառակուսին, կարող եք ստանալ հիպոթենուսի քառակուսին: Ոտքի քառակուսին կարելի է հաշվարկել՝ հանելով հայտնի ոտքի քառակուսին հիպոթենուսի քառակուսուց: Խոսելով այն մասին, թե ինչ է եռանկյունը, մենք կարող ենք հիշել նաև հավասարաչափ եռանկյունին: Սա մեկն է, որի կողմերից երկուսը հավասար են, և երկու անկյունները նույնպես հավասար են:

Որոնք են ոտքը և հիպոթենուսը:

Ոտքը 90 աստիճանի անկյուն կազմող եռանկյան կողմերից մեկն է։ Հիպոթենուսը մնացած կողմն է, որը գտնվում է ճիշտ անկյան դիմաց: Դուք կարող եք դրանից ուղղահայաց իջեցնել ոտքի վրա: Հարակից կողմի և հիպոթենուսի հարաբերությունը կոչվում է կոսինուս, իսկ հակառակ կողմը՝ սինուս։

- Որո՞նք են դրա առանձնահատկությունները:

Այն ուղղանկյուն է: Նրա ոտքերը երեք և չորս են, իսկ հիպոթենուսը՝ հինգ։ Եթե ​​տեսնեք, որ տվյալ եռանկյան ոտքերը հավասար են երեքի և չորսի, կարող եք վստահ լինել, որ հիպոթենուսը հավասար է հինգի։ Բացի այդ, օգտագործելով այս սկզբունքը, դուք հեշտությամբ կարող եք որոշել, որ ոտքը հավասար կլինի երեքի, եթե երկրորդը հավասար է չորսի, իսկ հիպոթենուսը հինգ է: Այս պնդումն ապացուցելու համար կարող եք կիրառել Պյութագորասի թեորեմը։ Եթե ​​երկու ոտքերը հավասար են 3-ի և 4-ի, ապա 9 + 16 = 25, 25-ի արմատը 5 է, այսինքն՝ հիպոթենուսը հավասար է 5-ի: Եգիպտական ​​եռանկյունը նաև ուղղանկյուն եռանկյուն է, որի կողմերը հավասար են 6, 8-ի: և 10; 9, 12 և 15 և այլ թվեր՝ 3։4։5 հարաբերակցությամբ։

Էլ ի՞նչ կարող է լինել եռանկյունը:

Եռանկյունները կարող են լինել նաև մակագրված կամ շրջագծված: Այն պատկերը, որի շուրջ նկարագրված է շրջանագիծը, կոչվում է մակագրված, նրա բոլոր գագաթները շրջանագծի վրա ընկած կետեր են: Շրջապատված եռանկյունն այն եռանկյունն է, որի մեջ մակագրված է շրջան։ Նրա բոլոր կողմերը որոշակի կետերում շփվում են դրա հետ։

Ինչպե՞ս է այն գտնվում:

Ցանկացած գործչի մակերեսը չափվում է քառակուսի միավորներով (քառ. մետր, քառ. միլիմետր, քառ. սանտիմետր, քառ. դեցիմետր և այլն): Այս արժեքը կարող է հաշվարկվել տարբեր ձևերով՝ կախված եռանկյունու տեսակից: Անկյուններով ցանկացած գործչի տարածքը կարելի է գտնել՝ նրա կողմը բազմապատկելով հակառակ անկյունից դրա վրա ընկած ուղղահայացով և այս թիվը բաժանելով երկուսի: Այս արժեքը կարող եք գտնել նաև երկու կողմերը բազմապատկելով: Այնուհետև այս թիվը բազմապատկեք այս կողմերի միջև գտնվող անկյան սինուսով և այս արդյունքը բաժանեք երկուսի: Իմանալով եռանկյան բոլոր կողմերը, բայց չիմանալով նրա անկյունները, կարող եք տարածքը գտնել այլ կերպ: Դա անելու համար անհրաժեշտ է գտնել պարագծի կեսը: Այնուհետև այս թվից հերթով հանեք տարբեր կողմերը և ստացված չորս արժեքները բազմապատկեք: Հաջորդը, գտեք դուրս եկած թվից։ Ներգրված եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել՝ բազմապատկելով բոլոր կողմերը և ստացված թիվը բաժանելով նրա շուրջը սահմանափակվածի վրա՝ բազմապատկելով չորսով:

Շրջագծված եռանկյունու մակերեսը գտնում ենք այսպես՝ պարագծի կեսը բազմապատկում ենք դրա մեջ ներգծված շրջանագծի շառավղով։ Եթե ​​այդ դեպքում նրա մակերեսը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ՝ կողմը քառակուսի դարձրեք, ստացված թիվը բազմապատկեք երեքի արմատով, այնուհետև այս թիվը բաժանեք չորսի։ Նմանապես, դուք կարող եք հաշվարկել եռանկյան բարձրությունը, որի բոլոր կողմերը հավասար են դա անելու համար, դուք պետք է նրանցից մեկը բազմապատկեք երեքի արմատով, այնուհետև բաժանեք այս թիվը երկուսի:

Եռանկյունի հետ կապված թեորեմներ

Հիմնական թեորեմները, որոնք կապված են այս գործչի հետ, վերը նկարագրված Պյութագորասի թեորեմն են և կոսինուսները։ Երկրորդը (սինուսներից) այն է, որ եթե որևէ կողմ բաժանես հակառակ անկյան սինուսի վրա, կարող ես ստանալ շուրջը նկարագրված շրջանագծի շառավիղը, որը բազմապատկվում է երկուսով: Երրորդը (կոսինուսները) այն է, որ եթե երկու կողմերի քառակուսիների գումարից հանենք նրանց արտադրյալը՝ բազմապատկած երկուսով և նրանց միջև գտնվող անկյան կոսինուսը, ապա կստանանք երրորդ կողմի քառակուսին։

Դալի եռանկյուն - ինչ է դա:

Շատերը, երբ բախվում են այս հայեցակարգին, սկզբում կարծում են, որ սա երկրաչափության մի տեսակ սահմանում է, բայց դա ամենևին էլ այդպես չէ: Դալի եռանկյունին երեք վայրերի ընդհանուր անվանումն է, որոնք սերտորեն կապված են հայտնի նկարչի կյանքի հետ։ Նրա «գագաթները» տունն է, որտեղ ապրել է Սալվադոր Դալին, դղյակը, որը նա նվիրել է կնոջը, ինչպես նաև սյուրռեալիստական ​​նկարների թանգարանը։ Այս վայրերով շրջագայության ընթացքում դուք կարող եք իմանալ բազմաթիվ հետաքրքիր փաստեր այս եզակի ստեղծագործ նկարչի մասին, որը հայտնի է ամբողջ աշխարհում:

Հավանաբար կարելի էր մի ամբողջ գիրք գրել «Եռանկյունի» թեմայով: Բայց ամբողջ գիրքը կարդալը չափազանց երկար է տևում, չէ՞: Հետևաբար, այստեղ մենք կքննարկենք միայն այն փաստերը, որոնք առնչվում են ընդհանրապես ցանկացած եռանկյունու և բոլոր տեսակի հատուկ թեմաների, ինչպիսիք են և այլն: առանձնացված առանձին թեմաների - գիրքը կտոր-կտոր կարդացեք: Դե, ինչպես ցանկացած եռանկյունու:

1. Եռանկյան անկյունների գումարը: Արտաքին անկյուն.

Հիշեք ամուր և մի մոռացեք. Մենք դա չենք ապացուցի (տես տեսության հետևյալ մակարդակները):

Միակ բանը, որ կարող է ձեզ շփոթեցնել մեր ձևակերպման մեջ, «ներքին» բառն է։

Ինչո՞ւ է այստեղ։ Բայց հենց ընդգծելու համար, որ խոսքը եռանկյան ներսում գտնվող անկյունների մասին է։ Իսկապե՞ս դրսում այլ անկյուններ կան: Պարզապես պատկերացրեք, դրանք լինում են: Եռանկյունը դեռ ունի արտաքին անկյուններ. Եվ ամենակարեւոր հետեւանքն այն է, որ գումարը ներքին անկյուններըեռանկյունը հավասար է, շոշափում է միայն արտաքին եռանկյունին: Այսպիսով, եկեք պարզենք, թե որն է եռանկյան այս արտաքին անկյունը:

Նայեք նկարին. վերցրեք եռանկյունին և (ասենք) շարունակեք մի կողմը:

Իհարկե, մենք կարող էինք թողնել կողքը և շարունակել կողքը։ Սրա նման:

Բայց դուք չեք կարող դա ասել անկյունի մասին ոչ մի դեպքում: դա արգելված է!

Այսպիսով, ոչ թե եռանկյունից դուրս գտնվող յուրաքանչյուր անկյուն իրավունք ունի կոչվել արտաքին անկյուն, այլ միայն ձևավորվածը մի կողմը և մյուս կողմի շարունակությունը:

Այսպիսով, ի՞նչ պետք է իմանանք արտաքին անկյունների մասին:

Նայեք, մեր նկարում սա նշանակում է.

Ինչպե՞ս է դա կապված եռանկյան անկյունների գումարի հետ:

Եկեք պարզենք այն: Ներքին անկյունների գումարը կազմում է

բայց - քանի որ և - հարակից են:

Դե, ահա այն գալիս է.

Տեսնու՞մ եք, թե որքան պարզ է դա։ Բայց շատ կարեւոր. Այսպիսով, հիշեք.

Եռանկյան ներքին անկյունների գումարը հավասար է, իսկ եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է երկու ներքին անկյունների գումարին, որոնք հարակից չեն նրան։

2. Եռանկյան անհավասարություն

Հաջորդ փաստը վերաբերում է ոչ թե անկյուններին, այլ եռանկյան կողմերին։

Դա նշանակում է որ

Դուք արդեն գուշակե՞լ եք, թե ինչու է այս փաստը կոչվում եռանկյունի անհավասարություն:

Դե, որտե՞ղ կարող է օգտակար լինել այս եռանկյունի անհավասարությունը:

Պատկերացրեք, որ ունեք երեք ընկեր՝ Կոլյա, Պետյա և Սերգեյ։ Եվ այսպես, Կոլյան ասում է. «Իմ տնից մինչև Պետյա ուղիղ գծով»: Եվ Պետյա. «Իմ տնից մինչև Սերգեյի տուն, մետր ուղիղ գծով»: Եվ Սերգեյ. «Քեզ համար լավ է, բայց իմ տնից մինչև Կոլինոյե ուղիղ գիծ է»: Դե, այստեղ դուք պետք է ասեք. Ձեզանից ոմանք սուտ են ասում»։

Ինչո՞ւ։ Այո, որովհետև եթե Կոլյայից մինչև Պետյա մ են, իսկ Պետյաից մինչև Սերգեյ՝ մ, ապա Կոլյաից մինչև Սերգեյ պետք է անպայման ավելի քիչ () մետր լինի, հակառակ դեպքում խախտվում է նույն եռանկյունի անհավասարությունը։ Դե, առողջ բանականությունը միանշանակ, բնականաբար, խախտված է. չէ՞ որ բոլորը մանկուց գիտեն, որ դեպի ուղիղ գիծ () ճանապարհը պետք է ավելի կարճ լինի, քան դեպի կետ տանող ճանապարհը։ (). Այսպիսով, եռանկյունի անհավասարությունը պարզապես արտացոլում է այս հայտնի փաստը: Դե, հիմա դուք գիտեք, թե ինչպես պատասխանել, ասեք, մի հարցին.

Եռանկյունն ունի՞ կողմեր:

Դուք պետք է ստուգեք, թե արդյոք ճի՞շտ է, որ այս երեք թվերից երկուսը գումարվում են երրորդից ավելի: Եկեք ստուգենք. դա նշանակում է, որ կողքերով եռանկյունի գոյություն չունի: Բայց կողմերի հետ - դա տեղի է ունենում, քանի որ

3. Եռանկյունների հավասարություն

Դե, իսկ եթե լինի ոչ թե մեկ, այլ երկու կամ ավելի եռանկյուն: Ինչպե՞ս կարող եք ստուգել, ​​թե արդյոք դրանք հավասար են: Իրականում, ըստ սահմանման.

Բայց... սա ահավոր անհարմար սահմանում է։ Ինչպե՞ս, աղոթեք, ասեք, կարելի՞ է երկու եռանկյունիները նույնիսկ նոթատետրում համընկնել: Բայց, ի բախտի մեզ, կա եռանկյունների հավասարության նշաններ, որոնք թույլ են տալիս գործել ձեր մտքով՝ առանց վտանգի ենթարկելու ձեր նոթատետրերը։

Եվ բացի այդ, անլուրջ անեկդոտները դեն նետելով, ես ձեզ մի գաղտնիք կասեմ. մաթեմատիկոսի համար «եռանկյունների գերագնացություն» բառը ամենևին էլ չի նշանակում դրանք կտրել և դնել, այլ ասել շատ ու շատ, շատ բառեր, որոնք կվկայեն դա. երկու եռանկյուններ կհամընկնեն, երբ վերադրվեն: Այսպիսով, ոչ մի դեպքում չպետք է գրեք ձեր աշխատանքում «Ես ստուգեցի. եռանկյունները համընկնում են, երբ կիրառվում են», - նրանք դա չեն հաշվելու ձեր վրա, և նրանք ճիշտ կլինեն, քանի որ ոչ ոք չի երաշխավորում, որ դուք չեք սխալվել դիմելիս, ասենք քառորդ միլիմետր:

Այսպիսով, որոշ մաթեմատիկոսներ ասացին մի փունջ բառեր, մենք չենք կրկնի այս բառերը դրանցից հետո (բացառությամբ, գուցե տեսության վերջին մակարդակի), բայց մենք ակտիվորեն կօգտագործենք. Եռանկյունների հավասարության երեք նշաններ.

Առօրյա (մաթեմատիկական) օգտագործման մեջ ընդունված են նման կրճատված ձևակերպումներ՝ դրանք ավելի հեշտ է հիշել և կիրառել։

1. Առաջին նշանը երկու կողմից է և նրանց միջև եղած անկյունը.
2. Երկրորդ նշանը երկու անկյուններում է և հարակից կողմում;
3. Երրորդ նշանը երեք կողմից է:

ԵՌԱՆԿՅՈՒՆ. ՀԱՄԱՌՈՏ ԳԼԽԱՎՈՐԻ ՄԱՍԻՆ

Եռանկյունը երկրաչափական պատկեր է, որը ձևավորվում է երեք հատվածներով, որոնք միացնում են երեք կետեր, որոնք չեն գտնվում նույն ուղիղ գծի վրա:

Հիմնական հասկացություններ.

Հիմնական հատկություններ.

1. Ցանկացած եռանկյան ներքին անկյունների գումարը հավասար է, այսինքն.
2. Եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է նրան ոչ կից երկու ներքին անկյունների գումարին, այսինքն.
   կամ
3. Եռանկյան ցանկացած երկու կողմերի երկարությունների գումարը մեծ է նրա երրորդ կողմի երկարությունից, այսինքն.
4. Եռանկյունում ավելի մեծ կողմը գտնվում է ավելի մեծ անկյան հակառակ կողմը, իսկ ավելի մեծ անկյունը գտնվում է ավելի մեծ կողմի դիմաց, այսինքն.
   եթե, ապա և հակառակը,
   Եթե, ապա։

Եռանկյունների հավասարության նշաններ.

1. Առաջին նշան- երկու կողմերում և նրանց միջև եղած անկյունը:

2. Երկրորդ նշան- երկու անկյուններում և հարակից կողմում:

3. Երրորդ նշան- երեք կողմից:

Դե թեման վերջացավ։ Եթե ​​դուք կարդում եք այս տողերը, նշանակում է, որ դուք շատ լավն եք:

Քանի որ մարդկանց միայն 5%-ն է կարողանում ինքնուրույն ինչ-որ բանի տիրապետել։ Իսկ եթե կարդում ես մինչև վերջ, ուրեմն դու այս 5%-ի մեջ ես։

Հիմա ամենակարեւորը.

Դուք հասկացաք այս թեմայի տեսությունը։ Եվ, կրկնում եմ, սա... սա ուղղակի սուպեր է: Դուք արդեն ավելի լավն եք, քան ձեր հասակակիցների ճնշող մեծամասնությունը:

Խնդիրն այն է, որ սա կարող է բավարար չլինել...

Ինչի համար?

Միասնական պետական ​​քննությունը հաջողությամբ հանձնելու, բյուջեով քոլեջ ընդունվելու և, ԱՄԵՆԱԿԱՐԵՎՈՐԸ, ցմահ։

Ես ձեզ ոչ մի բանում չեմ համոզի, միայն մի բան կասեմ...

Լավ կրթություն ստացած մարդիկ շատ ավելի շատ են վաստակում, քան չստացածները։ Սա վիճակագրություն է։

Բայց սա չէ գլխավորը։

Գլխավորն այն է, որ նրանք ԱՎԵԼԻ ԵՐՋԱՆԱԼ են (նման ուսումնասիրություններ կան)։ Միգուցե այն պատճառով, որ շատ ավելի շատ հնարավորություններ են բացվում նրանց առջև, և կյանքը դառնում է ավելի պայծառ: չգիտեմ...

Բայց մտածեք ինքներդ...

Ի՞նչ է անհրաժեշտ միասնական պետական ​​քննության ժամանակ մյուսներից ավելի լավը լինելու և, ի վերջո, ավելի երջանիկ լինելու համար:

ՁԵՌՔ ՁԵՌՔ ՁԵՌՔ ԼՈՒԾԵԼՈՎ ԱՅՍ ԹԵՄԱՅԻ ՀԱՐՑԵՐՈՎ։

Քննության ժամանակ ձեզ տեսություն չեն պահանջի։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի ժամանակի հետ խնդիրներ լուծել.

Եվ, եթե դուք չեք լուծել դրանք (ՇԱՏ!), դուք հաստատ ինչ-որ տեղ հիմար սխալ կգործեք կամ պարզապես ժամանակ չեք ունենա:

Դա նման է սպորտի, դուք պետք է կրկնել դա շատ անգամներ, որպեսզի անպայման հաղթելու համար:

Գտեք հավաքածուն որտեղ ուզում եք, անպայման լուծումներով, մանրամասն վերլուծությամբև որոշի՛ր, որոշի՛ր, որոշի՛ր։

Դուք կարող եք օգտագործել մեր առաջադրանքները (ըստ ցանկության), և մենք, իհարկե, խորհուրդ ենք տալիս դրանք:

Որպեսզի կարողանաք ավելի լավ օգտագործել մեր առաջադրանքները, դուք պետք է օգնեք երկարացնել YouClever դասագրքի կյանքը, որն այժմ կարդում եք:

Ինչպե՞ս: Երկու տարբերակ կա.

1. Բացեք այս հոդվածի բոլոր թաքնված առաջադրանքները.
2. Բացեք մուտքը դեպի բոլոր թաքնված առաջադրանքները դասագրքի բոլոր 99 հոդվածներում. Գնեք դասագիրք - 499 RUR

Այո, մենք ունենք 99 նման հոդված մեր դասագրքում, և բոլոր առաջադրանքների և դրանցում բոլոր թաքնված տեքստերի հասանելիությունը կարող է անմիջապես բացվել:

Բոլոր թաքնված առաջադրանքների հասանելիությունը ապահովված է կայքի ՈՂՋ կյանքի ընթացքում:

Եզրափակելով...

Եթե ​​ձեզ դուր չեն գալիս մեր առաջադրանքները, գտեք ուրիշներին: Պարզապես մի կանգ առեք տեսության վրա:

«Հասկացվածը» և «Ես կարող եմ լուծել» բոլորովին տարբեր հմտություններ են: Ձեզ երկուսն էլ պետք են:

Գտեք խնդիրներ և լուծեք դրանք:

Ֆեյսբուք

Twitter

հետ շփման մեջ

Դասընկերներ

Google+