Ինչպես գտնել մատրիցայի սեփական արժեքները: Մատրիցայի բնորոշ հավասարումը

www.siteթույլ է տալիս գտնել. Կայքը կատարում է հաշվարկը: Մի քանի վայրկյանից սերվերը կտա ճիշտ լուծումը։ Մատրիցայի բնորոշ հավասարումըկլինի հանրահաշվական արտահայտություն, որը գտնվել է որոշիչի հաշվարկման կանոնի միջոցով մատրիցներ մատրիցներ, մինչդեռ հիմնական անկյունագծի երկայնքով տարբերություններ կլինեն անկյունագծային տարրերի և փոփոխականի արժեքների մեջ: Հաշվարկելիս առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումը, յուրաքանչյուր տարր մատրիցներկբազմապատկվի համապատասխան այլ տարրերով մատրիցներ. Գտեք ռեժիմում առցանցհնարավոր է միայն քառակուսի համար մատրիցներ. Գործողության որոնում առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումընվազեցնում է տարրերի արտադրյալի հանրահաշվական գումարի հաշվարկը մատրիցներորոշիչը գտնելու արդյունքում մատրիցներ, միայն որոշելու նպատակով առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումը. Այս օպերացիան հատուկ տեղ է գրավում տեսության մեջ մատրիցներ, թույլ է տալիս գտնել սեփական արժեքներ և վեկտորներ՝ օգտագործելով արմատները: Գտնելու խնդիրը առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումըբաղկացած է բազմապատկվող տարրերից մատրիցներորին հաջորդում է այս ապրանքների ամփոփումը որոշակի կանոնի համաձայն. www.siteգտնում է մատրիցայի բնորոշ հավասարումըտրված չափը ռեժիմում առցանց. Հաշվարկ առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումըհաշվի առնելով դրա չափը՝ սա թվային կամ խորհրդանշական գործակիցներով բազմանդամ գտնելն է, որը գտնվել է ըստ որոշիչի հաշվարկման կանոնի։ մատրիցներ- որպես համապատասխան տարրերի արտադրյալների գումար մատրիցներ, միայն որոշելու նպատակով առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումը. Քառակուսի համար փոփոխականի նկատմամբ բազմանդամ գտնելը մատրիցներ, որպես սահմանում մատրիցայի բնորոշ հավասարումը, տեսականորեն տարածված մատրիցներ. Բազմանդամի արմատների նշանակությունը առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումըօգտագործվում է որոշելու համար սեփական վեկտորներև սեփական արժեքների համար մատրիցներ. Ընդ որում, եթե որոշիչը մատրիցներհավասար կլինի զրոյի, ապա մատրիցայի բնորոշ հավասարումըդեռ գոյություն կունենա՝ ի տարբերություն հակառակի մատրիցներ. Հաշվարկելու համար մատրիցայի բնորոշ հավասարումըկամ գտնել միանգամից մի քանիսը մատրիցների բնորոշ հավասարումներ, դուք պետք է շատ ժամանակ և ջանք ծախսեք, մինչդեռ մեր սերվերը կգտնի վայրկյանների ընթացքում բնորոշ հավասարում մատրիցների համար առցանց. Այս դեպքում գտնելու պատասխանը առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումըկլինի ճիշտ և բավարար ճշգրտությամբ, նույնիսկ եթե թվերը գտնելիս առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումըիռացիոնալ կլինի. Կայքում www.siteնիշերի մուտքերը թույլատրվում են տարրերում մատրիցներ, այն է բնորոշ հավասարում մատրիցների համար առցանցհաշվարկելիս կարելի է ներկայացնել ընդհանուր սիմվոլիկ ձևով առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումը. Օգտակար է ստուգել ստացված պատասխանը գտնելու խնդիրը լուծելիս առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումըօգտագործելով կայքը www.site. Բազմանդամի հաշվարկման գործողություն կատարելիս. մատրիցայի բնորոշ հավասարումը, այս խնդիրը լուծելիս պետք է զգույշ և չափազանց կենտրոնացած լինել։ Իր հերթին, մեր կայքը կօգնի ձեզ ստուգել ձեր որոշումը թեմայի վերաբերյալ առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումը. Եթե ​​ժամանակ չունեք լուծված խնդիրների երկար ստուգումների համար, ապա www.siteանշուշտ հարմար գործիք կլինի գտնելու և հաշվարկելիս ստուգելու համար առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումը.

A մատրիցով, եթե կա l այնպիսի թիվ, որ AX = lX:

Այս դեպքում կոչվում է l թիվը սեփական արժեք X վեկտորին համապատասխան օպերատոր (մատրիցան A):

Այլ կերպ ասած, սեփական վեկտորը այն վեկտորն է, որը գծային օպերատորի գործողության ներքո վերածվում է համագիծ վեկտորի, այսինքն. պարզապես բազմապատկել ինչ-որ թվով: Ի հակադրություն, ոչ պատշաճ վեկտորները փոխակերպման համար ավելի բարդ են:

Եկեք գրենք սեփական վեկտորի սահմանումը հավասարումների համակարգի տեսքով.

Եկեք բոլոր տերմինները տեղափոխենք ձախ կողմ.

Վերջին համակարգը կարելի է գրել այսպես մատրիցային ձևհետևյալ կերպ.

(A - lE)X = O

Ստացված համակարգը միշտ ունի զրոյական լուծում X = O: Այն համակարգերը, որոնցում բոլոր ազատ անդամները հավասար են զրոյի, կոչվում են. միատարր. Եթե ​​նման համակարգի մատրիցը քառակուսի է, և դրա որոշիչը հավասար չէ զրոյի, ապա օգտագործելով Կրամերի բանաձևերը, մենք միշտ ստանում ենք. միայն որոշում- զրո։ Կարելի է ապացուցել, որ համակարգն ունի ոչ զրոյական լուծումներ, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այս մատրիցայի որոշիչը հավասար է զրոյի, այսինքն.

|Ա - լԵ| = = 0

Անհայտ l-ով այս հավասարումը կոչվում է բնորոշ հավասարում (բնորոշ բազմանդամ) մատրիցա A (գծային օպերատոր):

Կարելի է ապացուցել, որ գծային օպերատորի բնորոշ բազմանդամը կախված չէ հիմքի ընտրությունից։

Օրինակ, եկեք գտնենք A = մատրիցով սահմանված գծային օպերատորի սեփական արժեքները և սեփական վեկտորները:

Դա անելու համար ստեղծենք բնորոշ հավասարում |A - lE| = = (1 - լ) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; սեփական արժեքներ l 1 = (2 - 12) / 2 = -5; լ 2 = (2 + 12)/2 = 7:

Սեփական վեկտորները գտնելու համար մենք լուծում ենք հավասարումների երկու համակարգ

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Դրանցից առաջինի համար ընդլայնված մատրիցը ձև է ստանում

,

որտեղից x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, այսինքն. X (1) = (-(2/3)s; s).

Դրանցից երկրորդի համար ընդլայնված մատրիցը ձև է ստանում

,

որտեղից x 2 = c 1, x 1 - (2/3) c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, այսինքն. X (2) = ((2/3)s 1; s 1).

Այսպիսով, այս գծային օպերատորի սեփական վեկտորները (-(2/3)с; с) սեփական արժեքով (-5) ձևի բոլոր վեկտորներն են և ((2/3)с 1; с 1) ձևի բոլոր վեկտորները. սեփական արժեք 7.

Կարելի է ապացուցել, որ A օպերատորի մատրիցը իր սեփական վեկտորներից բաղկացած հիմքում անկյունագծային է և ունի ձև.

,

որտեղ l i-ն այս մատրիցայի սեփական արժեքներն են:

Ճիշտ է նաև հակառակը. եթե A մատրիցը որոշ հիմքում անկյունագծային է, ապա այս հիմքի բոլոր վեկտորները կլինեն այս մատրիցի սեփական վեկտորները:

Կարելի է նաև ապացուցել, որ եթե գծային օպերատորն ունի n զույգ առանձին սեփական արժեքներ, ապա համապատասխան սեփական վեկտորները գծային անկախ են, և համապատասխան հիմքում այս օպերատորի մատրիցն ունի անկյունագծային ձև։

Եկեք դա բացատրենք նախորդ օրինակով: Վերցնենք կամայական ոչ զրոյական արժեքներ c և c 1, բայց այնպիսին, որ X (1) և X (2) վեկտորները գծային անկախ են, այսինքն. հիմք կստեղծեր. Օրինակ, թողեք c = c 1 = 3, ապա X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3):

Եկեք ստուգենք այս վեկտորների գծային անկախությունը.

12 ≠ 0. Այս նոր հիմքում A մատրիցը կունենա A * = ձև:

Սա ստուգելու համար եկեք օգտագործենք A * = C -1 AC բանաձևը: Նախ, եկեք գտնենք C -1:

C -1 = ;

Քառակուսի ձևեր

Քառակուսի ձև n փոփոխականների f(x 1, x 2, x n) կոչվում է գումար, որի յուրաքանչյուր անդամը կամ փոփոխականներից մեկի քառակուսին է, կամ երկու տարբեր փոփոխականների արտադրյալը՝ վերցված որոշակի գործակցով՝ f(x 1): , x 2, x n) = (a ij = a ji):

Այս գործակիցներից կազմված A մատրիցը կոչվում է մատրիցաքառակուսի ձև. Դա միշտ է սիմետրիկմատրիցա (այսինքն մատրիցա, որը սիմետրիկ է հիմնական անկյունագծի նկատմամբ, a ij = a ji):

Մատրիցային նշումներում քառակուսի ձևը f(X) = X T AX է, որտեղ

Իսկապես

Օրինակ՝ քառակուսի ձևը գրենք մատրիցային տեսքով։

Դա անելու համար մենք գտնում ենք քառակուսի ձևի մատրիցա: Նրա անկյունագծային տարրերը հավասար են քառակուսի փոփոխականների գործակիցներին, իսկ մնացած տարրերը հավասար են քառակուսի ձևի համապատասխան գործակիցների կեսերին։ Ահա թե ինչու

Թող X փոփոխականների մատրից-սյունակը ստացվի Y մատրից-սյունակի ոչ այլասերված գծային փոխակերպմամբ, այսինքն. X = CY, որտեղ C-ն n-րդ կարգի ոչ եզակի մատրից է: Այնուհետև f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y քառակուսի ձևը:

Այսպիսով, C ոչ այլասերված գծային փոխակերպման դեպքում քառակուսի ձևի մատրիցը ստանում է ձև՝ A * = C T AC:

Օրինակ՝ գտնենք f(y 1, y 2) քառակուսի ձևը, որը ստացվել է f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 քառակուսի ձևից գծային փոխակերպմամբ։

Քառակուսի ձևը կոչվում է կանոնական(Այն ունի կանոնական տեսակետ), եթե նրա բոլոր գործակիցները a ij = 0 i ≠ j-ի համար, այսինքն.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Դրա մատրիցը անկյունագծային է:

Թեորեմ(ապացույցն այստեղ ներկայացված չէ): Ցանկացած քառակուսի ձև կարող է վերածվել կանոնական ձևի՝ օգտագործելով ոչ այլասերված գծային փոխակերպումը:

Օրինակ, եկեք կրճատենք քառակուսի ձևը կանոնական ձևի
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3:

Դա անելու համար նախ ընտրեք ամբողջական քառակուսի x 1 փոփոխականով:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3:

Այժմ մենք ընտրում ենք ամբողջական քառակուսի x 2 փոփոխականով.

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 + (1/20) x 3 2.

Այնուհետև ոչ այլասերված գծային փոխակերպումը y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 և y 3 = x 3 բերում է այս քառակուսային ձևը f(y 1, y 2 կանոնական ձևին: , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2:

Նկատի ունեցեք, որ քառակուսի ձևի կանոնական ձևը որոշվում է երկիմաստորեն (նույն քառակուսի ձևը կարող է կրճատվել կանոնական ձևի տարբեր ճանապարհներ) Այնուամենայնիվ, ստացված տարբեր ճանապարհներկանոնական ձևերն ունեն մի շարք ընդհանուր հատկություններ. Մասնավորապես, քառակուսի ձևի դրական (բացասական) գործակիցներով տերմինների քանակը կախված չէ ձևը այս ձևին իջեցնելու մեթոդից (օրինակ, դիտարկված օրինակում միշտ կլինի երկու բացասական և մեկ դրական գործակից): Այս հատկությունը կոչվում է քառակուսի ձևերի իներցիայի օրենք։

Եկեք ստուգենք դա՝ նույն քառակուսի ձևը կանոնական ձևի բերելով այլ կերպ։ Սկսենք փոխակերպումը x 2 փոփոխականով.

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3 (x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3 ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3 (x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, որտեղ y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 և y 3 = x 1: Այստեղ կա բացասական գործակից -3 y 1-ում և երկու դրական գործակից 3 և 2 y 2 և y 3-ում (և օգտագործելով մեկ այլ մեթոդ մենք ստացել ենք բացասական գործակից (-5) y 2-ում և երկու դրական գործակից. 2-ը y 1-ում: և 1/20-ը y 3-ում):

Հարկ է նաև նշել, որ քառակուսի ձևի մատրիցայի աստիճանը, որը կոչվում է քառակուսի ձևի աստիճան, հավասար է կանոնական ձևի ոչ զրոյական գործակիցների թվին և չի փոխվում գծային փոխակերպումների դեպքում։

f(X) քառակուսի ձևը կոչվում է դրականորեն (բացասական) որոշակի, եթե փոփոխականների բոլոր արժեքների համար, որոնք միաժամանակ հավասար չեն զրոյի, այն դրական է, այսինքն. f(X) > 0 (բացասական, այսինքն.
f(X)< 0).

Օրինակ՝ f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 քառակուսի ձևը դրական որոշիչ է, քանի որ. քառակուսիների գումար է, իսկ f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 քառակուսի ձևը բացասական որոշիչ է, քանի որ ներկայացնում է այն կարող է ներկայացվել որպես f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2:

Շատ գործնական իրավիճակներում որոշ չափով ավելի դժվար է քառակուսի ձևի որոշակի նշան հաստատելը, ուստի դրա համար մենք օգտագործում ենք հետևյալ թեորեմներից մեկը (մենք կձևակերպենք դրանք առանց ապացույցի):

Թեորեմ. Քառակուսի ձևը դրական (բացասական) որոշակի է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա մատրիցայի բոլոր սեփական արժեքները դրական են (բացասական):

Թեորեմ(Սիլվեստրի չափանիշ): Քառակուսի ձևը դրական որոշիչ է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այս ձևի մատրիցայի բոլոր առաջատար փոքրերը դրական են:

Հիմնական (անկյունային) մանր N-րդ կարգի A-րդ կարգի մատրիցը կոչվում է մատրիցի որոշիչ, որը կազմված է A մատրիցի առաջին k տողերից և սյունակներից:

Նկատի ունեցեք, որ բացասական հստակ քառակուսի ձևերի համար հիմնական անչափահասների նշանները փոխարինվում են, իսկ առաջին կարգի փոքրը պետք է լինի բացասական:

Օրինակ, եկեք ուսումնասիրենք f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 քառակուսի ձևը նշանի որոշակիության համար:

= (2 - լ)*
*(3 - լ) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Հետևաբար, քառակուսի ձևը դրական որոշակի է:

Մեթոդ 2. A D 1 = a 11 = 2 > 0 մատրիցի առաջին կարգի հիմնական մինոր D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0: Հետևաբար, ըստ Սիլվեստերի չափանիշի, քառակուսի ձևը. դրական որոշակի.

Մենք ուսումնասիրում ենք նշանի որոշակիության մեկ այլ քառակուսի ձև՝ f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2:

Մեթոդ 1. Կառուցենք A = քառակուսային ձևի մատրիցա: Բնութագրական հավասարումը կունենա ձև = (-2 - լ)*
*(-3 - լ) - 4 = (6 + 2լ + 3լ + լ 2) - 4 = լ 2 + 5լ + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Հետևաբար, քառակուսի ձևը բացասական որոշիչ է:

Մեթոդ 2. A D 1 = a 11 = մատրիցայի առաջին կարգի հիմնական մինոր
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Հետևաբար, ըստ Սիլվեստրի չափանիշի, քառակուսի ձևը բացասական որոշիչ է (հիմնական անչափահասների նշանները փոխարինվում են՝ սկսած մինուսից)։

Եվ որպես մեկ այլ օրինակ, մենք ուսումնասիրում ենք նշանով որոշված ​​քառակուսի ձևը f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2:

Մեթոդ 1. Կառուցենք A = քառակուսային ձևի մատրիցա: Բնութագրական հավասարումը կունենա ձև = (2 - լ)*
*(-3 - լ) - 4 = (-6 - 2լ + 3լ + լ 2) - 4 = լ 2 + լ - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Այս թվերից մեկը բացասական է, մյուսը՝ դրական։ Սեփական արժեքների նշանները տարբեր են. Հետևաբար, քառակուսի ձևը չի կարող լինել ոչ բացասական, ոչ էլ դրական որոշիչ, այսինքն. այս քառակուսի ձևը նշանով որոշակի չէ (այն կարող է վերցնել ցանկացած նշանի արժեքներ):

Մեթոդ 2. A D 1 = a 11 = 2 > 0 մատրիցայի առաջին կարգի հիմնական մինոր D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

Հրահանգներ

K թիվը կոչվում է A մատրիցի սեփական արժեք (թիվ), եթե կա x այնպիսի վեկտոր, որ Ax=kx: (1) Այս դեպքում x վեկտորը կոչվում է A մատրիցայի սեփական վեկտոր, որը համապատասխանում է k թվին R^n տարածության մեջ (տե՛ս նկ. 1), A մատրիցը ունի պատկերի ձևը:

Անհրաժեշտ է առաջադրանք դնել A մատրիցի վեկտորները գտնելու համար: X սեփական վեկտորը տրվի կոորդինատներով: Մատրիցային ձևով այն գրվելու է որպես սյունակային մատրիցա, որը հարմարության համար պետք է ներկայացվի որպես փոխադրված տող: X=(x1,x2,…,xn)^T Հիմնվելով (1), Ax-khx=0 կամ Ax-kEx=0 վրա, որտեղ E-ն նույնականացման մատրիցն է (գլխավոր անկյունագծի վրա գտնվողները, մնացած բոլոր տարրերը զրո են: ) Այնուհետև (A-kE)x=0: (2)

Գծային միատարր հանրահաշվական հավասարումների արտահայտությունը (2) ունի ոչ զրոյական լուծում (սեփական վեկտոր): Հետևաբար, (2) համակարգի հիմնական որոշիչը հավասար է զրոյի, այսինքն՝ |A-kE|=0: (3) K սեփական արժեքի վերջին հավասարությունը կոչվում է A մատրիցի բնորոշ հավասարում և ընդլայնված ձևով ունի ձև (տե՛ս նկ. 2):

Հատկանշական հավասարման k արմատը փոխարինելով (2) համակարգով՝ եզակի մատրիցով գծային հավասարումների համասեռ համակարգ (նրա որոշիչը զրո է)։ Այս համակարգի յուրաքանչյուր ոչ զրոյական լուծում A մատրիցի սեփական վեկտորն է, որը համապատասխանում է տվյալ սեփական արժեքին k (այսինքն՝ բնորոշ հավասարման արմատին):

Օրինակ։ Գտեք A մատրիցայի սեփական արժեքները և վեկտորները (տես Նկար 3): Բնութագրական հավասարումը ներկայացված է Նկ. 3. Ընդարձակե՛ք որոշիչը և գտե՛ք մատրիցայի սեփական արժեքները, որոնք տրված հավասարումն են (3-k)(-1-k)-5=0, (k-3)(k+1)-5=0. , k^2-2k -8=0 Նրա արմատներն են՝ k1=4, k2=-2

ա) k1=4-ին համապատասխան սեփական վեկտորները հայտնաբերվում են (A-4kE)х=0 համակարգը լուծելով։ Այս դեպքում պահանջվում է դրա հավասարումներից միայն մեկը, քանի որ համակարգի որոշիչն ակնհայտորեն հավասար է զրոյի: Եթե ​​դնենք x=(x1, x2)^T, ապա համակարգի առաջին հավասարումը (1-4)x1+x2=0, -3x1+x2=0 է։ Եթե ​​ընդունենք, որ x1=1 (բայց ոչ զրո), ապա x2=3։ Քանի որ եզակի մատրիցով միատարր համակարգն ունի այնքան ոչ զրոյական լուծումներ, որքան ցանկալի է, ապա առաջին սեփական արժեքին համապատասխանող սեփական վեկտորների ամբողջ բազմությունը x =C1(1, 3), C1=const:

բ) Գտե՛ք k2=-2-ին համապատասխան սեփական վեկտորները։ (A+2kE)x=0 համակարգը լուծելիս նրա առաջին հավասարումն է (3+2)x1+x2=0, 5x1+x2=0, եթե դնենք x1=1, ապա x2=-5։ Համապատասխան սեփական վեկտորները x =C2(1, 3), C2=կոնստ. Տրված մատրիցայի բոլոր սեփական վեկտորների ընդհանուր բազմությունը՝ x = C1(1, 3)+ C2(1, 3):

Աղբյուրներ:

• Պիսկունով Ն.Ս. Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկ: Մ., 1976, - 576 էջ.
• գտնել սեփական արժեքներ և մատրիցային վեկտորներ

Մատրիցները, որոնք տվյալների գրանցման աղյուսակային ձև են, լայնորեն կիրառվում են գծային հավասարումների համակարգերի հետ աշխատելիս։ Ընդ որում, հավասարումների թիվը որոշում է մատրիցայի տողերի քանակը, իսկ փոփոխականների թիվը՝ դրա սյունակների հերթականությունը։ Արդյունքում որոշումը գծային համակարգերհանգում է մատրիցների վրա կատարվող գործողություններին, որոնցից մեկը մատրիցայի սեփական արժեքների հայտնաբերումն է: Նրանց հաշվարկը կատարվում է օգտագործելով բնորոշ հավասարումը: Սեփական արժեքները կարող են սահմանվել m կարգի քառակուսի մատրիցայի համար:

Հրահանգներ

Գրի՛ր տրված Ա քառակուսին: Նրա սեփական արժեքները գտնելու համար օգտագործի՛ր գծային միատարր համակարգի ոչ տրիվիալ լուծման պայմանից ստացված բնորոշ հավասարումը, որն այս դեպքում ներկայացված է քառակուսի մատրիցով: Ինչպես հետևում է Կրամերից, լուծումը գոյություն ունի միայն այն դեպքում, եթե դրա որոշիչը հավասար է զրոյի: Այսպիսով, մենք կարող ենք գրել հավասարումը | A - λE | = 0, որտեղ A-ն տրված արժեքն է, λ-ը՝ պահանջվող թվերը, E-ն նույնական մատրիցն է, որտեղ հիմնական անկյունագծով բոլոր տարրերը հավասար են մեկի, իսկ մնացածը հավասար են զրոյի։

Բազմապատկեք ցանկալի փոփոխականը λ նույնականացման մատրիցով E նույն չափի, ինչ տրված բնօրինակը A: Գործողության արդյունքը կլինի մատրիցա, որտեղ λ-ի արժեքները գտնվում են հիմնական անկյունագծով, մնացած տարրերը մնում են հավասար զրոյի: .

Անկյունագծային մատրիցներն ունեն ամենապարզ կառուցվածքը: Հարց է առաջանում՝ հնարավո՞ր է գտնել հիմք, որի դեպքում գծային օպերատորի մատրիցը կունենա անկյունագծային ձև։ Նման հիմք կա.
Մեզ տրվի R n գծային տարածություն և դրանում գործող գծային A օպերատոր; այս դեպքում օպերատոր A-ն իր մեջ վերցնում է R n, այսինքն՝ A:R n → R n:

Սահմանում. Ոչ զրոյական x վեկտորը կոչվում է A օպերատորի սեփական վեկտոր, եթե A օպերատորը x-ը վերածում է համագիծ վեկտորի, այսինքն. λ թիվը կոչվում է A օպերատորի սեփական արժեք կամ սեփական արժեք, որը համապատասխանում է x սեփական վեկտորին։
Եկեք նշենք սեփական արժեքների և սեփական վեկտորների որոշ հատկություններ:
1. Սեփական վեկտորների ցանկացած գծային համակցություն Օպերատոր A-ն, որը համապատասխանում է նույն սեփական արժեքին, λ, նույն սեփական արժեքով սեփական վեկտոր է:
2. Սեփական վեկտորներ A օպերատորը զույգերով տարբեր սեփական արժեքներով λ 1 , λ 2 , ..., λ m են գծային անկախ:
3. Եթե սեփական արժեքները λ 1 =λ 2 = λ m = λ, ապա λ սեփական արժեքը համապատասխանում է ոչ ավելի, քան m գծային անկախ սեփական վեկտորներին:

Այսպիսով, եթե կան n գծային անկախ սեփական վեկտորներ , համապատասխանում են տարբեր սեփական արժեքներին λ 1, λ 2, ..., λ n, ապա դրանք գծային անկախ են, հետևաբար, դրանք կարելի է ընդունել որպես R n տարածության հիմք։ Եկեք գտնենք A գծային օպերատորի մատրիցայի ձևը նրա սեփական վեկտորների հիման վրա, որի համար մենք գործելու ենք A օպերատորի հետ հիմքի վեկտորների վրա. Հետո .
Այսպիսով, գծային A օպերատորի մատրիցը իր սեփական վեկտորների հիման վրա ունի անկյունագծային ձև, իսկ A օպերատորի սեփական արժեքները գտնվում են անկյունագծով:
Կա՞ մեկ այլ հիմք, որի դեպքում մատրիցն ունի անկյունագծային ձև: Այս հարցի պատասխանը տրվում է հետևյալ թեորեմով.

Թեորեմ. Գծային A օպերատորի մատրիցը հիմքում (i = 1..n) ունի անկյունագծային ձև, եթե և միայն այն դեպքում, եթե հիմքի բոլոր վեկտորները A օպերատորի սեփական վեկտորներն են:

Սեփական արժեքներ և սեփական վեկտորներ գտնելու կանոն

Թող տրվի վեկտոր , որտեղ x 1 , x 2 , …, x n են x վեկտորի կոորդինատները՝ հիմքի նկատմամբ իսկ x-ը գծային A օպերատորի սեփական վեկտորն է, որը համապատասխանում է λ սեփական արժեքին, այսինքն. Այս հարաբերությունը կարելի է գրել մատրիցային տեսքով

. (*)

Հավասարումը (*) կարելի է համարել x գտնելու հավասարում, և, այսինքն, մեզ հետաքրքրում են ոչ տրիվիալ լուծումները, քանի որ սեփական վեկտորը չի կարող զրո լինել։ Հայտնի է, որ գծային հավասարումների միատարր համակարգի ոչ տրիվիալ լուծումներ գոյություն ունեն, եթե և միայն այն դեպքում, եթե det(A - λE) = 0: Այսպիսով, որպեսզի λ լինի A օպերատորի սեփական արժեքը, անհրաժեշտ և բավարար է, որ det(A - λE) ) = 0.
Եթե ​​հավասարումը (*) մանրամասն գրված է կոորդինատային ձևով, մենք ստանում ենք գծային միատարր հավասարումների համակարգ.

(1)
Որտեղ - գծային օպերատորի մատրիցա:

Համակարգը (1) ունի ոչ զրոյական լուծում, եթե նրա որոշիչ D-ը հավասար է զրոյի

Մենք ստացել ենք սեփական արժեքներ գտնելու հավասարում:
Այս հավասարումը կոչվում է բնութագրական հավասարում, իսկ ձախ կողմը կոչվում է A մատրիցի բնորոշ բազմանդամը (օպերատոր): Եթե բնորոշ բազմանդամը չունի իրական արմատներ, ապա A մատրիցը չունի սեփական վեկտորներ և չի կարող վերածվել անկյունագծերի:
Թող λ 1, λ 2, …, λ n լինեն բնորոշ հավասարման իրական արմատները, և դրանց մեջ կարող են լինել բազմապատիկ: Փոխարինելով այս արժեքներն իր հերթին համակարգի (1), մենք գտնում ենք սեփական վեկտորները:

Օրինակ 12. Գծային A օպերատորը գործում է R 3-ում օրենքի համաձայն, որտեղ x 1, x 2, .., x n հիմքում ընկած վեկտորի կոորդինատներն են: , , . Գտեք այս օպերատորի սեփական արժեքները և սեփական վեկտորները:
Լուծում. Մենք կառուցում ենք այս օպերատորի մատրիցը.
.
Մենք ստեղծում ենք սեփական վեկտորների կոորդինատների որոշման համակարգ.

Մենք կազմում ենք բնորոշ հավասարում և լուծում այն.

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3:
Փոխարինելով λ = -1 համակարգում, մենք ունենք.
կամ
Որովհետեւ , ապա կան երկու կախյալ փոփոխականներ և մեկ ազատ փոփոխական։
Թող x 1-ը լինի ազատ անհայտ, ուրեմն Մենք այս համակարգը լուծում ենք ցանկացած ձևով և գտնում ընդհանուր որոշումԱյս համակարգի լուծումների հիմնարար համակարգը բաղկացած է մեկ լուծումից, քանի որ n - r = 3 - 2 = 1:
λ = -1 սեփական արժեքին համապատասխան սեփական վեկտորների բազմությունն ունի ձև՝ , որտեղ x 1-ը զրոյից տարբերվող ցանկացած թիվ է։ Եկեք այս բազմությունից ընտրենք մեկ վեկտոր, օրինակ՝ դնելով x 1 = 1: .
Նմանապես պատճառաբանելով՝ մենք գտնում ենք սեփական վեկտորը, որը համապատասխանում է սեփական արժեքին λ = 3: .
R 3 տարածության մեջ հիմքը բաղկացած է երեք գծային անկախ վեկտորներից, բայց մենք ստացանք միայն երկու գծային անկախ սեփական վեկտոր, որոնցից R 3-ում հիմքը չի կարող կազմվել։ Հետևաբար, մենք չենք կարող գծային օպերատորի A մատրիցը վերածել անկյունագծային ձևի:

Օրինակ 13. Տրվում է մատրիցա .
1. Ապացուցեք, որ վեկտորը A մատրիցի սեփական վեկտորն է: Գտեք այս սեփական վեկտորին համապատասխան սեփական արժեքը:
2. Գտե՛ք հիմք, որում A մատրիցը ունի անկյունագծային ձև:
Լուծում.
1. Եթե , ապա x-ը սեփական վեկտոր է

.
Վեկտորը (1, 8, -1) սեփական վեկտոր է: Սեփական արժեք λ = -1:
Մատրիցը ունի անկյունագծային ձև, որը բաղկացած է սեփական վեկտորներից: Նրանցից մեկը հայտնի է. Մնացածը գտնենք։
Մենք փնտրում ենք սեփական վեկտորներ համակարգից.

Բնութագրական հավասարում. ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1:
Գտնենք λ = -3 սեփական արժեքին համապատասխան սեփական վեկտորը:

Այս համակարգի մատրիցայի աստիճանը երկու է և հավասար է անհայտների թվին, ուստի այս համակարգն ունի միայն զրոյական լուծում x 1 = x 3 = 0: x 2 այստեղ կարող է լինել որևէ այլ բան, քան զրո, օրինակ, x 2 = 1. Այսպիսով, վեկտորը (0 ,1,0) λ = -3-ին համապատասխան սեփական վեկտոր է։ Եկեք ստուգենք.
.
Եթե ​​λ = 1, ապա մենք ստանում ենք համակարգը
Մատրիցայի աստիճանը երկուսն է: Մենք խաչում ենք վերջին հավասարումը.
Թող x 3-ը լինի անվճար անհայտ: Այնուհետև x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3:
Ենթադրելով x 3 = 1, մենք ունենք (-3,-9,1) - λ = 1 սեփական արժեքին համապատասխան սեփական վեկտոր: Ստուգեք.

.
Քանի որ սեփական արժեքները իրական են և հստակ, դրանց համապատասխան վեկտորները գծային անկախ են, ուստի դրանք կարող են հիմք ընդունել R3-ում: Այսպիսով, հիմքում , , A մատրիցը ունի ձև.
.
A:R n → R n գծային օպերատորի ոչ բոլոր մատրիցները կարող են վերածվել անկյունագծային, քանի որ որոշ գծային օպերատորների համար կարող են լինել n-ից պակաս գծային անկախ սեփական վեկտորներ: Այնուամենայնիվ, եթե մատրիցը սիմետրիկ է, ապա m բազմակիության բնորոշ հավասարման արմատը համապատասխանում է հենց m գծային անկախ վեկտորներին:

Սահմանում. Սիմետրիկ մատրիցը քառակուսի մատրից է, որում հիմնական անկյունագծի նկատմամբ սիմետրիկ տարրերը հավասար են, այսինքն, որում:
Նշումներ. 1. Սիմետրիկ մատրիցայի բոլոր սեփական արժեքները իրական են:
2. Զույգ տարբեր սեփական արժեքներին համապատասխանող սիմետրիկ մատրիցայի սեփական վեկտորները ուղղանկյուն են:
Որպես ուսումնասիրված ապարատի բազմաթիվ կիրառություններից մեկը՝ մենք դիտարկում ենք երկրորդ կարգի կորի տեսակի որոշման խնդիրը։

«Առաջին մասը սահմանում է այն դրույթները, որոնք նվազագույն անհրաժեշտ են քիմիաչափությունը հասկանալու համար, իսկ երկրորդ մասը պարունակում է փաստեր, որոնք դուք պետք է իմանաք բազմաչափ վերլուծության մեթոդները ավելի խորը հասկանալու համար: Ներկայացումը պատկերված է Excel-ի աշխատանքային գրքում արված օրինակներով: Matrix.xls, որն ուղեկցում է այս փաստաթղթին։

Օրինակների հղումները տեղադրվում են տեքստում որպես Excel օբյեկտներ: Այս օրինակները վերացական բնույթ են կրում, դրանք ոչ մի կերպ կապված չեն անալիտիկ քիմիայի խնդիրների հետ։ Իրական օրինակներՄատրիցային հանրահաշվի կիրառությունները քիմիաչափության մեջ քննարկվում են այլ տեքստերում, որոնք ընդգրկում են մի շարք քիմիոմետրիկ կիրառություններ:

Անալիտիկ քիմիայում կատարված չափումների մեծ մասը ուղղակի չեն, բայց անուղղակի. Սա նշանակում է, որ փորձի ժամանակ ցանկալի անալիտի C արժեքի փոխարեն (կոնցենտրացիան) ստացվում է մեկ այլ արժեք. x(ազդանշան), կապված, բայց ոչ հավասար C-ին, այսինքն. x(C) ≠ C. Որպես կանոն, կախվածության տեսակը x(C) անհայտ է, բայց, բարեբախտաբար, անալիտիկ քիմիայում չափումների մեծ մասը համամասնական է: Սա նշանակում է, որ C-ի կոնցենտրացիայի աճով աանգամ, X ազդանշանը կաճի նույն չափով, այսինքն. x(աԳ) = կացին(C). Բացի այդ, ազդանշանները նաև հավելում են, ուստի ազդանշանը նմուշից, որտեղ առկա են C 1 և C 2 կոնցենտրացիաներով երկու նյութեր, կլինի. գումարին հավասարազդանշաններ յուրաքանչյուր բաղադրիչից, այսինքն. x(C 1 + C 2) = x(C 1)+ x(C 2): Համաչափությունն ու հավելյալությունը միասին տալիս են գծայինություն. Շատ օրինակներ կարելի է բերել գծայինության սկզբունքը լուսաբանելու համար, սակայն բավական է նշել երկու առավել. վառ օրինակներ- քրոմատոգրաֆիա և սպեկտրոսկոպիա: Երկրորդ հատկանիշը, որը բնորոշ է անալիտիկ քիմիայի փորձին բազմալիքային. Ժամանակակից վերլուծական սարքավորումները միաժամանակ չափում են ազդանշանները բազմաթիվ ալիքների համար: Օրինակ, լույսի հաղորդման ինտենսիվությունը չափվում է միանգամից մի քանի ալիքի երկարությունների համար, այսինքն. միջակայք. Ուստի փորձի ժամանակ մենք գործ ունենք բազմաթիվ ազդանշանների հետ x 1 , x 2 ,...., x n, որը բնութագրում է ուսումնասիրվող համակարգում առկա նյութերի C 1 , C 2 , ..., C m կոնցենտրացիաների բազմությունը։

Բրինձ. 1 Սպեկտրա

Այսպիսով, վերլուծական փորձը բնութագրվում է գծայինությամբ և բազմաչափությամբ: Հետևաբար, հարմար է փորձարարական տվյալները դիտարկել որպես վեկտորներ և մատրիցներ և շահարկել դրանք՝ օգտագործելով մատրիցային հանրահաշվի ապարատը։ Այս մոտեցման արդյունավետությունը ցույց է տրված օրինակով, որը ներկայացնում է երեք սպեկտրներ, որոնք վերցված են 200 ալիքի երկարությամբ 4000-ից մինչև 4796 սմ −1: Առաջին ( x 1) և երկրորդը ( x 2) սպեկտրները ստացվել են ստանդարտ նմուշների համար, որոնցում հայտնի են A և B երկու նյութերի կոնցենտրացիաները՝ առաջին նմուշում [A] = 0,5, [B] = 0,1, իսկ երկրորդ նմուշում [A] = 0,2, [ B] = 0,6: Ինչ կարելի է ասել նոր, անհայտ նմուշի մասին, որի սպեկտրը նշված է x 3 ?

Դիտարկենք երեք փորձարարական սպեկտր x 1 , x 2 և x 3-ը որպես 200 չափման երեք վեկտոր: Օգտագործելով գծային հանրահաշիվը, կարելի է հեշտությամբ ցույց տալ դա x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2, ուստի երրորդ նմուշն ակնհայտորեն պարունակում է միայն A և B նյութերը [A] = 0,5×0,1 + 0,2×0,3 = 0,11 և [B] = 0,1×0,1 + 0,6×0,3 = 0,19 կոնցենտրացիաներում:

1. Հիմնական տեղեկատվություն

1.1 Մատրիցներ

Մատրիցակոչվում է թվերի ուղղանկյուն աղյուսակ, օրինակ

Բրինձ. 2 Մատրիցա

Մատրիցները նշվում են մեծատառ տառերով ( Ա), և դրանց տարրերը՝ համապատասխան փոքրատառերով ինդեքսներով, այսինքն. ա ij. Առաջին ինդեքսը համարակալում է տողերը, իսկ երկրորդը՝ սյունակները։ Քիմոմետիկայի մեջ ընդունված է ինդեքսի առավելագույն արժեքը նշել նույն տառով, ինչ ինդեքսը, բայց մեծատառերով։ Հետևաբար մատրիցը Ակարելի է գրել նաև որպես ( ա ij , ես = 1,..., Ի; ժ = 1,..., Ջ) Օրինակի մատրիցայի համար Ի = 4, Ջ= 3 և ա 23 = −7.5.

Զույգ թվեր ԻԵվ Ջկոչվում է մատրիցայի չափ և նշվում է որպես Ի× Ջ. Քիմիոմետրիկայի մեջ մատրիցայի օրինակ է ստացված սպեկտրների բազմությունը Ինմուշներ համար Ջալիքի երկարություններ.

1.2. Ամենապարզ գործողությունները մատրիցներով

Մատրիցները կարող են լինել բազմապատկել թվերով. Այս դեպքում յուրաքանչյուր տարր բազմապատկվում է այս թվով: Օրինակ -

Բրինձ. 3 Մատրիցը թվով բազմապատկելը

Նույն հարթության երկու մատրիցա կարող է լինել տարր առ տարր ծալելԵվ հանել. Օրինակ,

Բրինձ. 4 Մատրիցայի ավելացում

Թվով բազմապատկելու և գումարման արդյունքում ստացվում է նույն չափի մատրիցա։

Զրոյական մատրիցը զրոյից բաղկացած մատրից է: Նշանակված է Օ. Ակնհայտ է, որ Ա+Օ = Ա, Ա−Ա = Օև 0 Ա = Օ.

Մատրիցը կարող է լինել փոխադրել. Այս գործողության ընթացքում մատրիցը շրջվում է, այսինքն. տողերն ու սյունակները փոխանակվում են: Փոխադրումը նշվում է պարզ նշանով, Ա«կամ ինդեքս Ատ. Այսպիսով, եթե Ա = {ա ij , ես = 1,..., Ի; ժ = 1,...,Ջ), դա Ա t = ( ա ջի , ժ = 1,...,Ջ; i = 1,..., Ի) Օրինակ

Բրինձ.

5 Մատրիցային փոխադրում ԱԱկնհայտ է, որ ( Ա, (Ա+տ) տ =Բ ) տ= Ա տ) տ = t+

տ.

1.3. Մատրիցային բազմապատկում Մատրիցները կարող են լինելբազմապատկել Ա, բայց միայն այն դեպքում, եթե դրանք ունենան համապատասխան չափսեր։ Թե ինչու է դա այդպես, պարզ կլինի սահմանումից: Մատրիցային արտադրանք Ի× , չափսԿ տ) տ =, բայց միայն այն դեպքում, եթե դրանք ունենան համապատասխան չափսեր։ Թե ինչու է դա այդպես, պարզ կլինի սահմանումից: Մատրիցային արտադրանք , չափս× Ջ, և մատրիցներ , կոչվում է մատրիցա, բայց միայն այն դեպքում, եթե դրանք ունենան համապատասխան չափսեր։ Թե ինչու է դա այդպես, պարզ կլինի սահմանումից: Մատրիցային արտադրանք Ի× ՋԳ

, որի տարրերը թվերն են Այսպիսով, արտադրանքի համարԱԲ Աանհրաժեշտ է, որ ձախ մատրիցում սյունակների քանակը տ) տ =հավասար էր աջ մատրիցայի տողերի թվին

. Մատրիցային արտադրանքի օրինակ -

Նկ.6 Մատրիցների արտադրյալ , կոչվում է մատրիցաՄատրիցային բազմապատկման կանոնը կարող է ձևակերպվել հետևյալ կերպ. Մատրիցային տարր գտնելու համար ես, կանգնած խաչմերուկում ժ-րդ գիծը և -րդ սյունակ ( ijգ ես) պետք է բազմապատկել տարր առ տարր Ա- առաջին մատրիցայի-րդ շարքը ժվրա տ) տ =երկրորդ մատրիցայի սյունակ Աև ավելացրեք բոլոր արդյունքները: Այսպիսով, ցույց տրված օրինակում երրորդ տողից և երկրորդ սյունակից տարրը ստացվում է որպես երրորդ շարքի տարրական արտադրյալների գումար։ տ) տ =

և երկրորդ սյունակ

Մատրիցների արտադրյալը կախված է հերթականությունից, այսինքն. Այսպիսով, արտադրանքի համար ≠ Բ.Ա., գոնե ծավալային պատճառներով։ Ասում են՝ ոչ փոխադարձ է։ Այնուամենայնիվ, մատրիցների արտադրյալը ասոցիատիվ է: Դա նշանակում է որ ABC = (Այսպիսով, արտադրանքի համար), կոչվում է մատրիցա = Ա(Ք.ա.) Բացի այդ, այն նաև բաշխիչ է, այսինքն. Ա(տ) տ =+, կոչվում է մատրիցա) = Այսպիսով, արտադրանքի համար+A.C.. Ակնհայտ է, որ Ա.Օ. = Օ.

1.4. Քառակուսի մատրիցներ

Եթե ​​մատրիցայի սյունակների թիվը հավասար է նրա տողերի թվին ( Ի = J=N), ապա այդպիսի մատրիցը կոչվում է քառակուսի: Այս բաժնում մենք կքննարկենք միայն այդպիսի մատրիցները: Այս մատրիցներից կարելի է առանձնացնել հատուկ հատկություններով մատրիցներ։

Միայնակմատրիցա (նշված է ես,և երբեմն Ե) մատրից է, որտեղ բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի, բացառությամբ անկյունագծերի, որոնք հավասար են 1-ի, այսինքն.

Ակնհայտորեն Ա.Ի. = Ի.Ա. = Ա.

Մատրիցը կոչվում է անկյունագծային, եթե նրա բոլոր տարրերը, բացի անկյունագծերից ( ա ii) հավասար են զրոյի: Օրինակ

Բրինձ.

8 Անկյունագծային մատրիցա ԱՄատրիցա կոչվում է գագաթեռանկյունաձեւ ա ij, եթե նրա բոլոր տարրերը, որոնք ընկած են անկյունագծից ներքև, հավասար են զրոյի, այսինքն. ես>ժ= 0, ժամը

. Օրինակ

Բրինձ.

8 Անկյունագծային մատրիցա Ա 9 Վերին եռանկյունի մատրիցա Ստորին եռանկյունի մատրիցը սահմանվում է նույն կերպ:կանչեց Ասիմետրիկ Ա, Եթե ա ij = ա ջի t =

. Այլ կերպ ասած

8 Անկյունագծային մատրիցա Ա 9 Վերին եռանկյունի մատրիցա . ՕրինակԲրինձ. 10 Սիմետրիկ մատրիցա

Աուղղանկյուն Ա = , Եթեսիմետրիկ Ի.

Մատրիցը կոչվում է տԱ.Ա.

նորմալ

Եթե 1.5. Հետք և որոշիչ ԱՀաջորդը Աքառակուսի մատրիցա Ա(նշվում է Tr-ով

) կամ Sp(

)) նրա անկյունագծային տարրերի գումարն է,

Օրինակ,

Բրինձ. 11 Մատրիցային հետք ԱԱկնհայտ է, որ Ա Sp(α

) = α Sp( Ա+տ) տ =) Եվ Ա Sp( տ) տ =).

) = Sp(

) = α Sp( Ա) Եվ Ա)+ Sp( Ի) = Կարելի է ցույց տալ, որ,

t), Sp (

) = α Sp( Այսպիսով, արտադրանքի համարՆ Բ.Ա.).

և նաև այն ) = Sp(Մեկ այլ կարևոր հատկանիշքառակուսի մատրիցն այն է Աորոշիչ Ա(նշվում է det(

)): Ընդհանուր դեպքում որոշիչի որոշումը բավականին դժվար է, ուստի մենք կսկսենք ամենապարզ տարբերակից՝ մատրիցով

չափս (2×2): Հետո Կարելի է ցույց տալ, որ× Կարելի է ցույց տալ, որ(3×3) մատրիցայի համար որոշիչը հավասար կլինի Կարելի է ցույց տալ, որ= Կարելի է ցույց տալ, որՄատրիցայի դեպքում (

) որոշիչը հաշվարկվում է որպես գումար 1·2·3· ... · ! պայմաններ, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է 1 , ! պայմաններ, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է 2 ,..., Ցուցանիշներկ կ Նսահմանվում են որպես բոլոր հնարավոր պատվիրված փոխարկումներ Կարելի է ցույց տալ, որ r

թվեր հավաքածուում (1, 2, ...,

) Մատրիցայի որոշիչի հաշվարկը բարդ ընթացակարգ է, որը գործնականում իրականացվում է հատուկ ծրագրերի միջոցով: Օրինակ,

Բրինձ. 12 Մատրիցային որոշիչ ԻՆշենք միայն ակնհայտ հատկությունները. Ադետ( Ա) = 1, det(

Բրինձ. 12 Մատրիցային որոշիչ Այսպիսով, արտադրանքի համար) = det( Ատ), տ) տ =).

) = det(

)դեթ( Ջ 1.6. Վեկտորներ Եթե ​​մատրիցը բաղկացած է միայն մեկ սյունակից (= 1), ապա կոչվում է այդպիսի օբյեկտ

վեկտոր

. Ավելի ճիշտ՝ սյունակ վեկտոր։ Օրինակ Կարելի է նաև դիտարկել, օրինակ, մեկ տողից բաղկացած մատրիցներ. Տվյալները վերլուծելիս կարևոր է հասկանալ, թե որ վեկտորների հետ գործ ունենք՝ սյունակների կամ տողերի հետ: Այսպիսով, մեկ նմուշի համար վերցված սպեկտրը կարելի է համարել որպես տող վեկտոր: Այնուհետև բոլոր նմուշների համար որոշակի ալիքի երկարության սպեկտրային ինտենսիվությունների բազմությունը պետք է դիտարկվի որպես սյունակի վեկտոր:

Վեկտորի չափը նրա տարրերի քանակն է։

Հասկանալի է, որ ցանկացած սյունակային վեկտոր կարող է վերածվել տողային վեկտորի փոխադրման միջոցով, այսինքն.

Այն դեպքերում, երբ վեկտորի ձևը հատուկ նշված չէ, այլ պարզապես ասվում է, որ վեկտոր է, ապա դրանք նշանակում են սյունակի վեկտոր: Մենք նույնպես կպահպանենք այս կանոնը. Վեկտորը նշվում է փոքրատառ, ուղիղ, թավ տառով: Զրոյական վեկտորը վեկտոր է, որի բոլոր տարրերը զրո են: Նշանակված է 0 .

1.7. Ամենապարզ գործողությունները վեկտորներով

Վեկտորները կարելի է ավելացնել և բազմապատկել թվերով այնպես, ինչպես մատրիցները։ Օրինակ,

Բրինձ.

13 Վեկտորներով գործողություններ xԵվ Երկու վեկտոր y կոչվում ենհամաչափ

, եթե կա այնպիսի թիվ α, որ

1.8. Վեկտորների արտադրանք Կարելի է ցույց տալ, որՆույն հարթության երկու վեկտոր x = (x 1 , x 2 ,...,xկարելի է բազմապատկել։ Թող լինի երկու վեկտոր Երկու վեկտոր = (Երկու վեկտոր 1 , Երկու վեկտոր 2 ,...,Ն)տ և y xուղղանկյուն Երկու վեկտոր N) տ. Ղեկավարվելով տող առ սյունակ բազմապատկման կանոնով՝ մենք կարող ենք դրանցից կազմել երկու արտադրյալ. Եվ xy

տ. Առաջին աշխատանքը կանչեցսկալյար կամներքին x,Երկու վեկտոր)= xուղղանկյուն Երկու վեկտոր. Դրա արդյունքը մի թիվ է: Այն նաև նշվում է (

. Օրինակ,

Բրինձ.

տ. Առաջին աշխատանքը 14 Ներքին (սկալար) արտադրանքԵրկրորդ կտոր Կարելի է ցույց տալ, որ× Կարելի է ցույց տալ, որարտաքին

. Դրա արդյունքը չափումների մատրիցն է (

) Օրինակ, Բրինձ..

15 Արտաքին աշխատանք

Վեկտորները, որոնց սկալյար արտադրյալը զրո է, կոչվում են

ուղղանկյուն 1.9. Վեկտորի նորմԻր հետ վեկտորի սկալյար արտադրյալը կոչվում է սկալյար քառակուսի: Այս արժեքը xսահմանում է քառակուսի երկարությունըվեկտոր

) կամ Sp(

. Երկարությունը նշելու համար (նաև կոչվում է

նորմը xվեկտոր) օգտագործվում է նշումը x ≠ 0 Բրինձ. x = ||x|| (16 Վեկտորային նորմ||x||) = ||x|| Միավոր երկարության վեկտոր (|||| = 1) կոչվում է նորմալացված: Ոչ զրոյական վեկտոր ( Միավոր երկարության վեկտոր (|| = 16 Վեկտորային նորմ||x) կարելի է նորմալացնել՝ բաժանելով երկարությամբ, այսինքն.

x/

ե

. Այստեղ || - նորմալացված վեկտոր:Վեկտորները կոչվում են օրթոնորմալ, եթե դրանք բոլորը նորմալացված են և զույգերով ուղղանկյուն: xԵվ Երկու վեկտոր

1.10. Անկյուն վեկտորների միջև

Սկալյար արտադրյալը որոշում է և

անկյուն Աφ երկու վեկտորների միջև Ի× ՋԵթե ​​վեկտորները ուղղանկյուն են, ապա cosφ = 0 և φ = π/2, իսկ եթե դրանք համագիծ են, ապա cosφ = 1 և φ = 0:

1.11. Մատրիցայի վեկտորային ներկայացում ա ժՅուրաքանչյուր մատրիցա ժչափը կարող է ներկայացվել որպես վեկտորների մի շարք եսՅուրաքանչյուր մատրիցա եսԱյստեղ յուրաքանչյուր վեկտոր Ա

է

Նույն չափի վեկտորներ ( Կարելի է ցույց տալ, որ) կարելի է ավելացնել և բազմապատկել թվով, ինչպես մատրիցները։ Արդյունքը կլինի նույն հարթության վեկտորը: Թող լինեն նույն հարթության մի քանի վեկտորներ x 1 , x 2 ,...,x K և նույնքան թվեր α α 1 , α 2 ,...,α , չափս. Վեկտոր

Երկու վեկտոր= α 1 x 1 + α 2 x 2 +...+ α , չափս x , չափս

տ. Առաջին աշխատանքը գծային համադրությունվեկտորներ x ! պայմաններ, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է .

Եթե ​​կան այդպիսի ոչ զրոյական α թվեր ! պայմաններ, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է ≠ 0, ! պայմաններ, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է = 1,..., , չափս, Ինչ Երկու վեկտոր = 0 , ապա վեկտորների նման հավաքածու x ! պայմաններ, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է 9 Վերին եռանկյունի մատրիցա գծային կախված. Հակառակ դեպքում, ասում են, որ վեկտորները գծային անկախ են: Օրինակ՝ վեկտորները x 1 = (2, 2)տ և x 2 = (−1, −1) t գծային կախված են, քանի որ x 1 +2x 2 = 0

1.13. Մատրիցային աստիճան

Դիտարկենք մի շարք , չափսվեկտորներ x 1 , x 2 ,...,x , չափսչափերը Կարելի է ցույց տալ, որ. Վեկտորների այս համակարգի աստիճանը գծային անկախ վեկտորների առավելագույն քանակն է: Օրինակ հավաքածուում

կան միայն երկու գծային անկախ վեկտորներ, օրինակ x 1 և x 2, ուստի նրա վարկանիշը 2 է:

Ակնհայտ է, որ եթե մի շարքում ավելի շատ վեկտորներ կան, քան դրանց չափերը ( , չափս>Կարելի է ցույց տալ, որ), ապա դրանք անպայմանորեն գծային կախված են։

Մատրիցային աստիճան(նշվում է աստիճանով) Ա)) այն վեկտորների համակարգի աստիճանն է, որից այն բաղկացած է։ Չնայած ցանկացած մատրիցա կարող է ներկայացվել երկու ձևով (սյունակ կամ տող վեկտոր), դա չի ազդում դասակարգման արժեքի վրա, քանի որ

1.14. հակադարձ մատրիցա

Քառակուսի մատրիցա Ակոչվում է ոչ այլասերված, եթե ունի եզակի հակադարձմատրիցա Ա-1 պայմաններով որոշված

, Եթե −1 = Ա −1 Ա = Ի.

Հակադարձ մատրիցը գոյություն չունի բոլոր մատրիցների համար: Ոչ այլասերվելու համար անհրաժեշտ և բավարար պայման է

Բրինձ. 12 Մատրիցային որոշիչ Ա) ≠ 0 կամ աստիճան ( Ա) = Կարելի է ցույց տալ, որ.

Matrix inversion-ը բարդ ընթացակարգ է, որի համար կան հատուկ ծրագրեր։ Օրինակ,

Բրինձ.

17 Մատրիցային ինվերսիա

Ներկայացնենք ամենապարզ դեպքի բանաձևերը՝ 2×2 մատրիցա ԱԵվ տ) տ =Եթե ​​մատրիցներ

(Այսպիսով, արտադրանքի համար) −1 = տ) տ = −1 Ա −1 .

ոչ այլասերված են, ուրեմն

1.15. Կեղծ հակադարձ մատրիցա ԱԵթե ​​մատրիցա եզակի է, և հակադարձ մատրիցը գոյություն չունի, ապա որոշ դեպքերում կարող եք օգտագործելկեղծ հակադարձ Ամատրիցա, որը սահմանվում է որպես այդպիսի մատրիցա

, Եթե + Ա = Ա.

+ դա

Կեղծ հակադարձ մատրիցը միակը չէ, և դրա ձևը կախված է կառուցման մեթոդից: Օրինակ, ուղղանկյուն մատրիցայի համար կարող եք օգտագործել Moore-Penrose մեթոդը:

Ա + =(Աուղղանկյուն Ա) −1 ԱԵթե ​​սյունակների թիվը տողերի քանակից քիչ է, ապա

) կամ Sp(

տ

Բրինձ. 17ա մատրիցայի կեղծ ինվերսիաԵթե ​​սյունակների քանակը

Ա + =Աավելի շատ համար , Եթեգծեր, ապա −1

տ (

տ) x 1.16. Վեկտորի բազմապատկում մատրիցով ԱՎեկտոր կարելի է բազմապատկել մատրիցովհարմար չափս. Այս դեպքում սյունակի վեկտորը բազմապատկվում է աջ կողմում xուղղանկյուն ԱԿացին Ջ, իսկ վեկտորային տողը ձախ կողմում է Ի× Ջ. Եթե ​​վեկտորի չափը Ի. Դրա արդյունքը մի թիվ է: Այն նաև նշվում է (

և մատրիցայի չափը

1.15. Կեղծ հակադարձ մատրիցա Աապա արդյունքը կլինի չափման վեկտոր Ի× ԻԲրինձ. Երկու վեկտոր = կարելի է բազմապատկել մատրիցով 18 Վեկտորի բազմապատկում մատրիցով x- քառակուսի (

Ա), ապա վեկտորը x 1 + α 2 xունի նույն չափը, ինչ կարելի է բազմապատկել մատրիցով 1 + α 2 կարելի է բազմապատկել մատրիցով 2 .

Ուստի մատրիցները կարելի է համարել որպես վեկտորների գծային փոխակերպումներ։ Մասնավորապես Իքս = x, Եզ = 0 .

2. Լրացուցիչ տեղեկություններ

2.1. Գծային հավասարումների համակարգեր

Թող Ա- մատրիցայի չափը Ի× Ջ, Ա կարող է ներկայացվել որպես վեկտորների մի շարք- հարթության վեկտոր Ջ. Դիտարկենք հավասարումը

կարելի է բազմապատկել մատրիցով = կարող է ներկայացվել որպես վեկտորների մի շարք

վեկտորի համեմատ x, չափերը Ի. Ըստ էության, դա համակարգ է Իհետ գծային հավասարումներ Ջանհայտ x 1 ,...,x Ջ. Լուծումը գոյություն ունի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե

աստիճան( Ա) = կոչում ( տ) տ =) = Ռ,

Որտեղ տ) տ =չափերի ընդլայնված մատրիցա է Ի×( J+1), որը բաղկացած է մատրիցից Ա, լրացված սյունակով կարող է ներկայացվել որպես վեկտորների մի շարք, տ) տ = = (Ա կարող է ներկայացվել որպես վեկտորների մի շարք) Հակառակ դեպքում, հավասարումները անհամապատասխան են:

Եթե Ռ = Ի = Ջ, ապա լուծումը եզակի է

x = Ա −1 կարող է ներկայացվել որպես վեկտորների մի շարք.

Եթե Ռ < Ի, ապա կան բազմաթիվ տարբեր լուծումներ, որոնք կարող են արտահայտվել գծային համակցության միջոցով Ջ−Ռվեկտորներ. Միատարր հավասարումների համակարգ կարելի է բազմապատկել մատրիցով = 0 քառակուսի մատրիցով Ա (Կարելի է ցույց տալ, որ× Կարելի է ցույց տալ, որ) ունի ոչ տրիվիալ լուծում ( x ≠ 0 ) եթե և միայն եթե det( Ա) = 0. Եթե Ռ= կոչում ( Ա)<Կարելի է ցույց տալ, որ, ապա կան Կարելի է ցույց տալ, որ−Ռգծային անկախ լուծումներ.

2.2. Երկգծային և քառակուսի ձևեր

Եթե Աքառակուսի մատրից է, և x N) տ. Ղեկավարվելով տող առ սյունակ բազմապատկման կանոնով՝ մենք կարող ենք դրանցից կազմել երկու արտադրյալ. Երկու վեկտոր- համապատասխան չափման վեկտորը, ապա ձևի սկալյար արտադրյալը xուղղանկյուն Այկանչեց երկգծայինմատրիցով սահմանված ձևը Ա. ժամը x = Երկու վեկտորարտահայտություն xուղղանկյուն կարելի է բազմապատկել մատրիցովկանչեց քառակուսիձևը.

2.3. Դրական որոշակի մատրիցներ

Քառակուսի մատրիցա Ատ. Առաջին աշխատանքը դրական որոշակի, եթե որևէ ոչ զրոյական վեկտորի համար x ≠ 0 ,

xուղղանկյուն կարելի է բազմապատկել մատրիցով > 0.

Նմանապես սահմանված է բացասական (xուղղանկյուն կարելի է բազմապատկել մատրիցով < 0), ոչ բացասական (xուղղանկյուն կարելի է բազմապատկել մատրիցով≥ 0) և բացասական (xուղղանկյուն կարելի է բազմապատկել մատրիցով≤ 0) որոշակի մատրիցներ.

2.4. Չոլեսկու տարրալուծում

Եթե ​​սիմետրիկ մատրիցը Ադրական որոշակի է, ապա կա եզակի եռանկյունաձև մատրիցա Uդրական տարրերով, որոնց համար

Ա = Uուղղանկյուն U.

) կամ Sp(

Բրինձ.

19 Չոլեսկու տարրալուծում

Թող Ա 2.5. Բևեռային տարրալուծում Կարելի է ցույց տալ, որ× Կարելի է ցույց տալ, որչափումների ոչ եզակի քառակուսի մատրից է . Այնուհետեւ կա եզակիբևեռային

Ա = կատարումը

Որտեղ Ս.Ռ.Ս Ռոչ բացասական սիմետրիկ մատրից է, և Ս.Ռ.ուղղանկյուն մատրիցա է: Մատրիցներ ԵվՌ

Ս.Ռ. 2 = , Եթեկարելի է հստակորեն սահմանել. Ս.Ռ. = (, Եթետ կամ Ռ = Ս.Ռ. −1 Ա = (, Եթետ) ½ և Ա.

) կամ Sp(

տ) −½

1.15. Կեղծ հակադարձ մատրիցա ԱԲրինձ. Ս.Ռ. 20 Բևեռային տարրալուծում Ռդեգեներատ է, ապա տարրալուծումը եզակի չէ, մասնավորապես. Ադեռ մենակ, բայց Ս.Ռ.գուցե շատ. Բևեռային տարրալուծումը ներկայացնում է մատրիցը Ռ.

որպես սեղմման/ընդլայնման համակցություն

Թող Աև շրջվել 2.6. Սեփական վեկտորներ և սեփական արժեքներքառակուսի մատրիցա է: Վեկտոր vկանչեց Ասեփական վեկտոր

մատրիցներ = λ 2.6. Սեփական վեկտորներ և սեփական արժեքներ,

, Եթե սեփական արժեքկանչեց ԱԱվ Աորտեղ կոչվում է λ թիվը 2.6. Սեփական վեկտորներ և սեփական արժեքներ. Այսպիսով, փոխակերպումը, որը կատարում է մատրիցը 2.6. Սեփական վեկտորներ և սեփական արժեքներվեկտորի վերևում 2.6. Սեփական վեկտորներ և սեփական արժեքներ, հանգում է պարզ ձգման կամ սեղմման λ գործակցով։ Սեփական վեկտորը որոշվում է մինչև բազմապատկումը α ≠ 0 հաստատունով, այսինքն. Եթե

սեփական վեկտոր է, ապա α

- նաև սեփական վեկտոր: Ա 2.7. Սեփական արժեքներ Կարելի է ցույց տալ, որ× Կարելի է ցույց տալ, որՄատրիցայում Կարելի է ցույց տալ, որսեփական արժեքներ. Նրանք բավարարում են բնորոշ հավասարում

Բրինձ. 12 Մատրիցային որոշիչ Ա − λ Ի) = 0,

լինելը հանրահաշվական հավասարում Կարելի է ցույց տալ, որ-րդ կարգը. Մասնավորապես, 2×2 մատրիցայի համար բնորոշ հավասարումն ունի ձև

) կամ Sp(

Բրինձ.

21 Սեփական արժեքներ Սեփական արժեքների բազմություն λ 1 ,..., λՆ Ա 9 Վերին եռանկյունի մատրիցա մատրիցներ Ա.

սպեկտրը

Բրինձ. 12 Մատրիցային որոշիչ ԱՍպեկտրը տարբեր հատկություններ ունի. Մասնավորապես Սեփական արժեքների բազմություն λ 1 ,..., λ) = λ 1 ×...×λ Ա,Sp( Սեփական արժեքների բազմություն λ 1 ,..., λ.

) = λ 1 +...+λ ԱԿամայական մատրիցայի սեփական արժեքները կարող են լինել բարդ թվեր, բայց եթե մատրիցը սիմետրիկ է ( Ա t =

), ապա դրա սեփական արժեքները իրական են:

- նաև սեփական վեկտոր: Ա 2.8. Սեփական վեկտորներ Կարելի է ցույց տալ, որ× Կարելի է ցույց տալ, որՄատրիցայում Կարելի է ցույց տալ, որ, չափս ( 2.6. Սեփական վեկտորներ և սեփական արժեքներ սեփական վեկտորներ, որոնցից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է իր սեփական արժեքին: Որոշել սեփական վեկտորը n

(Ա − λ սեփական վեկտորներ, որոնցից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է իր սեփական արժեքին: Որոշել սեփական վեկտորը Ի)անհրաժեշտ է լուծել միատարր հավասարումների համակարգ սեփական վեկտորներ, որոնցից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է իր սեփական արժեքին: Որոշել սեփական վեկտորը = 0 .

v Այն ունի ոչ տրիվիալ լուծում, քանի որ det(λ սեփական վեկտորներ, որոնցից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է իր սեփական արժեքին: Որոշել սեփական վեկտորը Ի) = 0.

) կամ Sp(

Ա -

Բրինձ.

Սիմետրիկ մատրիցայի սեփական վեկտորները ուղղանկյուն են:

Ֆեյսբուք

Twitter

հետ շփման մեջ

Դասընկերներ