Թվային կոորդինատային գիծ. Կոորդինատների գիծ
Կոորդինատների գիծ.
Վերցնենք սովորական ուղիղ գիծ. Անվանենք ուղիղ x (նկ. 1): Եկեք այս ուղիղ գծի վրա ընտրենք հղման կետ O, ինչպես նաև սլաքով նշենք այս ուղիղ գծի դրական ուղղությունը (նկ. 2): Այսպիսով, մենք կունենանք դրական թվեր O կետից աջ, իսկ բացասական թվեր՝ ձախից: Ընտրենք սանդղակ, այսինքն՝ ուղիղ հատվածի չափ՝ մեկին հավասար։ Մենք արեցինք դա կոորդինատային գիծ(նկ. 3): Յուրաքանչյուր թիվ համապատասխանում է այս գծի որոշակի կետին: Ընդ որում, այս թիվը կոչվում է այս կետի կոորդինատ։ Այդ իսկ պատճառով ուղիղը կոչվում է կոորդինատային գիծ։ Իսկ O հղման կետը կոչվում է ծագում։
Օրինակ, Նկ. 4 B կետը գտնվում է սկզբնաղբյուրից աջ 2 հեռավորության վրա։ D կետը գտնվում է սկզբնակետից ձախ 4 հեռավորության վրա։ Համապատասխանաբար, B կետն ունի կոորդինատ 2, իսկ D կետը՝ -4: O կետն ինքնին, լինելով հղման կետ, ունի կոորդինատ 0 (զրո): Սովորաբար գրվում է այսպես՝ O(0), B(2), D(-4): Եվ որպեսզի անընդհատ չասեն «Դ կետ այսինչ կոորդինատով», ասում են ավելի պարզ՝ «կետ 0, կետ 2, կետ -4»։ Եվ այս դեպքում բավական է կետն ինքնին նշանակել իր կոորդինատով (նկ. 5):
Իմանալով կոորդինատային գծի երկու կետերի կոորդինատները, մենք միշտ կարող ենք հաշվարկել նրանց միջև եղած հեռավորությունը: Ենթադրենք՝ ունենք A և B երկու կետ՝ համապատասխանաբար a և b կոորդինատներով: Այնուհետև նրանց միջև հեռավորությունը կլինի |a - b|: Նշում |ա - բ| կարդացվում է որպես «a մինուս b մոդուլ» կամ «a և b թվերի տարբերության մոդուլ»:
Ինչ է մոդուլը:
Հանրահաշվորեն x թվի մոդուլը չէ բացասական թիվ. Նշվում է |x|. Ընդ որում, եթե x > 0, ապա |x| = x. Եթե x< 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.
Երկրաչափական առումով x թվի մոդուլը կետի և սկզբնաղբյուրի միջև եղած հեռավորությունն է։ Իսկ եթե կա x1 և x2 կոորդինատներով երկու կետ, ապա |x1 - x2| այս կետերի միջև եղած հեռավորությունն է:
Մոդուլը նույնպես կոչվում է բացարձակ արժեք.
Էլ ի՞նչ կարող ենք ասել, երբ խոսքը վերաբերում է կոորդինատային գծին: Իհարկե թվային միջակայքերի մասին։
Թվային ինտերվալների տեսակները.
Ենթադրենք, մենք ունենք երկու a և b թվեր: Ավելին, b > a (b-ն մեծ է a-ից): Կոորդինատային գծի վրա դա նշանակում է, որ b կետը գտնվում է a կետից աջ: Մեր անհավասարության մեջ b-ն փոխարինենք x փոփոխականով։ Այսինքն x > a. Ապա x-ն այն բոլոր թվերն են, որոնք մեծ են a թվից: Կոորդինատային գծում սրանք, համապատասխանաբար, a կետից աջ բոլոր կետերն են: Գծի այս հատվածը ստվերված է (նկ. 6): Այդպիսի կետերի հավաքածուն կոչվում է բաց ճառագայթ, և այս թվային միջակայքը նշանակվում է (a; +∞), որտեղ +∞ նշանը կարդացվում է որպես «գումարած անսահմանություն»: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ a կետն ինքնին ներառված չէ այս միջակայքում և նշվում է բաց շրջանով:
Դիտարկենք նաև այն դեպքը, երբ x ≥ a. Այնուհետև x-ը բոլոր այն թվերն են, որոնք մեծ են կամ հավասար են a-ին: Կոորդինատային գծի վրա սրանք բոլոր կետերն են a-ի աջ կողմում, ինչպես նաև կետն ինքնին (նկ. 7-ում a կետն արդեն նշված է մուգ շրջանով): Այդպիսի մի շարք կետեր կոչվում են փակ ճառագայթ(կամ պարզապես ճառագայթ), և այս թվային միջակայքը նշանակված է:
Կոորդինատային գիծը նույնպես կոչվում է կոորդինատային առանցք. Կամ պարզապես x առանցքը:
Կոորդինատների գիծ կոչվում է ուղիղ գիծ՝ դրա վրա ընտրված սկզբնավորմամբ (զրո), միավոր հատվածով և ուղղությամբ: Յուրաքանչյուր բնական թիվ կարող է կապված լինել կոորդինատային գծի մեկ կետի հետ:
Կոորդինատային գծի վրա տեղակայված երկու թվերը համեմատելու համար պետք է ուշադրություն դարձնել, թե ինչպես են դրանք գտնվում միմյանց նկատմամբ:
Եթե a թիվը գտնվում է b թվից ձախ, ապա a< b
Եթե a թիվը գտնվում է b թվի աջ կողմում, ապա a > b
OGE-ում կան մի քանի տեսակի առաջադրանքներ՝ կապված կոորդինատային գծի վրա թվերի տեղակայման հետ: Օրինակներ լուծելու համար եկեք հիշենք ևս մի քանի հասկացություն.
Թվի բացարձակ արժեքը
| ա | = (a, a > 0 0, a = 0 − a, a< 0
Մոդուլն ընտրում է նշաններ թվերից:
Եթե համարը դրական
Եթե համարը հավասար է զրոյի, ապա զրոյի մոդուլը վերցնելիս արդյունքը զրո է։
Եթե համարը բացասական , ապա այս թվի մոդուլը վերցնելիս ստացվում է դրական թիվ։
Օրինակներ.
| − 1 | = 1 ; | − 5 | = 5 ; | 7 | = 7 ; | 0 | = 0 .
Դուք, անշուշտ, հարց ունեք, թե ինչու մոդուլի ընդլայնման բանաձևում | ա | = − a, եթե a< 0 ? Ведь после взятия модуля отрицательные числа становятся положительными.
Այս հարցին պատասխանելու համար եկեք մտածենք, թե ինչպես հեռացնել մինուս նշանը բացասական թվից: Եթե բացասական թիվը բազմապատկվում է − 1-ով, այն դառնում է դրական:
Օրինակներ.
| − 1 | = − (− 1) = 1
| − 5 | = − (− 5) = 5
Թվի քառակուսի արմատ
ա- թվաբանություն Քառակուսի արմատ ոչ բացասական թվի այն ոչ բացասական թիվն է, որի քառակուսին հավասար է a-ի:
Գլուխ 1-ի վերջում մենք խոսեցինք այն մասին, որ հանրահաշվի դասընթացում մենք պետք է սովորենք նկարագրել իրական իրավիճակները բառերով (բանավոր մոդել), հանրահաշվական (հանրահաշվական կամ, ինչպես ավելի հաճախ ասում են մաթեմատիկոսները, վերլուծական մոդել), գրաֆիկական (գրաֆիկական) կամ երկրաչափական մոդել): Ամբողջ առաջին բաժինը դասագիրք(1-5 գլուխներ) նվիրված էր մաթեմատիկական լեզվի ուսումնասիրությանը, որով նկարագրվում են վերլուծական մոդելները։
Սկսած 6-րդ գլխից՝ մենք կուսումնասիրենք ոչ միայն նոր վերլուծական, այլև գրաֆիկական (երկրաչափական) մոդելները։ Դրանք կառուցված են կոորդինատային գծի միջոցով, կոորդինատային հարթություն. Այս հասկացությունները ձեզ մի փոքր ծանոթ են 5-6-րդ դասարանների մաթեմատիկայի դասընթացից:
Ուղիղ գիծ /, որի վրա ընտրված է սկզբնականը կետ O (ծագում), մասշտաբ (միավոր գծի հատված, այսինքն՝ այն հատվածը, որի երկարությունը համարվում է հավասար 1) և դրական ուղղությունը կոչվում է կոորդինատային գիծ կամ կոորդինատային առանցք (նկ. 7); Օգտագործվում է նաև «x առանցք» տերմինը։
Յուրաքանչյուր թիվ համապատասխանում է գծի մեկ կետին: Օրինակ՝ 3.5 թիվը համապատասխանում է M կետին (նկ. 8), որը հեռացվում է սկզբնակետից, այսինքն՝ O կետից, 3.5-ին հավասար հեռավորության վրա (տվյալ սանդղակով) և O կետից հետաձգվում է տվյալ սանդղակի վրա։ (դրական) ուղղություն. -4 թիվը համապատասխանում է P կետին (տե՛ս նկ. 8), որը հեռացվում է O կետից 4-ին հավասար հեռավորության վրա և դրված է O կետից բացասական ուղղությամբ, այսինքն՝ տրվածին հակառակ ուղղությամբ։
Ճիշտ է նաև հակառակը. կոորդինատային գծի յուրաքանչյուր կետ համապատասխանում է մեկ թվի:
Օրինակ, K կետը, դրական (տրված) ուղղությամբ O կետից 5,4 հեռավորության վրա, համապատասխանում է 5,4 թվին, իսկ N կետը, բացասական ուղղությամբ O կետից 2,1 հեռավորության վրա, համապատասխանում է թվին. 2.1 (տես նկ. 8):
Նշված թվերը կոչվում են համապատասխան կետերի կոորդինատներ։ Այսպիսով, Նկ. 8 կետ K-ն ունի 5,4 կոորդինատ; կետ P - կոորդինատ -4; կետ M - կոորդինատ 3.5; կետ N - կոորդինատ -2.1; կետ O - կոորդինատ 0 (զրո): Այստեղից էլ առաջացել է «կոորդինատային գիծ» անվանումը: Պատկերավոր ասած՝ կոորդինատային գիծը խիտ բնակեցված տուն է, այս տան բնակիչները՝ կետերը, իսկ կետերի կոորդինատները՝ այն բնակարանների թիվը, որոնցում բնակվում են բնակիչները։
Ինչու է անհրաժեշտ կոորդինատային գիծ: Ինչու՞ կետը բնութագրել թվով, իսկ թիվը՝ կետով: Սրանից օգուտ կա՞: Այո, ունեմ։
Օրինակ, կոորդինատային ուղղի վրա տրվի երկու կետ՝ A - o կոորդինատով և B - կոորդինատով b (սովորաբար նման դեպքերում ավելի կարճ են գրում.
Ա (ա), Բ (բ)): Եկեք գտնենք A և B կետերի միջև d հեռավորությունը: Ստացվում է, որ անելու փոխարեն երկրաչափական չափումներ, պարզապես օգտագործեք պատրաստի բանաձեւ d = (a - b) (դուք այն սովորել եք 6-րդ դասարանում):
Այսպիսով, Նկար 8-ում մենք ունենք.
Ձգտելով բանականության հակիրճության՝ մաթեմատիկոսները համաձայնեցին «a կոորդինատ ունեցող գծի A կետը» երկար արտահայտության փոխարեն օգտագործել. կարճ արտահայտություն«ա կետ» և, համապատասխանաբար, գծագրում խնդրո առարկա կետը նշվում է իր կոորդինատով: Այսպիսով, Նկար 9-ը ցույց է տալիս կոորդինատային գիծ, որի վրա նշված են կետերը - 4; - 2.1; 0; 1; 3.5; 5.4.
Կոորդինատային գիծը մեզ հնարավորություն է տալիս ազատորեն անցնել հանրահաշվականից երկրաչափական լեզվի և հակառակ ուղղությամբ։ Թող, օրինակ, a թիվը փոքր լինի b թվից: Հանրահաշվական լեզվով սա գրված է հետևյալ կերպ. ա< b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
Այնուամենայնիվ, և՛ հանրահաշվական, և՛ երկրաչափական լեզուները նույն մաթեմատիկական լեզվի տեսակներ են, որոնք մենք ուսումնասիրում ենք:
Ծանոթանանք մաթեմատիկական լեզվի ևս մի քանի տարրերի, որոնք կապված են կոորդինատային գծի հետ։
1. Կոորդինատային գծի վրա թող նշվի a կետը: Դիտարկենք բոլոր այն կետերը, որոնք գտնվում են a կետից աջ ուղիղ գծի վրա, իսկ համապատասխան մասը նշենք կոորդինատային ուղիղ ելուստով (նկ. 10): Կետերի (թվերի) այս բազմությունը կոչվում է բաց ճառագայթ և նշանակվում է (a, +oo), որտեղ +oo նշանը կարդում է. «գումարած անսահմանություն»; այն բնութագրվում է x > a անհավասարությամբ (dz ասելով նկատի ունենք ճառագայթի ցանկացած կետ)։
Խնդրում ենք նկատի ունենալ. a կետը չի պատկանում բաց փնջին, բայց եթե այս կետը պետք է ամրացնել բաց ճառագայթին, ապա գծագրում գրեք x > a կամ, համապատասխանաբար, ներկեք b կետի վրա (նկ. 13);
(- oo, b)-ի համար մենք կօգտագործենք նաև ճառագայթ տերմինը:
3. Թող կոորդինատային ուղղի վրա նշվեն a և b կետերը, իսկ a< b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).
Այս բազմությունը (թվերը) կոչվում է միջակայք և նշվում է (a, b):
Այն բնութագրվում է խիստ կրկնակի անհավասարությամբ ա< х < b (под х понимается любая точка интервала).
Խնդրում ենք նկատի ունենալ. միջակայքը (a, b) երկու բաց ճառագայթների (-oo, b) և (a, + oo) խաչմերուկն է (ընդհանուր մասը) - սա հստակ տեսանելի է Նկար 15-ում:
Եթե դրա ծայրերը ավելացնեք միջակայքին (a, b), այսինքն՝ a և b կետերին, կստանաք [a, b] հատվածը (նկ. 16),
որը բնութագրվում է ոչ խիստ կրկնակի անհավասարությամբ ա< х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.
[a, b] հատվածը երկու ճառագայթների (-oo, b) հատումն է (ընդհանուր մասը), և որը բնութագրվում է կրկնակի անհավասարություններով. a.< х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.
Այսպիսով, մենք մաթեմատիկական լեզվում ներմուծել ենք հինգ նոր տերմիններ՝ ճառագայթ, բաց ճառագայթ, միջակայք, հատված, կիսինտերվալ։ Կա նաև ընդհանուր տերմին՝ թվային միջակայքեր։
Ինքնին կոորդինատային գիծը նույնպես համարվում է թվային միջակայք. դրա համար օգտագործվում է նշումը (-oo, +oo):
Մաթեմատիկա 7-րդ դասարանի համար անվճար ներբեռնում, դասի պլաններ, պատրաստում դպրոց օնլայն
Ա.Վ.Պոգորելով, Երկրաչափություն 7-11-րդ դասարանների համար, Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների համար
Դասի բովանդակությունը դասի նշումներաջակցող շրջանակային դասի ներկայացման արագացման մեթոդներ ինտերակտիվ տեխնոլոգիաներ Պրակտիկա առաջադրանքներ և վարժություններ ինքնաստուգման սեմինարներ, թրեյնինգներ, դեպքեր, քվեստներ տնային առաջադրանքների քննարկման հարցեր հռետորական հարցեր ուսանողներից Նկարազարդումներ աուդիո, տեսահոլովակներ և մուլտիմեդիալուսանկարներ, նկարներ, գրաֆիկա, աղյուսակներ, դիագրամներ, հումոր, անեկդոտներ, կատակներ, կոմիքսներ, առակներ, ասացվածքներ, խաչբառեր, մեջբերումներ Հավելումներ վերացականներհոդվածների հնարքներ հետաքրքրասեր օրորոցների համար դասագրքեր հիմնական և տերմինների լրացուցիչ բառարան այլ Դասագրքերի և դասերի կատարելագործումուղղել դասագրքի սխալներըԴասագրքի հատվածի թարմացում, դասում նորարարության տարրեր, հնացած գիտելիքների փոխարինում նորերով. Միայն ուսուցիչների համար կատարյալ դասեր օրացուցային պլանմեկ տարով ուղեցույցներքննարկման ծրագրեր Ինտեգրված դասերԱլֆան նշանակում է իրական թիվ: Վերոնշյալ արտահայտություններում հավասարության նշանը ցույց է տալիս, որ եթե անսահմանությանը ավելացնեք թիվ կամ անվերջություն, ոչինչ չի փոխվի, արդյունքը կլինի նույն անսահմանությունը: Եթե որպես օրինակ վերցնենք բնական թվերի անսահման բազմությունը, ապա դիտարկված օրինակները կարող են ներկայացվել այս ձևով.
Հստակ ապացուցելու համար, որ նրանք իրավացի էին, մաթեմատիկոսները հայտնվեցին բազմաթիվ տարբեր մեթոդներով: Անձամբ ես այս բոլոր մեթոդներին նայում եմ որպես դափերի հետ պարող շամանների։ Ըստ էության, դրանք բոլորն էլ հանգում են նրան, որ կա՛մ սենյակներից մի քանիսը չբնակեցված են, և՛ նոր հյուրեր են ներխուժում, կա՛մ այցելուներից մի քանիսին դուրս են նետում միջանցք՝ հյուրերի համար տեղ բացելու համար (շատ մարդկայնորեն): Նման որոշումների վերաբերյալ իմ տեսակետը ներկայացրեցի շիկահերի մասին ֆանտաստիկ պատմության տեսքով։ Ինչի՞ վրա է հիմնված իմ պատճառաբանությունը: Անսահման թվով այցելուների տեղափոխումը անսահման ժամանակ է պահանջում: Այն բանից հետո, երբ մենք ազատեցինք հյուրի համար առաջին սենյակը, այցելուներից մեկը միշտ կքայլի միջանցքով իր սենյակից մյուսը մինչև ժամանակի վերջը: Իհարկե, ժամանակի գործոնը հիմարորեն կարելի է անտեսել, բայց դա կլինի «հիմարների համար օրենք չի գրված» կատեգորիայի մեջ։ Ամեն ինչ կախված է նրանից, թե ինչ ենք մենք անում՝ հարմարեցնել իրականությունը մաթեմատիկական տեսություններին կամ հակառակը:
Ի՞նչ է «անվերջ հյուրանոցը»: Անսահման հյուրանոցը հյուրանոց է, որը միշտ ունի ցանկացած քանակություն ազատ տեղեր, անկախ նրանից, թե քանի սենյակ է զբաղված։ Եթե անվերջանալի «այցելու» միջանցքի բոլոր սենյակները զբաղված են, ապա կա մեկ այլ անվերջ միջանցք՝ «հյուրերի» սենյակներով։ Այդպիսի միջանցքներ կլինեն անսահման թվով։ Ավելին, «անսահման հյուրանոցը» ունի անսահման թվով հարկեր անսահման թվով շենքերում անսահման թվով մոլորակների վրա անսահման թվով տիեզերքներում, որոնք ստեղծված են անսահման թվով Աստվածների կողմից: Մաթեմատիկոսները չեն կարողանում հեռու մնալ սովորական կենցաղային խնդիրներից. միշտ կա միայն մեկ Աստված-Ալլահ-Բուդդա, կա միայն մեկ հյուրանոց, կա միայն մեկ միջանցք: Այսպիսով, մաթեմատիկոսները փորձում են նենգափոխել հյուրանոցի համարների սերիական համարները՝ համոզելով մեզ, որ հնարավոր է «խցկել անհնարինը»։
Ես ձեզ ցույց կտամ իմ տրամաբանության տրամաբանությունը՝ օգտագործելով բնական թվերի անսահման բազմության օրինակը: Նախ պետք է պատասխանել մի շատ պարզ հարցի՝ բնական թվերի քանի՞ բազմություն կա՝ մեկ կամ շատ: Այս հարցին ճիշտ պատասխան չկա, քանի որ թվերը մենք ինքներս ենք հորինել բնության մեջ: Այո, բնությունը հիանալի է հաշվում, բայց դրա համար նա օգտագործում է այլ մաթեմատիկական գործիքներ, որոնք մեզ ծանոթ չեն: Ես ձեզ կասեմ, թե ինչ է մտածում բնությունը մեկ այլ անգամ: Քանի որ մենք թվեր ենք հորինել, մենք ինքներս ենք որոշելու, թե բնական թվերի քանի բազմություն կա: Դիտարկենք երկու տարբերակն էլ, ինչպես վայել է իրական գիտնականներին։
Տարբերակ առաջին. «Թող մեզ տրվի» բնական թվերի մի շարք, որը հանգիստ պառկած է դարակի վրա: Այս հավաքածուն վերցնում ենք դարակից։ Վերջ, այլ բնական թվեր չեն մնացել դարակում ու տանելու տեղ։ Մենք չենք կարող ավելացնել մեկը այս հավաքածուին, քանի որ այն արդեն ունենք: Իսկ եթե իսկապես ուզում ես: Ոչ մի խնդիր։ Մենք արդեն վերցրած հավաքածուից կարող ենք վերցնել և վերադարձնել դարակ։ Դրանից հետո մենք կարող ենք դարակից վերցնել և ավելացնել այն, ինչ մնացել է։ Արդյունքում մենք կրկին կստանանք բնական թվերի անսահման բազմություն։ Մեր բոլոր մանիպուլյացիաները կարող եք գրել այսպես.
Ես գրեցի գործողությունները հանրահաշվական և բազմությունների տեսական նշումներով՝ բազմության տարրերի մանրամասն ցուցակով: Ստորագրությունը ցույց է տալիս, որ մենք ունենք բնական թվերի մեկ և միակ հավաքածու: Ստացվում է, որ բնական թվերի բազմությունը կմնա անփոփոխ միայն այն դեպքում, եթե նրանից հանվի մեկը և գումարվի նույն միավորը։
Տարբերակ երկու. Մենք մեր դարակում ունենք բնական թվերի շատ տարբեր անսահման հավաքածուներ: Շեշտում եմ՝ ՏԱՐԲԵՐ, չնայած նրան, որ դրանք գործնականում չեն տարբերվում։ Վերցնենք այս հավաքածուներից մեկը: Այնուհետև բնական թվերի մեկ այլ բազմությունից վերցնում ենք մեկը և ավելացնում արդեն վերցրած բազմությանը։ Մենք նույնիսկ կարող ենք ավելացնել բնական թվերի երկու հավաքածու։ Սա այն է, ինչ մենք ստանում ենք.
«Մեկ» և «երկու» ենթագրերը ցույց են տալիս, որ այդ տարրերը պատկանել են տարբեր խմբերի։ Այո, եթե մեկը ավելացնեք անսահման բազմությանը, արդյունքը նույնպես կլինի անսահման բազմություն, բայց այն նույնը չի լինի, ինչ սկզբնական հավաքածուն: Եթե մեկ անսահման բազմությանն ավելացնեք ևս մեկ անսահման բազմություն, ապա ստացվում է նոր անսահման բազմություն, որը բաղկացած է առաջին երկու բազմությունների տարրերից:
Բնական թվերի բազմությունը հաշվելու համար օգտագործվում է այնպես, ինչպես քանոնը՝ չափելու համար։ Հիմա պատկերացրեք, որ դուք մեկ սանտիմետր ավելացրել եք քանոնին։ Սա կլինի այլ տող, որը հավասար չէ բնօրինակին:
Դուք կարող եք ընդունել կամ չընդունել իմ պատճառաբանությունը՝ դա ձեր սեփական գործն է։ Բայց եթե երբևէ հանդիպեք մաթեմատիկական խնդիրների, մտածեք, թե արդյոք դուք գնում եք մաթեմատիկոսների սերունդների կողմից տրորված կեղծ դատողությունների ճանապարհով: Չէ՞ որ մաթեմատիկա սովորելը նախ և առաջ մեր մեջ ձևավորում է մտածողության կայուն կարծրատիպ և միայն դրանից հետո ավելացնում մեր մտավոր կարողությունները (կամ հակառակը՝ զրկում ազատ մտածելուց)։
Կիրակի, 4 օգոստոսի, 2019 թ
Ես ավարտում էի մի հոդվածի հետգրությունը և տեսա այս հրաշալի տեքստը Վիքիպեդիայում.
Կարդում ենք. «... Բաբելոնի մաթեմատիկայի հարուստ տեսական հիմքը չուներ ամբողջական բնույթ և վերածվեց մի շարք տարբեր տեխնիկաների՝ զուրկ ընդհանուր համակարգից և ապացույցների բազայից»:
Վա՜յ։ Որքան խելացի ենք մենք և որքան լավ ենք տեսնում ուրիշների թերությունները: Արդյո՞ք մեզ համար դժվար է ժամանակակից մաթեմատիկային նայել նույն համատեքստում: Թեթևակի վերափոխելով վերը նշված տեքստը, ես անձամբ ստացա հետևյալը.
Հարուստ տեսական հիմքեր ժամանակակից մաթեմատիկաչունի ամբողջական բնույթ և վերածվում է անհամաչափ հատվածների մի շարքի՝ զուրկ ընդհանուր համակարգից և ապացույցների բազայից:
Ես հեռու չեմ գնա իմ խոսքերը հաստատելու համար. այն ունի լեզու և պայմանականություններ, որոնք տարբերվում են մաթեմատիկայի շատ այլ ճյուղերի լեզվից և պայմանականություններից: Մաթեմատիկայի տարբեր ճյուղերում նույն անունները կարող են տարբեր նշանակություն ունենալ։ Ուզում եմ հրապարակումների մի ամբողջ շարք նվիրել ժամանակակից մաթեմատիկայի ամենաակնառու սխալներին։ Կհանդիպենք շուտով:
Շաբաթ, 3 օգոստոսի, 2019 թ
Ինչպե՞ս բազմությունը բաժանել ենթաբազմությունների: Դա անելու համար հարկավոր է մուտքագրել նոր չափման միավոր, որն առկա է ընտրված հավաքածուի որոշ տարրերում: Դիտարկենք մի օրինակ։
Թող որ մենք շատ լինենք Աբաղկացած չորս հոգուց. Այս հավաքածուն ձևավորվում է «մարդկանց» հիման վրա: Եկեք նշենք այս հավաքածուի տարրերը տառով Ա, համարով բաժանորդը ցույց կտա այս հավաքածուի յուրաքանչյուր անձի սերիական համարը: Ներկայացնենք չափման նոր միավոր «գենդեր» և այն նշանակենք տառով բ. Քանի որ սեռական հատկանիշները բնորոշ են բոլոր մարդկանց, մենք բազմապատկում ենք հավաքածուի յուրաքանչյուր տարր Աելնելով սեռից բ. Ուշադրություն դարձրեք, որ մեր «մարդկանց» խումբն այժմ վերածվել է «գենդերային հատկանիշներով մարդկանց»: Սրանից հետո սեռական հատկանիշները կարող ենք բաժանել արականի bmև կանացի bwսեռական հատկանիշներ. Այժմ մենք կարող ենք կիրառել մաթեմատիկական ֆիլտր. մենք ընտրում ենք այս սեռական հատկանիշներից մեկը, անկախ նրանից, թե որ մեկը՝ արական, թե իգական: Եթե մարդն ունի, ուրեմն բազմապատկում ենք մեկով, եթե նման նշան չկա՝ բազմապատկում ենք զրոյով։ Եվ հետո մենք օգտագործում ենք սովորական դպրոցական մաթեմատիկա: Տեսեք, թե ինչ է պատահել.
Բազմապատկելուց, կրճատելուց և վերադասավորվելուց հետո մենք հայտնվեցինք երկու ենթաբազմության մեջ՝ տղամարդկանց ենթաբազմություն Բմև կանանց ենթաբազմություն Bw. Մաթեմատիկոսները մոտավորապես նույն կերպ են մտածում, երբ կիրառում են բազմությունների տեսությունը գործնականում: Բայց նրանք մեզ մանրամասներ չեն ասում, այլ տալիս են վերջնական արդյունքը. «շատ մարդիկ բաղկացած են տղամարդկանց և կանանց ենթաբազմությունից»: Բնականաբար, ձեզ մոտ կարող է հարց առաջանալ՝ որքանո՞վ է ճիշտ կիրառվել մաթեմատիկան վերը նշված վերափոխումների մեջ: Համարձակվում եմ ձեզ վստահեցնել, որ ըստ էության ամեն ինչ ճիշտ է արվել, բավական է իմանալ թվաբանության, բուլյան հանրահաշվի և մաթեմատիկայի այլ ճյուղերի մաթեմատիկական հիմքերը։ Ինչ է դա? Մեկ այլ անգամ ես ձեզ կասեմ այս մասին:
Ինչ վերաբերում է սուպերբազմություններին, ապա դուք կարող եք միավորել երկու հավաքածուներ մեկ գերբազմության մեջ՝ ընտրելով այս երկու հավաքածուների տարրերում առկա չափման միավորը:
Ինչպես տեսնում եք, չափման միավորները և սովորական մաթեմատիկան բազմությունների տեսությունը դարձնում են անցյալի մասունք: Նշան է, որ բազմությունների տեսության հետ ամեն ինչ լավ չէ, այն է, որ բազմությունների տեսության համար մաթեմատիկոսներն են հորինել սեփական լեզունև սեփական նշումները: Մաթեմատիկոսները վարվեցին այնպես, ինչպես ժամանակին արեցին շամանները: Միայն շամանները գիտեն, թե ինչպես «ճիշտ» կիրառել իրենց «գիտելիքները»: Նրանք մեզ սովորեցնում են այս «գիտելիքը»:
Եզրափակելով, ես ուզում եմ ձեզ ցույց տալ, թե ինչպես են մաթեմատիկոսները շահարկում:
Երկուշաբթի, 7 հունվարի, 2019 թ
Ք.ա. հինգերորդ դարում հին հույն փիլիսոփա Զենոն Էլեյացին ձևակերպեց իր հայտնի ապորիաները, որոնցից ամենահայտնին «Աքիլես և կրիա» ապորիան է։ Ահա թե ինչ է այն հնչում.
Ենթադրենք, Աքիլլեսը վազում է տաս անգամ ավելի արագ, քան կրիան և հազար քայլ հետ է մնում նրանից։ Այն ժամանակահատվածում, ինչ Աքիլլեսին կպահանջվի այս տարածությունը վազելու համար, կրիան հարյուր քայլ կսողա նույն ուղղությամբ։ Երբ Աքիլեսը վազում է հարյուր քայլ, կրիան սողում է ևս տասը քայլ և այլն։ Գործընթացը կշարունակվի անվերջ, Աքիլլեսը երբեք չի հասնի կրիային:
Այս պատճառաբանությունը տրամաբանական ցնցում դարձավ հետագա բոլոր սերունդների համար։ Արիստոտելը, Դիոգենեսը, Կանտը, Հեգելը, Հիլբերտը... Նրանք բոլորն այս կամ այն կերպ դիտարկում էին Զենոնի ապորիան։ Ցնցումն այնքան ուժեղ էր, որ « ... քննարկումները շարունակվում են մինչ օրս գիտական հանրությունը չի կարողացել ընդհանուր կարծիքի գալ պարադոքսների էության վերաբերյալ ... հարցի ուսումնասիրության մեջ ներգրավվել են մաթեմատիկական վերլուծություն, բազմությունների տեսություն, նոր ֆիզիկական և փիլիսոփայական մոտեցումներ; ; դրանցից ոչ մեկը չդարձավ խնդրի ընդհանուր ընդունված լուծում...«[Wikipedia, «Zeno's Aporia» Բոլորը հասկանում են, որ իրենց խաբում են, բայց ոչ ոք չի հասկանում, թե ինչից է բաղկացած խաբեությունը։
Մաթեմատիկական տեսանկյունից Զենոնն իր ապորիայում հստակ ցույց տվեց անցումը քանակից դեպի ։ Այս անցումը ենթադրում է կիրառություն մշտականի փոխարեն։ Որքան ես հասկացա, չափման փոփոխական միավորներ օգտագործելու մաթեմատիկական ապարատը կամ դեռ մշակված չէ, կամ այն չի կիրառվել Զենոնի ապորիայի վրա: Մեր սովորական տրամաբանության կիրառումը մեզ տանում է թակարդի մեջ: Մենք, մտածողության իներցիայի շնորհիվ, փոխադարձ արժեքին կիրառում ենք ժամանակի հաստատուն միավորներ։ Ֆիզիկական տեսանկյունից սա կարծես թե ժամանակն է դանդաղում, մինչև այն ամբողջովին դադարի այն պահին, երբ Աքիլեսը կհասնի կրիային: Եթե ժամանակը կանգ առնի, Աքիլլեսն այլևս չի կարող շրջանցել կրիային:
Եթե շրջենք մեր սովորական տրամաբանությունը, ամեն ինչ իր տեղը կընկնի։ Աքիլլեսը վազում է հաստատուն արագությամբ։ Նրա ճանապարհի յուրաքանչյուր հաջորդ հատվածը տասն անգամ ավելի կարճ է, քան նախորդը: Ըստ այդմ, դրա հաղթահարման վրա ծախսված ժամանակը նախորդից տասն անգամ պակաս է։ Եթե այս իրավիճակում կիրառենք «անսահմանություն» հասկացությունը, ապա ճիշտ կլինի ասել «Աքիլլեսը անսահման արագ կհասնի կրիային»:
Ինչպե՞ս խուսափել այս տրամաբանական թակարդից: Մնացեք ժամանակի հաստատուն միավորներում և մի անցեք փոխադարձ միավորների: Զենոնի լեզվով դա հետևյալն է.
Այն ժամանակ, ինչ Աքիլլեսին կպահանջվի հազար քայլ վազելու համար, կրիան հարյուր քայլ կսողա նույն ուղղությամբ։ Առաջինին հավասար հաջորդ ժամանակամիջոցում Աքիլլեսը կվազի ևս հազար քայլ, իսկ կրիան կսողա հարյուր քայլ: Այժմ Աքիլլեսը ութ հարյուր քայլ առաջ է կրիայից։
Այս մոտեցումը ադեկվատ կերպով նկարագրում է իրականությունը՝ առանց որևէ տրամաբանական պարադոքսների։ Բայց սա խնդրի ամբողջական լուծում չէ։ Լույսի արագության անդիմադրելիության մասին Էյնշտեյնի հայտարարությունը շատ նման է Զենոնի «Աքիլլեսը և կրիան» ապորիային։ Մենք դեռ պետք է ուսումնասիրենք, վերանայենք ու լուծենք այս խնդիրը։ Եվ լուծումը չպետք է անվերջ փնտրել մեծ թվեր, բայց չափման միավորներով։
Զենոնի մեկ այլ հետաքրքիր ապորիա պատմում է թռչող նետի մասին.
Թռչող նետը անշարժ է, քանի որ ժամանակի յուրաքանչյուր պահին այն հանգստի վիճակում է, և քանի որ այն հանգստանում է ժամանակի յուրաքանչյուր պահի, այն միշտ հանգստանում է:
Այս ապորիայում տրամաբանական պարադոքսայն կարելի է հաղթահարել շատ պարզ. բավական է պարզաբանել, որ ժամանակի յուրաքանչյուր պահին թռչող սլաքը հանգստանում է տարածության տարբեր կետերում, ինչը, ըստ էության, շարժում է: Այստեղ հարկ է նշել ևս մեկ կետ. Ճանապարհին մեքենայի մեկ լուսանկարից անհնար է որոշել ոչ նրա շարժման փաստը, ոչ էլ հեռավորությունը: Որոշելու համար, թե արդյոք մեքենան շարժվում է, ձեզ անհրաժեշտ է երկու լուսանկար՝ արված նույն կետից ժամանակի տարբեր կետերում, բայց դուք չեք կարող որոշել դրանցից հեռավորությունը: Ավտոմեքենայի հեռավորությունը որոշելու համար անհրաժեշտ է ժամանակի մեկ կետում տարածության տարբեր կետերից արված երկու լուսանկար, բայց դրանցից դուք չեք կարող որոշել շարժման փաստը (իհարկե, հաշվարկների համար դեռ լրացուցիչ տվյալներ են պետք, եռանկյունաչափությունը կօգնի ձեզ ). Այն, ինչի վրա ուզում եմ հատուկ ուշադրություն հրավիրել, այն է, որ ժամանակի երկու կետը և տարածության երկու կետը տարբեր բաներ են, որոնք չպետք է շփոթել, քանի որ դրանք տարբեր հնարավորություններ են տալիս հետազոտության համար:
Չորեքշաբթի, 4 հուլիսի, 2018 թ
Ես արդեն ասել եմ ձեզ, որի օգնությամբ շամանները փորձում են տեսակավորել «» իրականությունը։ Ինչպե՞ս են նրանք դա անում: Ինչպե՞ս է իրականում տեղի ունենում հավաքածուի ձևավորումը:
Եկեք ավելի սերտ նայենք բազմության սահմանմանը. «տարբեր տարրերի հավաքածու՝ ընկալված որպես մեկ ամբողջություն»: Այժմ զգացեք տարբերությունը երկու արտահայտությունների միջև՝ «ըմբռնելի որպես ամբողջություն» և «ըմբռնելի որպես ամբողջություն»: Առաջին արտահայտությունը վերջնական արդյունքն է, հավաքածուն: Երկրորդ արտահայտությունը նախնական նախապատրաստություն է բազմության ձևավորման համար։ Այս փուլում իրականությունը բաժանվում է առանձին տարրերի («ամբողջությունը»), որոնցից հետո կձևավորվի բազմություն («մեկ ամբողջություն»)։ Միևնույն ժամանակ ուշադիր վերահսկվում է այն գործոնը, որը հնարավորություն է տալիս միավորել «ամբողջությունը» «մեկ ամբողջության», հակառակ դեպքում շամաններին չի հաջողվի։ Ի վերջո, շամանները նախապես գիտեն, թե ինչ հավաքածու են ուզում ցույց տալ մեզ։
Ես ձեզ ցույց կտամ գործընթացը օրինակով: Մենք ընտրում ենք «կարմիր պինդ պզուկը»՝ սա մեր «ամբողջությունն է»: Միևնույն ժամանակ մենք տեսնում ենք, որ այս բաները աղեղով են, և կան առանց աղեղի։ Դրանից հետո մենք ընտրում ենք «ամբողջության» մի մասը և կազմում «աղեղով»: Ահա թե ինչպես են շամանները ստանում իրենց սնունդը՝ կապելով իրենց հավաքածուների տեսությունը իրականության հետ:
Հիմա եկեք մի փոքր հնարք անենք: Վերցնենք «պինդ պզուկով աղեղով» և միավորենք այս «ամբողջությունները» ըստ գույնի՝ ընտրելով կարմիր տարրերը։ Մենք շատ «կարմիր» ստացանք։ Հիմա վերջնական հարցը. ստացված սեթերը «աղեղով» և «կարմիր» նույն հավաքածուն են, թե՞ երկու տարբեր սեթ: Պատասխանը գիտեն միայն շամանները. Ավելի ճիշտ՝ իրենք իրենք ոչինչ չգիտեն, բայց ինչպես ասում են՝ այդպես էլ կլինի։
Այս պարզ օրինակը ցույց է տալիս, որ բազմությունների տեսությունը լիովին անօգուտ է, երբ խոսքը վերաբերում է իրականությանը: Ո՞րն է գաղտնիքը: Մենք ձևավորեցինք մի շարք «կարմիր պինդ բշտիկով և աղեղով»: Ձևավորումը տեղի է ունեցել չորս տարբեր չափման միավորներով՝ գույն (կարմիր), ամրություն (պինդ), կոպտություն (կռուտիտ), զարդարանք (աղեղով): Միայն չափման միավորների հավաքածուն թույլ է տալիս ադեկվատ կերպով նկարագրել իրական առարկաները մաթեմատիկայի լեզվով. Ահա թե ինչ տեսք ունի.
Տարբեր ինդեքսներով «ա» տառը նշանակում է տարբեր չափման միավորներ։ Չափման միավորները, որոնցով նախնական փուլում տարբերվում է «ամբողջը», ընդգծված են փակագծերում։ Չափման միավորը, որով կազմվում է հավաքածուն, հանվում է փակագծերից։ Վերջին տողը ցույց է տալիս վերջնական արդյունքը` հավաքածուի տարրը: Ինչպես տեսնում եք, եթե մենք օգտագործում ենք չափման միավորներ բազմություն կազմելու համար, ապա արդյունքը կախված չէ մեր գործողությունների հերթականությունից։ Եվ սա մաթեմատիկա է, և ոչ թե շամանների պարը դափերով։ Շամանները կարող են «ինտուիտիվորեն» հանգել նույն արդյունքին՝ պնդելով, որ դա «ակնհայտ է», քանի որ չափման միավորները նրանց «գիտական» զինանոցի մաս չեն կազմում։
Օգտագործելով չափման միավորները, շատ հեշտ է բաժանել մեկ հավաքածու կամ միավորել մի քանի հավաքածուներ մեկ սուպերսեթի մեջ: Եկեք մանրամասն նայենք այս գործընթացի հանրահաշիվին:
Շաբաթ, 30 հունիսի, 2018 թ
Եթե մաթեմատիկոսները չեն կարողանում հասկացությունը նվազեցնել այլ հասկացությունների, ապա նրանք ոչինչ չեն հասկանում մաթեմատիկայից: Ես պատասխանում եմ՝ ինչո՞վ են մի բազմության տարրերը տարբերվում մյուս բազմության տարրերից։ Պատասխանը շատ պարզ է՝ թվեր և չափման միավորներ։
Այսօր այն ամենը, ինչ մենք չենք վերցնում, պատկանում է ինչ-որ մի շարքի (ինչպես մեզ վստահեցնում են մաթեմատիկոսները)։ Ի դեպ, ճակատիդ հայելու մեջ տեսե՞լ ես այն հավաքածուների ցանկը, որոնց պատկանում ես։ Իսկ ես նման ցուցակ չեմ տեսել։ Ես կասեմ ավելին. իրականում ոչ մի բան չունի պիտակ այն հավաքածուների ցանկով, որին պատկանում է այս բանը: Կոմպլեկտները բոլորը շամանների գյուտերն են: Ինչպե՞ս են դա անում։ Եկեք մի փոքր ավելի խորը նայենք պատմությանը և տեսնենք, թե ինչ տեսք ունեին հավաքածուի տարրերը նախքան մաթեմատիկոս շամանները դրանք վերցնել իրենց հավաքածուներում:
Շատ վաղուց, երբ ոչ ոք չէր լսել մաթեմատիկայի մասին, և միայն ծառերն ու Սատուրնն ունեին օղակներ, վայրի տարրերի հսկայական երամակները թափառում էին ամբողջ տարածքում: ֆիզիկական դաշտեր(ի վերջո, շամանները դեռ չեն հորինել մաթեմատիկական ոլորտները): Նրանք այսպիսի տեսք ունեին.
Այո, մի զարմացեք, մաթեմատիկայի տեսանկյունից բազմությունների բոլոր տարրերն առավել նման են. ծովային ոզնիներ- մի կետից, ասեղների պես, չափման միավորները դուրս են գալիս բոլոր ուղղություններով: Նրանց համար, ովքեր հիշեցնում եմ ձեզ, որ չափման ցանկացած միավոր երկրաչափորեն կարող է ներկայացվել որպես կամայական երկարության հատված, իսկ թիվը՝ որպես կետ: Երկրաչափորեն, ցանկացած մեծություն կարող է ներկայացվել որպես մի կետից տարբեր ուղղություններով դուրս ցցված հատվածների փունջ: Այս կետը զրոյական կետն է: Ես չեմ նկարի երկրաչափական արվեստի այս կտորը (առանց ոգեշնչման), բայց դուք հեշտությամբ կարող եք դա պատկերացնել:
Չափման ո՞ր միավորներն են կազմում բազմության տարրը: Բոլոր տեսակի բաներ, որոնք նկարագրում են տվյալ տարրը տարբեր տեսակետներից: Սրանք հնագույն չափման միավորներ են, որոնք օգտագործել են մեր նախնիները, և որոնց մասին բոլորը վաղուց մոռացել են: Սրանք ժամանակակից չափման միավորներն են, որոնք մենք օգտագործում ենք հիմա: Սրանք նույնպես մեզ անհայտ չափման միավորներ են, որոնք մեր հետնորդները կգտնեն և որոնք նրանք կօգտագործեն իրականությունը նկարագրելու համար:
Մենք դասավորել ենք երկրաչափությունը. հավաքածուի տարրերի առաջարկվող մոդելն ունի հստակ երկրաչափական պատկեր: Ինչ վերաբերում է ֆիզիկային: Չափման միավորները մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի անմիջական կապն են։ Եթե շամանները չափման միավորները չեն ճանաչում որպես մաթեմատիկական տեսությունների լիարժեք տարր, դա նրանց խնդիրն է։ Ես անձամբ չեմ կարող պատկերացնել մաթեմատիկայի իրական գիտությունն առանց չափման միավորների: Ահա թե ինչու բազմությունների տեսության մասին պատմվածքի հենց սկզբում ես խոսեցի դրա մասին որպես քարի դարում:
Բայց անցնենք ամենահետաքրքիրին՝ բազմությունների տարրերի հանրահաշիվին։ Հանրահաշվորեն, բազմության ցանկացած տարր տարբեր մեծությունների արտադրյալ է (բազմապատկման արդյունք):
Ես միտումնավոր չեմ օգտագործել բազմությունների տեսության պայմանականությունները, քանի որ մենք դիտարկում ենք բազմության տարրը իր բնական միջավայրում մինչև բազմությունների տեսության առաջացումը: Փակագծերում գտնվող յուրաքանչյուր զույգ տառ նշանակում է առանձին մեծություն, որը բաղկացած է տառով նշված թվից: n«և տառով նշված չափման միավորը» աՏառերի կողքին գտնվող ցուցիչները ցույց են տալիս, որ թվերն ու չափման միավորները տարբեր են: Կոմպլեկտի մեկ տարրը կարող է բաղկացած լինել անսահման թվով քանակներից (որքանով մենք և մեր սերունդները բավականաչափ երևակայություն ունենք): Յուրաքանչյուր փակագիծ երկրաչափորեն պատկերված է որպես Առանձին հատված Ծովային եղջյուրի հետ կապված մեկ փակագիծը մեկ ասեղ է:
Ինչպե՞ս են շամանները տարբեր տարրերից կազմավորում: Իրականում չափման միավորներով կամ թվերով։ Ոչինչ չհասկանալով մաթեմատիկայից՝ նրանք վերցնում են տարբեր ծովախեցգետիններ և ուշադիր զննում նրանց՝ փնտրելով այդ մեկ ասեղը, որի երկայնքով նրանք կազմում են մի շարք։ Եթե կա այդպիսի ասեղ, ապա այս տարրը պատկանում է հավաքածուին, եթե չկա այդպիսի ասեղ, ապա այս տարրը այս հավաքածուից չէ: Շամանները մեզ առակներ են պատմում մտքի գործընթացների և ամբողջի մասին:
Ինչպես կռահեցիք, նույն տարրը կարող է պատկանել շատ տարբեր խմբերի: Հաջորդը ես ձեզ ցույց կտամ, թե ինչպես են ձևավորվում բազմությունները, ենթաբազմությունները և շամանական այլ անհեթեթությունները: Ինչպես տեսնում եք, «կոմպլեկտում չի կարող լինել երկու նույնական տարր», բայց եթե մի շարքում կան նույնական տարրեր, ապա այդպիսի հավաքածուն կոչվում է «բազմաթիվ»: Ողջամիտ էակները երբեք չեն հասկանա նման անհեթեթ տրամաբանությունը։ Սա խոսող թութակների և վարժեցված կապիկների մակարդակն է, որոնք խելք չունեն «ամբողջովին» բառից։ Մաթեմատիկոսները հանդես են գալիս որպես սովորական մարզիչներ՝ մեզ քարոզելով իրենց անհեթեթ գաղափարները։
Ժամանակին կամուրջը կառուցած ինժեներները կամուրջը փորձարկելիս նավակի մեջ էին կամրջի տակ։ Եթե կամուրջը փլվեր, միջակ ինժեները մահացավ իր ստեղծագործության փլատակների տակ։ Եթե կամուրջը կարող էր դիմակայել ծանրաբեռնվածությանը, տաղանդավոր ինժեները կառուցեց այլ կամուրջներ:
Անկախ նրանից, թե ինչպես են մաթեմատիկոսները թաքնվում «խռովիր ինձ, ես տանն եմ» արտահայտության հետևում, ավելի ճիշտ՝ «մաթեմատիկայի ուսումնասիրություն». վերացական հասկացություններ«Կա մեկ պորտալար, որն անքակտելիորեն կապում է դրանք իրականության հետ։ Այս պորտալարը փող է։ Եկեք մաթեմատիկական բազմությունների տեսությունը կիրառենք հենց մաթեմատիկոսների վրա։
Մաթեմատիկան շատ լավ ենք սովորել, հիմա էլ նստած ենք դրամարկղի մոտ, աշխատավարձ ենք տալիս։ Այսպիսով, մաթեմատիկոսը գալիս է մեզ մոտ իր փողի համար: Մենք նրան հաշվում ենք ամբողջ գումարը և այն դնում մեր սեղանի վրա տարբեր կույտերով, որոնց մեջ դնում ենք նույն անվանական թղթադրամներ։ Այնուհետև մենք յուրաքանչյուր կույտից վերցնում ենք մեկ թղթադրամ և մաթեմատիկոսին տալիս ենք իր «աշխատավարձի մաթեմատիկական հավաքածուն»։ Եկեք բացատրենք մաթեմատիկոսին, որ նա կստանա մնացած հաշիվները միայն այն ժամանակ, երբ ապացուցի, որ առանց նույնական տարրերի հավաքածուն հավասար չէ նույն տարրերով բազմությանը: Այստեղից է սկսվում զվարճանքը:
Նախ՝ գործելու է պատգամավորների տրամաբանությունը. Այնուհետև նրանք կսկսեն մեզ հանգստացնել, որ նույն անվանական արժեքի թղթադրամները տարբեր թղթադրամների համարներ ունեն, ինչը նշանակում է, որ դրանք չեն կարող համարվել նույն տարրերը: Լավ, եկեք հաշվարկենք աշխատավարձերը մետաղադրամներով. մետաղադրամների վրա թվեր չկան: Այստեղ մաթեմատիկոսը կսկսի խելագարորեն հիշել ֆիզիկան. տարբեր մետաղադրամներ ունեն տարբեր քանակությամբ կեղտ, բյուրեղային կառուցվածքը և ատոմների դասավորությունը յուրահատուկ է յուրաքանչյուր մետաղադրամի համար...
Եվ հիմա ինձ մոտ ամենահետաքրքիր հարցն է՝ որտե՞ղ է այն գիծը, որից այն կողմ բազմաբնույթ տարրերը վերածվում են բազմության տարրերի և հակառակը: Նման գիծ գոյություն չունի՝ ամեն ինչ որոշում են շամանները, գիտությունն այստեղ նույնիսկ մոտ չէ ստելուն։
Նայեք այստեղ։ Մենք ընտրում ենք նույն դաշտի տարածքով ֆուտբոլային մարզադաշտեր: Դաշտերի տարածքները նույնն են, ինչը նշանակում է, որ մենք ունենք բազմաբնույթ: Բայց եթե նայենք այս նույն մարզադաշտերի անուններին, շատ ենք ստանում, քանի որ անունները տարբեր են։ Ինչպես տեսնում եք, տարրերի նույն հավաքածուն և՛ բազմություն է, և՛ բազմաբնույթ: Ո՞րն է ճիշտ: Եվ ահա մաթեմատիկոս-շաման-սրախոսը թևից հանում է հաղթաթուղթ և սկսում պատմել մեզ կա՛մ կոմպլեկտի, կա՛մ բազմահավաքի մասին: Ամեն դեպքում նա մեզ կհամոզի, որ ճիշտ է։
Հասկանալու համար, թե ինչպես են ժամանակակից շամանները գործում բազմությունների տեսության հետ՝ կապելով այն իրականության հետ, բավական է պատասխանել մի հարցի՝ ինչո՞վ են մի բազմության տարրերը տարբերվում մյուս բազմության տարրերից։ Ես ձեզ ցույց կտամ՝ առանց որևէ «պատկերացնելի որպես ոչ մի ամբողջություն» կամ «անպատկերացնել որպես մեկ ամբողջություն»։
Թեմայի վերաբերյալ հոդվածներ
