Ako nájsť oblúk kruhu so znalosťou akordu. Kruh a vpísaný uhol
obvod nazývaná uzavretá plochá krivka, ktorej všetky body ležiace v rovnakej rovine sú vzdialené od stredu v rovnakej vzdialenosti.
Bodka O je stred kruhu, R je polomer kruhu, vzdialenosť od ktoréhokoľvek bodu na kruhu do stredu. Podľa definície sú všetky polomery uzavreté
ryža. 1
krivky sú rovnako dlhé.
Vzdialenosť medzi dvoma bodmi na kruhu sa nazýva tetiva. Úsek kruhu, ktorý prechádza jeho stredom a spája dva jeho body, sa nazýva priemer. Stredom priemeru je stred kruhu. Body kružnice rozdeľujú uzavretú krivku na dve časti, pričom každá časť sa nazýva oblúk kružnice. Ak konce oblúka patria k priemeru, potom sa takýto kruh nazýva polkruh, ktorého dĺžka sa zvyčajne označuje π . Miera stupňov dvoch kruhov, ktoré majú spoločné konce, je 360 stupňov.
Sústredné kruhy sú kruhy, ktoré majú spoločný stred. Ortogonálne kruhy sú kruhy, ktoré sa pretínajú pod uhlom 90 stupňov.
Rovina ohraničená kružnicou sa nazýva kružnica. Jedna časť kruhu, ktorý je ohraničený dvoma polomermi a oblúkom, je kruhový sektor. Sektorový oblúk je oblúk, ktorý ohraničuje sektor.
Ryža. 2
Vzájomné usporiadanie kruhu a priamky (obr. 2).
Kruh a čiara majú dva spoločné body, ak je vzdialenosť od čiary k stredu kružnice menšia ako polomer kružnice. V tomto prípade sa čiara vzhľadom na kružnicu nazýva sečna.
Kruh a priamka majú jeden spoločný bod, ak sa vzdialenosť od priamky k stredu kružnice rovná polomeru kružnice. V tomto prípade sa priamka vzhľadom na kružnicu nazýva dotyčnica ku kružnici. Ich spoločný bod sa nazýva bod dotyku medzi kružnicou a priamkou.
Základné kruhové vzorce:
- C = 2πR , Kde C - obvod
- R \u003d C / (2π) \u003d D / 2 , Kde С/(2π) - dĺžka oblúka kružnice
- D = C/n = 2R , Kde D - priemer
- S = πR2 , Kde S - oblasť kruhu
- S = ((nR2)/360)a , Kde S je oblasť kruhového sektora
Obvod a kruh dostali svoje meno v starovekom Grécku. Už v dávnych dobách sa ľudia zaujímali o okrúhle telá, a tak sa kruh stal korunou dokonalosti. Impulzom k vynálezu kolesa bola skutočnosť, že okrúhle telo sa mohlo pohybovať samo. Zdalo by sa, čo je na tomto vynáleze zvláštne? Predstavte si však, že by v okamihu zmizli kolesá z našich životov. V budúcnosti tento vynález dal vzniknúť matematickému konceptu kruhu.
Úlohy na nájdenie oblasti kruhu sú povinnou súčasťou skúšky z matematiky. Tejto téme je v certifikačnom teste spravidla zadaných niekoľko úloh naraz. Všetci študenti stredných škôl by mali rozumieť algoritmu na nájdenie obvodu a plochy kruhu bez ohľadu na úroveň ich prípravy.
Ak vám takéto planimetrické úlohy spôsobujú ťažkosti, odporúčame vám obrátiť sa na vzdelávací portál Shkolkovo. S nami môžete vyplniť medzery vo vedomostiach.
Zodpovedajúca časť stránky obsahuje veľký výber úloh na nájdenie obvodu a oblasti kruhu, podobných tým, ktoré sú súčasťou skúšky. Keď sa absolvent naučí, ako ich správne vykonať, bude schopný úspešne zvládnuť skúšku.
Základné momenty
Problémy, ktoré vyžadujú použitie plošných vzorcov, môžu byť priame alebo inverzné. V prvom prípade sú známe parametre prvkov obrázku. V tomto prípade je požadovaná hodnota plocha. V druhom prípade je naopak oblasť známa a je potrebné nájsť akýkoľvek prvok postavy. Algoritmus na výpočet správnej odpovede v takýchto úlohách sa líši iba v poradí, v ktorom sú použité základné vzorce. Preto pri riešení takýchto problémov je potrebné zopakovať teoretický materiál.
Vzdelávací portál Shkolkovo poskytuje všetky základné informácie o téme „Hľadanie obvodu alebo oblúka a oblasti kruhu“, ako aj o iných témach, napríklad naši špecialisti ich pripravili a prezentovali v najprístupnejšej forme.
Po zapamätaní si základných vzorcov môžu študenti online dokončiť úlohy na nájdenie oblasti kruhu, podobné tým, ktoré sú súčasťou skúšky. Pre každé cvičenie na stránke je uvedené podrobné riešenie a je uvedená správna odpoveď. Ak je to potrebné, ktorúkoľvek úlohu je možné uložiť do časti „Obľúbené“, aby ste sa k nej mohli neskôr vrátiť a prediskutovať ju s učiteľom.
Ako dobre si pamätáte všetky mená spojené s kruhom? Len pre prípad, pripomíname - pozrite sa na obrázky - obnovte svoje vedomosti.
Po prvé - Stred kruhu je bod, od ktorého sú všetky body na kruhu rovnako vzdialené.
Po druhé - polomer - úsečka spájajúca stred a bod na kružnici.
Existuje veľa polomerov (toľko, koľko je bodov na kruhu), ale všetky polomery majú rovnakú dĺžku.
Niekedy skrátka polomer volajú to dĺžka segmentu„stred je bod na kruhu“ a nie samotný segment.
A tu je to, čo sa stane ak spojíte dva body na kruhu? Tiež rez?
Tento segment sa teda volá "akord".
Rovnako ako v prípade polomeru sa priemer často nazýva dĺžka segmentu spájajúceho dva body na kruhu a prechádzajúceho stredom. Mimochodom, ako súvisí priemer a polomer? Pozri sa bližšie. Samozrejme, polomer je polovica priemeru.
Okrem akordov existujú aj sekanta.
Pamätáte si na najjednoduchšie?
Stredový uhol je uhol medzi dvoma polomermi.
A teraz vpísaný uhol
Vpísaný uhol je uhol medzi dvoma tetivami, ktoré sa pretínajú v bode na kruhu.
V tomto prípade hovoria, že vpísaný uhol sa spolieha na oblúk (alebo na tetivu).
Pozri sa na obrázok:
Meranie oblúkov a uhlov.
Obvod. Oblúky a uhly sa merajú v stupňoch a radiánoch. Najprv o stupňoch. Pre uhly nie sú žiadne problémy - musíte sa naučiť merať oblúk v stupňoch.
Miera stupňa (hodnota oblúka) je hodnota (v stupňoch) zodpovedajúceho stredového uhla
Čo tu znamená slovo „zodpovedajúce“? Pozrime sa pozorne:
Vidíte dva oblúky a dva stredové uhly? No, väčší oblúk zodpovedá väčšiemu uhlu (a je v poriadku, že je väčší) a menší oblúk zodpovedá menšiemu uhlu.
Takže sme sa dohodli: oblúk obsahuje rovnaký počet stupňov ako zodpovedajúci stredový uhol.
A teraz o tom hroznom - o radiánoch!
Aký druh zvieraťa je tento „radián“?
Predstavte si toto: radiány sú spôsob merania uhla... v polomeroch!
Radiánový uhol je stredový uhol, ktorého dĺžka oblúka sa rovná polomeru kružnice.
Potom vyvstáva otázka - koľko radiánov je v narovnanom uhle?
Inými slovami: koľko polomerov sa „zmestí“ do polovice kruhu? Alebo inak: koľkokrát je dĺžka polovice kruhu väčšia ako polomer?
Túto otázku si položili vedci v starovekom Grécku.
A tak po dlhom hľadaní zistili, že pomer obvodu k polomeru nechce byť vyjadrený „ľudskými“ číslami, ako atď.
A tento postoj nie je možné ani vyjadriť cez korene. To znamená, že sa ukazuje, že sa nedá povedať, že polovica kruhu je dvakrát alebo krát polomer! Viete si predstaviť, aké úžasné bolo prvýkrát objaviť ľudí?! Pre pomer dĺžky polkruhu k polomeru stačili „normálne“ čísla. Musel som zadať písmeno.
Je teda číslo vyjadrujúce pomer dĺžky polkruhu k polomeru.
Teraz môžeme odpovedať na otázku: koľko radiánov je v priamom uhle? Má radián. Práve preto, že polovica kruhu má dvojnásobok polomeru.
Starovekí (a nie takí) ľudia v priebehu vekov (!) sa snažili toto záhadné číslo presnejšie vypočítať, lepšie (aspoň približne) vyjadriť cez „obyčajné“ čísla. A teraz sme neskutočne leniví - stačia nám dve cedule po obsadenosti, na čo sme si zvykli
Premýšľajte o tom, napríklad to znamená, že y kruhu s polomerom jedna má približne rovnakú dĺžku a je jednoducho nemožné zapísať túto dĺžku „ľudským“ číslom - potrebujete písmeno. A potom bude tento obvod rovnaký. A samozrejme, obvod polomeru je rovnaký.
Vráťme sa k radiánom.
Už sme zistili, že priamy uhol obsahuje radián.
Čo máme:
Tak rád, to je rád. Rovnakým spôsobom sa získa doska s najobľúbenejšími uhlami.
Pomer medzi hodnotami vpísaných a stredových uhlov.
Existuje úžasný fakt:
Hodnota vpísaného uhla je polovičná ako hodnota zodpovedajúceho stredového uhla.
Pozrite sa, ako toto vyhlásenie vyzerá na obrázku. "Zodpovedajúci" stredový uhol je taký, v ktorom sa konce zhodujú s koncami vpísaného uhla a vrchol je v strede. A zároveň musí „zodpovedajúci“ stredový uhol „hľadieť“ na rovnakú tetivu () ako vpísaný uhol.
Prečo tak? Najprv sa pozrime na jednoduchý prípad. Nechajte jeden z akordov prejsť stredom. Koniec koncov, to sa niekedy stáva, však?
Čo sa tu deje? Zvážte. Je rovnoramenný - koniec koncov, a sú polomery. Takže, (označil ich).
Teraz sa pozrime na. Toto je vonkajší roh! Pripomíname, že vonkajší uhol sa rovná súčtu dvoch vnútorných, ktoré s ním nesusedia, a napíšeme:
To je! Neočakávaný efekt. Ale je tu aj stredový uhol pre vpísané.
Takže v tomto prípade sme dokázali, že stredový uhol je dvojnásobkom vpísaného uhla. Ide však o bolestivo zvláštny prípad: je pravda, že tetiva neprechádza vždy priamo stredom? Ale nič, teraz nám tento špeciálny prípad veľmi pomôže. Pozri: druhý prípad: nech stred leží vo vnútri.
Urobme to: nakreslite priemer. A potom... vidíme dva obrázky, ktoré už boli analyzované v prvom prípade. Preto už máme
Takže (na výkrese a)
No, zostáva posledný prípad: stred je mimo rohu.
Robíme to isté: nakreslite priemer cez bod. Všetko je rovnaké, ale namiesto súčtu - rozdiel.
To je všetko!
Utvorme si teraz dva hlavné a veľmi dôležité dôsledky tvrdenia, že vpísaný uhol je polovičný ako stredový.
Dôsledok 1
Všetky vpísané uhly pretínajúce rovnaký oblúk sú rovnaké.
Ilustrujeme:
Existuje nespočetné množstvo vpísaných uhlov založených na rovnakom oblúku (máme tento oblúk), môžu vyzerať úplne inak, ale všetky majú rovnaký stredový uhol (), čo znamená, že všetky tieto vpísané uhly sú si navzájom rovné.
Dôsledok 2
Uhol založený na priemere je pravý uhol.
Pozrite sa: ktorý roh je ústredný?
Určite,. Ale on je rovný! No, preto (rovnako ako veľa vpísaných uhlov na základe) a rovná sa.
Uhol medzi dvoma akordmi a sekansami
Ale čo ak uhol, ktorý nás zaujíma, NIE JE vpísaný a NIE centrálny, ale napríklad takto:
alebo takto?
Dá sa to nejako vyjadriť cez nejaké stredové uhly? Ukazuje sa, že môžete. Pozri, zaujíma nás to.
a) (ako vonkajší roh). Ale - vpísané, založené na oblúku - . - vpísaný, založený na oblúku - .
Pre krásu hovoria:
Uhol medzi tetivami sa rovná polovici súčtu uhlových hodnôt oblúkov zahrnutých v tomto uhle.
Toto je napísané pre stručnosť, ale samozrejme, keď používate tento vzorec, musíte mať na pamäti stredové uhly
b) A teraz – „vonku“! Ako byť? Áno, takmer to isté! Až teraz (opäť aplikujte vlastnosť vonkajšieho rohu na). To je teraz.
A to znamená. Prinesme krásu a stručnosť do záznamov a formulácií:
Uhol medzi sečami sa rovná polovici rozdielu v uhlových hodnotách oblúkov uzavretých v tomto uhle.
Teraz ste vyzbrojení všetkými základnými znalosťami o uhloch spojených s kruhom. Vpred, do útoku úloh!
KRUH A ZAHRNUTÝ UHOL. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ
Čo je kruh, vie aj päťročné dieťa, však? Matematici, ako vždy, majú na túto tému nejasnú definíciu, ale nebudeme ju uvádzať (pozri), ale skôr si zapamätáme, ako sa nazývajú body, čiary a uhly spojené s kruhom.
Dôležité podmienky
Po prvé:
| stred kruhu- bod, od ktorého sú vzdialenosti od všetkých bodov kružnice rovnaké. |
Po druhé:
Je tu ďalší akceptovaný výraz: "tetiva sťahuje oblúk." Tu, tu na obrázku, napríklad tetiva sťahuje oblúk. A ak akord náhle prechádza stredom, potom má špeciálny názov: "priemer".
Mimochodom, ako súvisí priemer a polomer? Pozri sa bližšie. Samozrejme,
A teraz - mená pre rohy.
Prirodzene, nie? Strany rohu vychádzajú zo stredu, čo znamená, že roh je stredový.
Tu niekedy vznikajú ťažkosti. Dávaj pozor - ŽIADNY uhol vo vnútri kruhu nie je vpísaný, ale len taký, ktorého vrchol „sedí“ na samotnom kruhu.
Pozrime sa na rozdiel na obrázkoch:
Hovoria tiež inak:
Je tu jeden háklivý bod. Čo je „zodpovedajúci“ alebo „vlastný“ stredový uhol? Len uhol s vrcholom v strede kruhu a končí na koncoch oblúka? Takýmto spôsobom určite nie. Pozri sa na obrázok.
Jeden z nich však nevyzerá ani ako roh – je väčší. Ale v trojuholníku nemôže byť viac uhlov, ale v kruhu - môže to byť! Takže: menší oblúk AB zodpovedá menšiemu uhlu (oranžový) a väčší väčší väčšiemu. Len ako, nie?
Vzťah medzi vpísanými a stredovými uhlami
Pamätajte na veľmi dôležité vyhlásenie:
V učebniciach radi píšu rovnakú skutočnosť, ako je táto:
Pravda, so stredovým uhlom je formulácia jednoduchšia?
Ale napriek tomu nájdime zhodu medzi týmito dvoma formuláciami a zároveň sa naučme, ako nájsť „zodpovedajúci“ stredový uhol a oblúk, o ktorý sa „opiera“ vpísaný uhol na číslach.
Pozrite, tu je kruh a vpísaný uhol:
Kde je jeho „zodpovedajúci“ stredový uhol?
Pozrime sa znova:
Aké je pravidlo?
Ale! V tomto prípade je dôležité, aby vpísané a stredové uhly "vyzerali" na rovnakej strane oblúka. Napríklad:
Napodiv, modrá! Pretože oblúk je dlhý, dlhší ako polovica kruhu! Takže sa nikdy nenechajte zmiasť!
Aký dôsledok možno vyvodiť z „polovice“ vpísaného uhla?
A napríklad tu:
Uhol na základe priemeru
Všimli ste si už, že matematici veľmi radi hovoria o tom istom rôznymi slovami? Prečo je to pre nich? Vidíte, hoci jazyk matematiky je formálny, je živý, a preto, ako v bežnom jazyku, zakaždým, keď to chcete povedať pohodlnejšie. No, už sme videli, čo je „uhol spočíva na oblúku“. A predstavte si, ten istý obrázok sa nazýva „uhol spočíva na tetive“. Na čom? Áno, samozrejme, na tej, ktorá ťahá tento oblúk!
Kedy je výhodnejšie spoľahnúť sa na akord ako na oblúk?
No, najmä, keď táto struna je priemer.
Na takúto situáciu existuje úžasne jednoduché, krásne a užitočné tvrdenie!
Pozri: tu je kruh, priemer a uhol, ktorý na ňom spočíva.
KRUH A ZAHRNUTÝ UHOL. STRUČNE O HLAVNOM
1. Základné pojmy.
3. Merania oblúkov a uhlov.
Radiánový uhol je stredový uhol, ktorého dĺžka oblúka sa rovná polomeru kružnice.
Ide o číslo vyjadrujúce pomer dĺžky polkruhu k polomeru.
Obvod polomeru sa rovná.
4. Pomer medzi hodnotami vpísaných a stredových uhlov.
No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, potom ste veľmi cool.
Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak ste dočítali až do konca, tak ste v tých 5%!
Teraz to najdôležitejšie.
Prišli ste na teóriu na túto tému. A opakujem, je to ... je to jednoducho super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.
Problém je, že to nemusí stačiť...
Prečo?
Za úspešné zloženie skúšky, za prijatie do ústavu s rozpočtom a HLAVNE na celý život.
Nebudem ťa o ničom presviedčať, poviem len jedno...
Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.
Ale to nie je to hlavné.
Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...
Ale zamysli sa nad sebou...
Čo je potrebné na to, aby ste boli na skúške lepší ako ostatní a v konečnom dôsledku ... šťastnejší?
VYPLŇTE SI RUKU, RIEŠTE PROBLÉMY V TEJTO TÉME.
Na skúške sa vás nebudú pýtať na teóriu.
Budete potrebovať riešiť problémy včas.
A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo ju jednoducho neurobíte včas.
Je to ako v športe – treba opakovať veľakrát, aby ste vyhrali.
Nájdite zbierku kdekoľvek chcete nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!
Môžete využiť naše úlohy (nie je potrebné) a určite ich odporúčame.
Aby ste mohli zvládnuť naše úlohy, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.
Ako? Sú dve možnosti:
- Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám v tomto článku -
- Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch tutoriálu - Kúpte si učebnicu - 899 rubľov
Áno, takýchto článkov máme v učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.
Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný počas celej životnosti stránky.
Na záver...
Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neprestávajte s teóriou.
„Rozumiem“ a „Viem, ako to vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.
Nájdite problémy a riešte ich!
Poďme najprv pochopiť rozdiel medzi kruhom a kruhom. Aby sme videli tento rozdiel, stačí zvážiť, aké sú obe čísla. Toto je nekonečný počet bodov v rovine, ktoré sa nachádzajú v rovnakej vzdialenosti od jedného centrálneho bodu. Ale ak kruh pozostáva aj z vnútorného priestoru, potom do kruhu nepatrí. Ukazuje sa, že kruh je kruh, ktorý ho ohraničuje (o-kruh (g)ness) a nespočetný počet bodov, ktoré sú vo vnútri kruhu.
Pre ľubovoľný bod L ležiaci na kružnici platí rovnosť OL=R. (Dĺžka segmentu OL sa rovná polomeru kruhu).
Úsečka, ktorá spája dva body na kruhu je akord.
Tetiva prechádzajúca priamo stredom kruhu je priemer tento kruh (D). Priemer možno vypočítať pomocou vzorca: D=2R
Obvod vypočítané podľa vzorca: C=2\pi R
Oblasť kruhu: S=\pi R^(2)
oblúk kruhu nazývaná tá jej časť, ktorá sa nachádza medzi dvoma jej bodmi. Tieto dva body definujú dva oblúky kruhu. Akord CD spája dva oblúky: CMD a CLD. Rovnaké akordy pretínajú rovnaké oblúky.
Centrálny roh je uhol medzi dvoma polomermi.
dĺžka oblúka možno nájsť pomocou vzorca:
- Použitie stupňov: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Pomocou radiánovej miery: CD = \alpha R
Priemer, ktorý je kolmý na tetivu, pretína tetivu a oblúky, ktoré preklenuje.
Ak sa tetivy AB a CD kružnice pretínajú v bode N, potom sú produkty segmentov tetiv oddelených bodom N navzájom rovnaké.
AN\cdot NB = CN \cdot ND
Tangenta ku kruhu
Tangenta ku kruhu Je zvykom nazývať priamku, ktorá má jeden spoločný bod, s kružnicou.
Ak má priamka dva spoločné body, nazýva sa to sekanta.
Ak nakreslíte polomer v bode dotyku, bude kolmý na dotyčnicu ku kružnici.
Z tohto bodu nakreslíme dve dotyčnice k nášmu kruhu. Ukazuje sa, že segmenty dotyčníc sa budú navzájom rovnať a stred kruhu bude v tomto bode umiestnený na osi uhla s vrcholom.
AC=CB
Teraz z nášho bodu nakreslíme ku kružnici dotyčnicu a sečnicu. Dostaneme, že druhá mocnina dĺžky dotyčnicového segmentu sa bude rovnať súčinu celého sečného segmentu jeho vonkajšou časťou.
AC^(2) = CD \cdot BC
Môžeme dospieť k záveru: súčin celočíselného segmentu prvého sekantu jeho vonkajšou časťou sa rovná súčinu celočíselného segmentu druhého sekantu jeho vonkajšou časťou.
AC \cdot BC = EC \cdot DC
Uhly v kruhu
Miery stupňov stredového uhla a oblúka, na ktorom spočíva, sú rovnaké.
\uhol COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)
Vpísaný uhol je uhol, ktorého vrchol je na kruhu a ktorého strany obsahujú tetivy.
Môžete to vypočítať tak, že poznáte veľkosť oblúka, pretože sa rovná polovici tohto oblúka.
\uhol AOB = 2 \uhol ADB
Na základe priemeru, vpísaného uhla, rovné.
\uhol CBD = \uhol CED = \uhol CAD = 90^ (\circ)
Vpísané uhly, ktoré sa opierajú o rovnaký oblúk, sú identické.
Vpísané uhly založené na tej istej tetive sú rovnaké alebo ich súčet sa rovná 180^ (\circ) .
\uhol ADB + \uhol AKB = 180^ (\circ)
\uhol ADB = \uhol AEB = \uhol AFB
Na tej istej kružnici sú vrcholy trojuholníkov s rovnakými uhlami a danou základňou.
Uhol s vrcholom vo vnútri kruhu a umiestnený medzi dvoma tetivami je totožný s polovicou súčtu uhlových veľkostí oblúkov kruhu, ktoré sú vo vnútri daného a vertikálnych uhlov.
\uhol DMC = \uhol ADM + \uhol DAM = \frac(1)(2) \vľavo (\cup DmC + \cup AlB \right)
Uhol s vrcholom mimo kruhu a umiestneným medzi dvoma sečnami je identický s polovicou rozdielu uhlových veľkostí oblúkov kruhu, ktoré sú vo vnútri uhla.
\uhol M = \uhol CBD - \uhol ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)
Vpísaný kruh
Vpísaný kruh je kruh dotýkajúci sa strán mnohouholníka.
V bode, kde sa pretínajú osi uhlov mnohouholníka, sa nachádza jeho stred.
Kruh nemusí byť vpísaný do každého mnohouholníka.
Oblasť mnohouholníka s vpísaným kruhom sa nachádza podľa vzorca:
S=pr,
p je semiperimeter mnohouholníka,
r je polomer vpísanej kružnice.
Z toho vyplýva, že polomer vpísanej kružnice je:
r = \frac(S)(p)
Súčty dĺžok protiľahlých strán budú rovnaké, ak je kružnica vpísaná do konvexného štvoruholníka. A naopak: kruh je vpísaný do konvexného štvoruholníka, ak sú súčty dĺžok protiľahlých strán v ňom rovnaké.
AB+DC=AD+BC
Do ktoréhokoľvek z trojuholníkov je možné vpísať kruh. Iba jeden jediný. V bode, kde sa pretínajú osy vnútorných uhlov obrazca, bude ležať stred tejto vpísanej kružnice.
Polomer vpísanej kružnice sa vypočíta podľa vzorca:
r = \frac(S)(p) ,
kde p = \frac(a + b + c)(2)
Opísaný kruh
Ak kružnica prechádza každým vrcholom mnohouholníka, potom sa takáto kružnica nazýva ohraničené okolo mnohouholníka.
Stred opísanej kružnice bude v priesečníku kolmých osi strán tohto obrázku.
Polomer možno nájsť jeho výpočtom ako polomer kružnice opísanej okolo trojuholníka definovaného akýmikoľvek 3 vrcholmi mnohouholníka.
Platí nasledujúca podmienka: kruh možno opísať okolo štvoruholníka iba vtedy, ak súčet jeho opačných uhlov je rovný 180^( \circ) .
\uhol A + \uhol C = \uhol B + \uhol D = 180^ (\circ)
V blízkosti akéhokoľvek trojuholníka je možné opísať kruh, a to len jeden. Stred takejto kružnice bude umiestnený v bode, kde sa pretínajú kolmice strán trojuholníka.
Polomer opísanej kružnice možno vypočítať podľa vzorcov:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4S)
a, b, c sú dĺžky strán trojuholníka,
S je plocha trojuholníka.
Ptolemaiova veta
Nakoniec zvážte Ptolemaiovu vetu.
Ptolemaiova veta hovorí, že súčin uhlopriečok je totožný so súčtom súčinov protiľahlých strán vpísaného štvoruholníka.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)
Časť obrazca, ktorá tvorí kruh, ktorého body sú rovnako vzdialené, sa nazýva oblúk. Ak z bodu stredu kruhu nakreslíme lúče do bodov zhodných s koncami oblúka, vytvorí sa jeho stredový uhol.
Určenie dĺžky oblúka
Vyrába sa podľa nasledujúceho vzorca:
kde L je požadovaná dĺžka oblúka, π = 3,14, r je polomer kruhu, α je stredový uhol.
| L | 3,14 × 10 × 85 |
14,82 |
Dĺžka oblúka kruhu je 14,82 cm.
V elementárnej geometrii sa oblúk chápe ako podmnožina kružnice umiestnenej medzi dvoma bodmi, ktoré sa na nej nachádzajú. V praxi riešte problémy definícia jej dĺžka inžinieri a architekti často musia, pretože tento geometrický prvok je rozšírený v širokej škále dizajnov.
Snáď prví, ktorí čelili tejto úlohe, boli starovekí architekti, ktorí tak či onak museli určiť tento parameter pre stavbu klenieb, hojne využívaných na preklenutie medzier medzi podperami v kruhových, polygonálnych či eliptických stavbách. Ak sa pozorne pozriete na majstrovské diela starovekej gréckej, starorímskej a najmä arabskej architektúry, ktoré prežili dodnes, všimnete si, že oblúky a klenby sú v ich dizajnoch mimoriadne bežné. Výtvory moderných architektov na ne nie sú až také bohaté, no tieto geometrické prvky sú v nich, samozrejme, prítomné.
Dĺžka rôzne oblúky je potrebné počítať pri výstavbe ciest a železníc, ako aj autodrómov a v mnohých prípadoch bezpečnosť dopravy do značnej miery závisí od správnosti a presnosti výpočtov. Faktom je, že mnohé zákruty diaľnic sú z hľadiska geometrie presne oblúkové a na dopravu pozdĺž nich pôsobia rôzne fyzikálne sily. Parametre ich výslednice sú do značnej miery určené dĺžkou oblúka, ako aj jeho stredovým uhlom a polomerom.
Konštruktéri strojov a mechanizmov musia vypočítať dĺžky rôznych oblúkov pre správne a presné rozloženie komponentov rôznych jednotiek. V tomto prípade sú chyby vo výpočtoch spojené so skutočnosťou, že dôležité a kritické časti budú navzájom nesprávne interagovať a mechanizmus jednoducho nebude schopný fungovať tak, ako plánujú jeho tvorcovia. Príklady dizajnov bohatých na geometrické prvky, ako sú oblúky, zahŕňajú spaľovacie motory, prevodovky, drevo a kovoobrábacie zariadenia, časti karosérie osobných a nákladných automobilov atď.
oblúky pomerne rozšírený v medicíne, najmä v zubnom lekárstve. Používajú sa napríklad na korekciu maloklúzie. Korekčné prvky, nazývané rovnátka (alebo konzolové systémy) a majúce príslušný tvar, sú vyrobené zo špeciálnych zliatin a sú inštalované tak, aby menili polohu zubov. Je samozrejmé, že na to, aby bola liečba úspešná, musia byť tieto oblúky veľmi presne vypočítané. Okrem toho sú oblúky veľmi široko používané v traumatológii a možno najvýraznejším príkladom toho je slávny Ilizarovov prístroj, ktorý vynašiel ruský lekár v roku 1951 a ktorý sa dodnes mimoriadne úspešne používa. Jeho neoddeliteľnou súčasťou sú kovové oblúky, vybavené otvormi, cez ktoré sú navlečené špeciálne pletacie ihlice a ktoré sú hlavnými oporami celej konštrukcie.
Súvisiace články
