Projektionspunkter vars sammanträffande kallas. Teckningslektion "konstruera projektioner av punkter på ytan av ett föremål"

Mål:

• Studera reglerna för att konstruera projektioner av punkter på ytan av ett objekt och läsa ritningar.
• Utveckla rumsligt tänkande, förmågan att analysera ett objekts geometriska form.
• Att odla flit, förmåga att samarbeta i grupparbete och intresse för ämnet.

UNDER KLASSERNA

STEG I. MOTIVERING AV LÄRAAKTIVITETER.

STEG II. FORMNING AV KUNSKAP, FÖRMÅGA OCH FÄRDIGHETER.

HÄLSESPARANDE PAUSE. REFLEKTION (MOOD)

STEG III. ENSKILT ARBETE.

STEG I. MOTIVERING AV LÄRAAKTIVITETER

1) Lärare: Kolla din arbetsplats, är allt på plats? Är alla redo att gå?

TA EN DJUP ANDAS, HÅLL DIN ANDAS NÄR DU ANDAS UT, ANDAS UT.

Bestäm ditt humör i början av lektionen enligt diagrammet (det här diagrammet finns på allas skrivbord)

JAG ÖNSKAR DIG LYCKA TILL.

2)Lärare: Praktiskt arbete på ämnet " Projektioner av hörn, kanter, ansikten” visade att det finns killar som gör misstag när de projicerar. De är förvirrade vilken av två sammanfallande punkter i ritningen som är en synlig vertex och vilken som är en osynlig; när kanten är parallell med planet och när den är vinkelrät. Det är samma sak med kanter.

För att förhindra upprepning av misstag, slutför de nödvändiga uppgifterna med hjälp av rådgivningskortet och korrigera fel i praktiskt arbete (för hand). Och när du arbetar, kom ihåg:

"ALLA KAN GÖRA ETT MISSTAG, ENDAST EN GALEN STÅR MED SINA FEL."

Och de som behärskar ämnet väl kommer att arbeta i grupper med kreativa uppgifter (se. Bilaga 1 ).

STEG II. FORMNING AV KUNSKAP, FÖRMÅGA OCH FÄRDIGHETER

1)Lärare: I produktionen finns det många delar som är fästa vid varandra på ett visst sätt.
Till exempel:
Skrivbordsskyddet är fäst på de vertikala stolparna. Var uppmärksam på bordet du står vid, hur och med vad är locket och ställen fästa vid varandra?

Svar: Bult.

Lärare: Vad behövs för en bult?

Svar: Hål.

Lärare: Verkligen. Och för att göra ett hål måste du känna till dess plats på produkten. När man gör ett bord kan en snickare inte kontakta kunden varje gång. Så vad behöver du förse en snickare med?

Svar: En teckning.

Lärare: Teckning!? Vad kallar vi en ritning?

Svar: En ritning är en bild av ett objekt som använder rektangulära projektioner i ett projektionsförhållande. Med hjälp av ritningen kan du föreställa dig produktens geometriska form och design.

Lärare: Vi har slutfört rektangulära projektioner, vad händer härnäst? Kommer vi att kunna bestämma platsen för hålen från en projektion? Vad mer behöver vi veta? Vad ska man lära sig?

Svar: Konstruera punkter. Hitta projektionerna av dessa punkter i alla vyer.

Lärare: Bra gjort! Detta är målet med vår lektion och ämne: Konstruktion av projektioner av punkter på ytan av ett objekt. Skriv ämnet för lektionen i din anteckningsbok.
Du och jag vet att varje punkt eller segment på bilden av ett objekt är en projektion av en vertex, kant, ansikte, dvs. varje vy är en bild inte från en sida (huvudvy, toppvy, vänstervy), utan hela objektet.
För att korrekt hitta projektionerna av enskilda punkter som ligger på ansiktena, måste du först hitta projektionerna för detta ansikte och sedan, med hjälp av anslutningslinjer, hitta punkternas projektioner.

(Vi tittar på ritningen på tavlan, arbetar i en anteckningsbok, där 3 projektioner av samma del görs hemma).

– Öppnade anteckningsboken med den färdiga ritningen (Förklaring av konstruktionen av punkter på ytan av ett föremål med vägledande frågor på tavlan, och eleverna fixar det i sina anteckningsböcker.)

Lärare: Tänk på poängen I. Vilket plan är ytan på denna punkt parallell med?

Svar: Kanten är parallell med frontplanet.

Lärare: Vi definierar projektionen av en punkt b' på frontalprojektionen. Svep nedåt från punkten b' vertikal kommunikationslinje till den horisontella projektionen. Var kommer den horisontella projektionen av punkten att placeras? I?

Svar: I korsningen med den horisontella projektionen av ansiktet som projicerades in i kanten. Och den är placerad längst ner på projektionen (vy).

Lärare: Profilprojektion av en punkt b'' , var kommer den att ligga? Hur ska vi hitta henne?

Svar: I skärningspunkten mellan en horisontell kommunikationslinje från b' med en vertikal kant till höger. Denna kant är projektionen av ansiktet med spetsen I.

DE SOM VILL KONSTRUERA NÄSTA PROJEKTION AV POKEN KALLAS TILL STYRELSEN.

Lärare: Punktprojektioner A finns också med hjälp av kommunikationslinjer. Vilket plan är ansiktet med punkten parallell med? A?

Svar: Kanten är parallell med profilplanet. Vi definierar en punkt på profilprojektionen A'' .

Lärare: I vilken projektion projicerades ansiktet in i kanten?

Svar: På framsidan och horisontellt. Låt oss rita en horisontell anslutningslinje tills den skär den vertikala kanten till vänster på frontprojektionen, vi får en punkt A' .

Lärare: Hur man hittar projektionen av en punkt A på en horisontell projektion? När allt kommer omkring, kommunikationslinjer från projektion av punkter A' Och A'' skär inte projektionen av ansiktet (kanten) på den horisontella projektionen till vänster. Vad kan hjälpa oss?

Svar: Du kan använda en konstant rak linje (den bestämmer platsen för vyn till vänster) från A'' rita en vertikal kommunikationslinje tills den skär en konstant rät linje. En horisontell anslutningslinje dras från skärningspunkten tills den skär den vertikala kanten till vänster. (Detta är ansiktet med punkt A) och betecknar projektionen med en punkt A .

2) Lärare: Alla har ett uppgiftskort på bordet med kalkerpapper på. Undersök ritningen, försök nu på egen hand, utan att rita om projektionerna, för att hitta de givna projektionerna av punkter i ritningen.

– Hitta bilden i läroboken, sidan 76. 93. Testa dig själv. De som gjorde det rätt – fick "5"; ett misstag - ''4''; två - ''3''.

(Betyg ges av eleverna själva på självkontrollbladet).

– Samla in kort för verifiering.

3)Jobba i grupper: Tidsbegränsad: 4 min. + 2 min. kontroller. (Två bänkar med elever kombineras, och en ledare väljs inom gruppen).

Varje grupp får uppgifter i 3 nivåer. Eleverna väljer uppgifter efter nivå (som de vill). Lös problem med att konstruera punkter. Diskutera bildandet under ledning av ledaren. Sedan visas rätt svar på tavlan med hjälp av en overheadprojektor. Alla kontrollerar att projektionen av punkterna är korrekt gjord. Med hjälp av gruppledaren sätts betyg på inlämningsuppgifter och på självkontrollblad (se. Bilaga 2 Och Bilaga 3 ).

HÄLSESPARANDE PAUSE. REFLEXION

"Faraos ställning"– sitt på kanten av en stol, räta ut ryggen, böj armarna vid armbågarna, korsa benen och placera dem på tårna. Andas in, spänn alla kroppens muskler samtidigt som du håller andan, andas ut. Gör det 2-3 gånger. Slut dina ögon hårt tills de når stjärnorna och öppna dem. Markera ditt humör.

STEG III. PRAKTISK DEL. (Enskilda uppdrag)

Det finns uppgiftskort att välja mellan på olika nivåer. Eleverna väljer sitt eget alternativ efter sina förmågor. Hitta projektionerna av punkter på objektets yta. Arbeten lämnas in och betygsätts till nästa lektion. (Centimeter. Bilaga 4 , Bilaga 5 , Bilaga 6 ).

IV STAGE. SLUTLIG

1) Hemläxa. (Instruktion). Utförs av nivåer:

B – förståelse, vid "3". Övning 1 Fig. 94a s. 77 – enligt uppgiften i läroboken: fyll i de projektioner som saknas av punkter på dessa projektioner.

B – ansökan, vid "4". Övning 1 Fig. 94 a, b. slutför de saknade projektionerna och markera hörnen på den visuella bilden i 94a och 94b.

A – analys, "5". (Ökad svårighet.) Ex. 4 Fig.97 – konstruera de saknade projektionerna av punkterna och märk dem med bokstäver. Det finns ingen visuell bild.

2)Reflexiv analys.

1. Bestäm humöret i slutet av lektionen, markera det med valfritt tecken på självkontrollbladet.
2. Vad lärde du dig för nytt i klassen idag?
3. Vilken arbetsform är mest effektiv för dig: grupp, individ och skulle du vilja att det upprepas i nästa lektion?
4. Samla självkontrollblad.

3)"Den misstagna läraren"

Lärare: Du har lärt dig att konstruera projektioner av hörn, kanter, ytor och punkter på ytan av ett föremål, enligt alla konstruktionsregler. Men de gav dig en ritning som innehåller fel. Prova dig nu som lärare. Hitta felen själv, om du hittar alla 8–6 fel, då är poängen "5"; 5–4 fel – “4”, 3 fel – “3”.

Svar:

Projektionsapparat

Projektionsapparaten (fig. 1) inkluderar tre projektionsplan:

π 1 – horisontellt projektionsplan;

π 2 – frontalplan av projektioner;

π 3– profilprojektionsplan .

Projektionsplanen är inbördes vinkelräta ( π 1^ π 2^ π 3), och deras skärningslinjer bildar axlarna:

Skärning av plan π 1 Och π 2 bilda en axel 0X (π 1∩ π 2 = 0X);

Skärning av plan π 1 Och π 3 bilda en axel 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);

Skärning av plan π 2 Och π 3 bilda en axel 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

Skärningspunkten för axlarna (OX∩OY∩OZ=0) anses vara startpunkten (punkt 0).

Eftersom planen och axlarna är inbördes vinkelräta liknar en sådan apparat det kartesiska koordinatsystemet.

Projektionsplanen delar upp hela rymden i åtta oktanter (i fig. 1 anges de med romerska siffror). Projektionsplan anses vara ogenomskinliga och betraktaren är alltid med jag-th oktant.

Ortogonal projektion med projektionscentra S 1, S 2 Och S 3 för horisontella, frontala respektive profilprojektionsplan.

A.

Från projektionscenter S 1, S 2 Och S 3 utskjutande strålar kommer ut l 1, l 2 Och l 3 A

- A 1 A;

- A 2– frontalprojektion av punkten A;

- A 3– profilprojektion av en punkt A.

En punkt i rymden kännetecknas av sina koordinater A(x,y,z). Poäng Yxa, A y Och A z respektive på axlarna 0X, 0Y Och 0Z visa koordinater x, y Och z poäng A. I fig. 1 ger alla nödvändiga noteringar och visar sambanden mellan punkten A rymden, dess projektioner och koordinater.

Punktdiagram

För att få en plot av en poäng A(fig. 2), i projektionsapparaten (fig. 1) planet π 1 A 1 0X π 2. Sedan planet π 3 med punktprojektion A 3, rotera moturs runt axeln 0Z, tills den är i linje med planet π 2. Riktning av planets rotationer π 2 Och π 3 visas i fig. 1 pilar. Samtidigt rakt A 1 A x Och A 2 A x 0X vinkelrät A 1 A 2 och de raka linjerna A 2 A x Och A 3 A x kommer att placeras på en gemensam axel 0Z vinkelrät A 2 A 3. I det följande kommer vi att kalla dessa linjer respektive vertikal Och horisontell kommunikationslinjer.

Det bör noteras att när man flyttar från projektionsapparaten till diagrammet försvinner det projicerade objektet, men all information om dess form, geometriska dimensioner och dess placering i rymden bevaras.

A(x A , y A , z Ax A, y A Och zA i följande sekvens (fig. 2). Denna sekvens kallas metoden för att konstruera ett punktdiagram.

1. Axlar ritas ortogonalt OX, OY Och UNS.

2. På axeln OXE xA poäng A och få punktens position Yxa.

3. Genom poängen Yxa vinkelrätt mot axeln OXE

Yxa längs axeln OY det numeriska värdet för koordinaten plottas y A poäng A A 1 på diagrammet.

Yxa längs axeln UNS det numeriska värdet för koordinaten plottas zA poäng A A 2 på diagrammet.

6. Genom poängen A 2 parallellt med axeln OXE en horisontell kommunikationslinje dras. Skärningspunkten mellan denna linje och axeln UNS kommer att ge punktens position A z.

7. På en horisontell kommunikationslinje från en punkt A z längs axeln OY det numeriska värdet för koordinaten plottas y A poäng A och positionen för profilprojektionen av punkten bestäms A 3 på diagrammet.

Karakteristika för poäng

Alla punkter i rymden är indelade i punkter med särskilda och allmänna positioner.

Punkter av särskild position. Punkterna som hör till projektionsapparaten kallas punkter med speciell position. Dessa inkluderar punkter som hör till projektionsplan, axlar, ursprung och projektionscentra. De karakteristiska egenskaperna hos särskilda positionspunkter är:

Metamatematisk - ett, två eller alla numeriska koordinatvärden är lika med noll och (eller) oändlighet;

På ett diagram är två eller alla projektioner av en punkt placerade på axlarna och (eller) placerade i oändligheten.

Punkter av allmän ståndpunkt. Punkter med allmän position inkluderar punkter som inte hör till projektionsapparaten. Till exempel, prick A i fig. 1 och 2.

I det allmänna fallet karakteriserar de numeriska värdena för koordinaterna för en punkt dess avstånd från projektionsplanet: koordinat X från planet π 3; samordna y från planet π 2; samordna z från planet π 1. Det bör noteras att tecknen för koordinaternas numeriska värden indikerar riktningen i vilken punkten rör sig bort från projektionsplanen. Beroende på kombinationen av tecken för de numeriska värdena för koordinaterna för en punkt, beror det på vilken oktan den är i.

Tvåbildsmetod

I praktiken används, förutom den fullständiga projektionsmetoden, tvåbildsmetoden. Det skiljer sig genom att denna metod eliminerar den tredje projektionen av objektet. För att erhålla projektionsapparaten med tvåbildsmetoden, exkluderas profilprojektionsplanet med dess projektionscentrum från hela projektionsapparaten (fig. 3). Dessutom på axeln 0X en referenspunkt tilldelas (punkt 0 ) och från den vinkelrät mot axeln 0X i projektionsplan π 1 Och π 2 rita yxor 0Y Och 0Z respektive.

I denna enhet är hela utrymmet uppdelat i fyra kvadranter. I fig. 3 anges de med romerska siffror.

Projektionsplan anses vara ogenomskinliga och betraktaren är alltid med jag-te kvadranten.

Låt oss överväga enhetens funktion med exemplet att projicera en punkt A.

Från projektionscenter S 1 Och S 2 utskjutande strålar kommer ut l 1 Och l 2. Dessa strålar passerar genom punkten A och korsar projektionsplanen från dess projektioner:

- A 1– horisontell projektion av en punkt A;

- A 2– frontalprojektion av punkten A.

För att få en plot av en poäng A(fig. 4), i projektionsapparaten (fig. 3) planet π 1 med den resulterande projektionen av punkten A 1 rotera medurs runt en axel 0X, tills den är i linje med planet π 2. Riktning för planets rotation π 1 visas i fig. 3 pilar. I det här fallet, på diagrammet för en punkt som erhålls med metoden för två bilder, återstår bara en vertikal kommunikationslinje A 1 A 2.

I praktiken rita en punkt A(x A , y A , z A) utförs enligt de numeriska värdena för dess koordinater x A, y A Och zA i följande sekvens (fig. 4).

1. Axeln är ritad OXE och en referenspunkt tilldelas (punkt 0 ).

2. På axeln OXE det numeriska värdet för koordinaten plottas xA poäng A och få punktens position Yxa.

3. Genom poängen Yxa vinkelrätt mot axeln OXE en vertikal kommunikationslinje dras.

4. På en vertikal kommunikationslinje från en punkt Yxa längs axeln OY det numeriska värdet för koordinaten plottas y A poäng A och läget för den horisontella projektionen av punkten bestäms A 1 OYär inte ritad, men det antas att dess positiva värden ligger under axeln OXE, och negativa är högre.

5. På en vertikal kommunikationslinje från en punkt Yxa längs axeln UNS det numeriska värdet för koordinaten plottas zA poäng A och läget för den frontala projektionen av punkten bestäms A 2 på diagrammet. Det bör noteras att i diagrammet axeln UNSär inte ritad, men det antas att dess positiva värden är placerade ovanför axeln OXE, och negativa är lägre.

Tävlande poäng

Punkter på samma utskjutande stråle kallas konkurrerande punkter. I riktning mot den utskjutande strålen har de en gemensam projektion för sig, d.v.s. deras projektioner är identiska. Ett karakteristiskt drag för konkurrerande punkter på diagrammet är identisk sammanträffande av deras projektioner med samma namn. Konkurrensen ligger i synligheten av dessa projektioner i förhållande till observatören. Med andra ord, i rymden för en observatör är en av punkterna synlig, den andra inte. Och följaktligen på ritningen: en av projektionerna av de konkurrerande punkterna är synliga och projektionen av den andra punkten är osynlig.

På den rumsliga projektionsmodellen (Fig. 5) från två konkurrerande punkter A Och I synlig punkt A enligt två ömsesidigt kompletterande egenskaper. Av kedjan att döma S 1 →A→B punkt A närmare betraktaren än punkten I. Och följaktligen längre från projektionsplanet π 1(de där. zA > zA).

Ris. 5 Fig.6

Om själva punkten är synlig A, då är dess projektion också synlig A 1. I förhållande till att projektionen sammanfaller med den B 1. För tydlighetens skull och, om nödvändigt, på diagrammet, är osynliga projektioner av punkter vanligtvis omgivna inom parentes.

Låt oss ta bort punkterna på modellen A Och I. Deras sammanfallande projektioner på planet kommer att finnas kvar π 1 och separata projektioner – på π 2. Låt oss villkorligt lämna den frontala projektionen av observatören (⇩) placerad i mitten av projektionen S 1. Sedan längs kedjan av bilder ⇩ → A 2 → B 2 det kommer att gå att bedöma zA > z B och att själva punkten är synlig A och dess projektion A 1.

Låt oss på samma sätt överväga konkurrerande poäng MED Och D i utseende relativt π2-planet. Eftersom den gemensamma utskjutande strålen av dessa punkter l 2 parallellt med axeln 0Y, då ett tecken på synligheten av konkurrerande poäng MED Och D bestäms av ojämlikhet y C > y D. Därför den punkten D stängd av en prick MED och följaktligen projiceringen av punkten D 2 kommer att omfattas av projektionen av punkten C 2 på ytan π 2.

Låt oss överväga hur synligheten för konkurrerande punkter i en komplex ritning bestäms (fig. 6).

Att döma av de sammanträffande prognoserna A 1≡I 1 själva punkterna A Och Iär på en utskjutande stråle parallell med axeln 0Z. Detta gör att koordinaterna kan jämföras zA Och z B dessa punkter. För att göra detta använder vi det frontala projektionsplanet med separata bilder av punkterna. I detta fall zA > z B. Av detta följer att projektionen är synlig A 1.

Poäng C Och D i den komplexa ritningen som betraktas (fig. 6) är också på samma utskjutande stråle, men endast parallella med axeln 0Y. Därför från jämförelse y C > y D vi drar slutsatsen att projektion C 2 är synlig.

Allmän regel. Synlighet för matchande projektioner av konkurrerande punkter bestäms genom att jämföra koordinaterna för dessa punkter i riktning mot en gemensam projektionsstråle. Projektionen av punkten vars koordinat är större är synlig. I detta fall utförs jämförelse av koordinater på projektionsplanet med separata bilder av punkter.

Positionen för en punkt i rymden kan specificeras av dess två ortogonala projektioner, till exempel horisontell och frontal, frontal och profil. Kombinationen av två ortogonala projektioner låter dig ta reda på värdet av alla koordinater för en punkt, konstruera en tredje projektion och bestämma oktanten i vilken den är belägen. Låt oss titta på flera typiska problem från kursen i beskrivande geometri.

För en given komplex ritning av punkterna A och B är det nödvändigt:

Låt oss först bestämma koordinaterna för punkt A, som kan skrivas på formen A (x, y, z). Horisontell projektion av punkt A - punkt A", med koordinaterna x, y. Låt oss rita vinkelräta från punkt A" till x, y-axlarna och hitta A x, A y, respektive. X-koordinaten för punkt A är lika med längden på segmentet A x O med ett plustecken, eftersom A x ligger i området för positiva värden på x-axeln. Med hänsyn till ritningens skala finner vi x = 10. Y-koordinaten är lika med längden på segmentet A y O med ett minustecken, eftersom t. A y ligger i området för negativa värden av y-axel. Med hänsyn till ritningens skala, y = –30. Den frontala projektionen av punkt A - punkt A"" har koordinaterna x och z. Låt oss släppa vinkelrät från A"" till z-axeln och hitta A z. Z-koordinaten för punkt A är lika med längden på segmentet A z O med ett minustecken, eftersom A z ligger i området för negativa värden på z-axeln. Med hänsyn till ritningsskalan z = –10. Således är koordinaterna för punkt A (10, –30, –10).

Koordinaterna för punkt B kan skrivas som B (x, y, z). Betrakta den horisontella projektionen av punkt B - punkt B". Eftersom den ligger på x-axeln, då är B x = B" och koordinaten B y = 0. Abskissan x för punkt B är lika med längden på segmentet B x O med ett plustecken. Med hänsyn till ritningsskalan x = 30. Den frontala projektionen av punkt B är t. B˝ har koordinaterna x, z. Låt oss rita en vinkelrät från B"" till z-axeln och på så sätt hitta B z. Applikationen z för punkt B är lika med längden på segmentet B z O med ett minustecken, eftersom B z ligger i området för negativa värden på z-axeln. Med hänsyn till ritningens skala bestämmer vi värdet z = –20. Så koordinaterna för B är (30, 0, -20). Alla nödvändiga konstruktioner presenteras i figuren nedan.

Konstruktion av projektioner av punkter

Punkterna A och B i planet P 3 har följande koordinater: A""" (y, z); B""" (y, z). I detta fall ligger A"" och A""" på samma vinkelrät mot z-axeln, eftersom de har en gemensam z-koordinat. På samma sätt ligger B"" och B""" på en gemensam vinkelrät mot z-axeln. För att hitta profilprojektionen för punkt A plottar vi längs y-axeln värdet på motsvarande koordinat som hittades tidigare. I figuren görs detta med hjälp av en cirkulär båge med radien A y O. Efter detta ritar du en vinkelrät från A y tills den skär vinkelrät från punkt A"" till z-axeln. Skärningspunkten för dessa två perpendicularer bestämmer positionen för A""".

Punkt B""" ligger på z-axeln, eftersom y-ordinaten för denna punkt är noll. För att hitta profilprojektionen för punkt B i denna uppgift behöver du bara rita en vinkelrät från B"" till z-axeln. skärningspunkten för denna vinkelrät med z-axeln är B """.

Bestämma positionen för punkter i rymden

Om du visuellt föreställer den rumsliga layouten, sammansatt av projektionsplan P 1, P 2 och P 3, platsen för oktanterna, såväl som ordningen för att omvandla layouten till diagram, kan du direkt bestämma att punkt A är belägen i III-oktanten , och punkt B ligger i planet P 2.

Ett annat alternativ för att lösa detta problem är metoden för undantag. Till exempel är koordinaterna för punkt A (10, -30, -10). En positiv abskissa x låter oss bedöma att punkten ligger i de första fyra oktanterna. En negativ y-ordinat indikerar att punkten är i den andra eller tredje oktanten. Slutligen indikerar den negativa applikationen z att punkten A är belägen i den tredje oktanten. Följande tabell illustrerar tydligt resonemanget ovan.

Oktanter	Koordinattecken
	x	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Koordinater för punkt B (30, 0, -20). Eftersom ordinatan för punkt B är noll, ligger denna punkt i projektionsplanet P 2. Den positiva abskissan och den negativa applikationen av t. B indikerar att den är belägen på gränsen mellan den tredje och fjärde oktanten.

Konstruktion av en visuell bild av punkter i systemet av plan P 1, P 2, P 3

Med hjälp av en frontal isometrisk projektion byggde vi en rumslig layout av III-oktanten. Det är en rektangulär trihedron vars ytor är planen P 1, P 2, P 3 och vinkeln (-y0x) är 45 º. I detta system kommer segment längs x-, y- och z-axlarna att plottas i naturlig storlek utan förvrängning.

Låt oss börja konstruera en visuell bild av punkt A (10, -30, -10) med dess horisontella projektion A. Efter att ha plottat motsvarande koordinater längs abskissan och ordinataaxeln hittar vi punkterna A x och A y. Skärningen av vinkelräta linjer rekonstruerad från A x och A y respektive till x- och y-axlarna bestämmer positionen för punkt A". Om vi ​​lägger av från A" parallellt med z-axeln mot dess negativa värden segmentet AA", vars längd är 10, hittar vi positionen för punkt A.

Den visuella bilden av punkt B (30, 0, -20) är konstruerad på ett liknande sätt - i P2-planet längs x- och z-axlarna måste du plotta motsvarande koordinater. Skärningspunkten för perpendikulära rekonstruerade från B x och B z kommer att bestämma positionen för punkt B.

Låt oss betrakta projektionerna av punkter på två plan, för vilka vi tar två vinkelräta plan (fig. 4), som vi kommer att kalla horisontella frontalplan och plan. Skärningslinjen för dessa plan kallas projektionsaxeln. Vi projicerar en punkt A på de betraktade planen med hjälp av en planprojektion. För att göra detta är det nödvändigt att sänka vinkelräta Aa och A från en given punkt till de betraktade planen.

Projektionen på horisontalplanet kallas horisontell projektion poäng A, och projektionen A? på frontalplanet kallas frontal projektion.

Punkter som ska projiceras anges vanligtvis i beskrivande geometri med versaler A, B, C. Små bokstäver används för att indikera horisontella projektioner av punkter a, b, c... Frontala projektioner anges med små bokstäver med ett streck upptill a?, b?, c?…

Punkter betecknas också med romerska siffror I, II,... och för deras projektioner - med arabiska siffror 1, 2... och 1?, 2?...

Genom att vrida horisontalplanet 90° kan du få en ritning där båda planen är i samma plan (Fig. 5). Den här bilden heter diagram över en punkt.

Genom vinkelräta linjer Ahh Och Va? Låt oss rita ett plan (fig. 4). Det resulterande planet är vinkelrätt mot front- och horisontalplanen eftersom det innehåller vinkelräta mot dessa plan. Därför är detta plan vinkelrätt mot planens skärningslinje. Den resulterande räta linjen skär horisontalplanet i en rät linje ahh x, och frontalplanet – i en rak linje a?a X. Rakt aah och a?a x är vinkelräta mot planens skärningsaxel. Det är Aahaha?är en rektangel.

Vid kombination av horisontella och frontala projektionsplan A Och A? kommer att ligga på samma vinkelrät mot planens skärningsaxel, eftersom när horisontalplanet roterar, är segmentens vinkelräta ahh x och a?a x kommer inte att gå sönder.

Det får vi på projektionsdiagrammet A Och A? någon punkt A alltid ligga på samma vinkelrätt mot planens skärningsaxel.

Två projektioner a och A? av en viss punkt A kan entydigt bestämma dess position i rymden (fig. 4). Detta bekräftas av det faktum att när man konstruerar en vinkelrät från projektion a till horisontalplanet kommer den att passera genom punkt A. På samma sätt kommer en vinkelrät från projektion A? till frontalplanet kommer att passera genom punkten A, dvs punkt Aär samtidigt på två specifika räta linjer. Punkt A är deras skärningspunkt, det vill säga den är bestämd.

Tänk på en rektangel Aaa X A?(Fig. 5), för vilka följande påståenden är sanna:

1) Punktavstånd A från frontplanet är lika med avståndet för dess horisontella projektion a från planens skärningsaxel, dvs.

Va? = ahh X;

2) punktavstånd A från det horisontella planet av projektioner är lika med avståndet för dess frontala projektion A? från planens skärningsaxel, dvs.

Ahh = a?a X.

Med andra ord, även utan själva punkten på diagrammet, med endast dess två projektioner, kan du ta reda på på vilket avstånd en given punkt är belägen från vart och ett av projektionsplanen.

Skärningen mellan två projektionsplan delar upp rymden i fyra delar, som kallas i kvartal(Fig. 6).

Planens skärningsaxel delar det horisontella planet i två fjärdedelar - fram och bak, och frontplanet - i övre och nedre fjärdedelar. Den övre delen av frontalplanet och den främre delen av horisontalplanet betraktas som gränserna för den första fjärdedelen.

När diagrammet tas emot roterar horisontalplanet och är i linje med frontplanet (fig. 7). I detta fall kommer den främre delen av horisontalplanet att sammanfalla med den nedre delen av frontalplanet, och den bakre delen av horisontalplanet kommer att sammanfalla med den övre delen av frontalplanet.

Figurerna 8-11 visar punkterna A, B, C, D, belägna i olika delar av rymden. Punkt A ligger i första kvartalet, punkt B är i andra, punkt C är i tredje och punkt D är i fjärde.

När punkterna är belägna i den första eller fjärde fjärdedelen av dem horisontella projektionerär på den främre delen av horisontalplanet, och på diagrammet kommer de att ligga under planens skärningsaxel. När en punkt är belägen i andra eller tredje kvartalet kommer dess horisontella projektion att ligga på baksidan av horisontalplanet, och på diagrammet kommer den att vara placerad ovanför planens skärningsaxel.

Frontala projektioner punkter som är belägna i det första eller andra kvartalet kommer att ligga på den övre delen av frontplanet, och på diagrammet kommer de att vara placerade ovanför planens skärningsaxel. När en punkt är belägen i tredje eller fjärde kvartalet är dess frontalprojektion under planens skärningsaxel.

Oftast, i riktiga konstruktioner, placeras figuren i den första fjärdedelen av rymden.

I vissa speciella fall är punkten ( E) kan ligga på ett horisontellt plan (fig. 12). I detta fall kommer dess horisontella projektion e och själva punkten att sammanfalla. Den frontala projektionen av en sådan punkt kommer att placeras på skärningsaxeln mellan planen.

I fallet när punkten TILL ligger på frontplanet (fig. 13), dess horisontella projektion k ligger på skärningsaxeln mellan planen och fronten k? visar den faktiska platsen för denna punkt.

För sådana punkter är ett tecken på att den ligger på ett av projektionsplanen att en av dess projektioner är på planens skärningsaxel.

Om en punkt ligger på skärningsaxeln för projektionsplanen, sammanfaller den och båda dess projektioner.

När en punkt inte ligger på projektionsplanen kallas den allmän ståndpunkt. I det följande, om det inte finns några särskilda märken, är punkten i fråga en punkt i allmän ståndpunkt.

2. Brist på projektionsaxel

För att förklara hur man får projektioner av en punkt på en modell vinkelrätt mot projektionsplanet (fig. 4), är det nödvändigt att ta en bit tjockt papper i form av en långsträckt rektangel. Den måste böjas mellan projektionerna. Viklinjen kommer att representera skärningsaxeln mellan planen. Om efter detta det böjda pappersstycket rätas ut igen, får vi ett diagram som liknar det som visas i figuren.

Genom att kombinera två projektionsplan med ritningsplanet är det möjligt att inte visa viklinjen, d.v.s. att inte rita skärningsaxeln för planen på diagrammet.

När du ritar på ett diagram bör du alltid placera projektioner A Och A? punkt A på en vertikal linje (fig. 14), som är vinkelrät mot planens skärningsaxel. Därför, även om positionen för planens skärningsaxel förblir osäker, men dess riktning bestäms, kan planens skärningsaxel endast placeras på diagrammet vinkelrätt mot den räta linjen va?.

Om det inte finns någon projektionsaxel på diagrammet för en punkt, som i den första figuren 14a, kan du föreställa dig positionen för denna punkt i rymden. För att göra detta, rita var som helst vinkelrätt mot den raka linjen va? projektionsaxeln, som i den andra figuren (fig. 14) och böj ritningen längs denna axel. Om vi ​​återställer vinkelräta på punkter A Och A? innan de skär varandra kan du få en poäng A. Vid ändring av projektionsaxelns position erhålls olika positioner för punkten i förhållande till projektionsplanen, men osäkerheten i projektionsaxelns position påverkar inte den relativa positionen för flera punkter eller figurer i rymden.

3. Projektioner av en punkt på tre projektionsplan

Låt oss överväga profilplanet för projektioner. Projektioner på två vinkelräta plan bestämmer vanligtvis en figurs position och gör det möjligt att ta reda på dess verkliga storlek och form. Men det finns tillfällen då två projektioner inte räcker. Sedan används konstruktionen av den tredje projektionen.

Det tredje projektionsplanet är ritat så att det är vinkelrätt mot båda projektionsplanen samtidigt (fig. 15). Det tredje planet brukar kallas profil.

I sådana konstruktioner kallas den gemensamma räta linjen för horisontal- och frontplanet axel X , den gemensamma räta linjen för horisontal- och profilplanen – axel på , och den gemensamma räta linjen för front- och profilplanen är axel z . Punkt HANDLA OM, som tillhör alla tre planen, kallas ursprungspunkten.

Figur 15a visar punkten A och tre av dess projektioner. Projicering på profilplanet ( A??) kallas profilprojektion och beteckna A??.

För att få ett diagram över punkt A, som består av tre projektioner a, a, a, är det nödvändigt att skära den trihedron som bildas av alla plan längs y-axeln (fig. 15b) och kombinera alla dessa plan med planet för frontprojektionen. Det horisontella planet måste vridas runt axeln X, och profilplanet är omkring axeln z i den riktning som indikeras av pilen i figur 15.

Figur 16 visar läget för utsprången va, va? Och A?? poäng A, erhålls genom att kombinera alla tre plan med ritningsplanet.

Som ett resultat av snittet visas y-axeln på två olika ställen i diagrammet. På ett horisontellt plan (fig. 16) intar den en vertikal position (vinkelrätt mot axeln) X), och på profilplanet – horisontellt (vinkelrätt mot axeln z).

Det finns tre projektioner i figur 16 va, va? Och A?? Punkterna A har en strikt definierad position på diagrammet och är föremål för entydiga villkor:

A Och A? ska alltid placeras på samma vertikala linje, vinkelrätt mot axeln X;

A? Och A?? ska alltid placeras på samma horisontella räta linje, vinkelrät mot axeln z;

3) när den utförs genom en horisontell projektion och en horisontell rät linje, och genom en profilprojektion A??– en vertikal rät linje, de konstruerade räta linjerna kommer nödvändigtvis att skära på bisektrisen av vinkeln mellan projektionsaxlarna, eftersom figuren Oa på A 0 A n – kvadrat.

När du konstruerar tre projektioner av en punkt måste du kontrollera om alla tre villkoren är uppfyllda för varje punkt.

4. Punktkoordinater

Positionen för en punkt i rymden kan bestämmas med hjälp av tre tal som kallas dess koordinater. Varje koordinat motsvarar avståndet för en punkt från något projektionsplan.

Fastställt punktavstånd A till profilplanet är koordinaten X, vart i X = va? Va(Fig. 15), avståndet till frontalplanet är koordinaten y, och y = va? Va, och avståndet till horisontalplanet är koordinaten z, vart i z = aA.

I figur 15 upptar punkt A bredden av en rektangulär parallellepiped, och måtten på denna parallellepiped motsvarar koordinaterna för denna punkt, dvs. var och en av koordinaterna representeras i figur 15 fyra gånger, dvs.

x = a?A = Oa x = a y a = a z a?;

y = а?А = Оа y = а x а = а z а?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

I diagrammet (fig. 16) visas x- och z-koordinaterna tre gånger:

x = a z a?= Oa x = a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Alla segment som motsvarar koordinaten X(eller z), är parallella med varandra. Samordna på representeras två gånger av en axel som är placerad vertikalt:

y = Oa y = a x a

och två gånger – placerad horisontellt:

y = Oa y = a z a?.

Denna skillnad uppstår på grund av att y-axeln finns på diagrammet i två olika positioner.

Det bör beaktas att positionen för varje projektion bestäms på diagrammet av endast två koordinater, nämligen:

1) horisontell – koordinater X Och på,

2) frontal – koordinater x Och z,

3) profil – koordinater på Och z.

Använda koordinater x, y Och z, kan du konstruera projektioner av en punkt på ett diagram.

Om punkt A ges av koordinater, definieras deras registrering enligt följande: A ( X; y; z).

Vid konstruktion av punktprojektioner A följande villkor måste kontrolleras:

1) horisontella och frontala projektioner A Och A? X X;

2) front- och profilprojektioner A? Och A? måste placeras i samma vinkelrätt mot axeln z, eftersom de har en gemensam koordinat z;

3) horisontell projektion och även borttagen från axeln X, som profilprojektion A bort från axeln z, sedan prognoser ah? och va? har en gemensam koordinat på.

Om en punkt ligger i något av projektionsplanen är en av dess koordinater lika med noll.

När en punkt ligger på projektionsaxeln är två av dess koordinater lika med noll.

Om en punkt ligger vid utgångspunkten är alla dess tre koordinater noll.

Verbal form	Grafisk form
1. Rita motsvarande koordinater för punkt A på axlarna X, Y, Z. Vi får punkterna A x, A y, A z
2. Horisontell projektion A 1 är belägen vid skärningspunkten mellan kommunikationslinjer från punkterna A x och A y dragna parallellt med X- och Y-axlarna
3. Frontprojektion A 2 är belägen vid skärningspunkten mellan kommunikationslinjer från punkterna A x och A z dragna parallellt med X- och Z-axlarna
4. Profilprojektion A 3 är placerad i skärningspunkten mellan kommunikationslinjer från punkterna A z och A y dragna parallellt med Z- och Y-axlarna

3.2. Punktens position i förhållande till projektionsplanen

Positionen för en punkt i rymden i förhållande till projektionsplanen bestäms av dess koordinater. X-koordinaten bestämmer avståndet för en punkt från P 3-planet (projektion på P 2 eller P 1), Y-koordinaten bestämmer avståndet från P 2-planet (projektion på P 3 eller P 1), Z-koordinaten bestämmer avstånd från P 1-planet (projektion på P 3 eller P 2). Beroende på värdet av dessa koordinater kan en punkt inta både en allmän och en speciell position i rymden i förhållande till projektionsplanen (Fig. 3.1).

Ris. 3.1. Poängklassificering

Tpoängallmänbestämmelser. Koordinaterna för en generisk punkt är inte lika med noll ( x≠0, y≠0, z≠0 ), och beroende på koordinatens tecken kan punkten placeras i en av åtta oktanter (tabell 2.1).

I fig. 3.2 ger ritningar av punkter i allmän position. Analys av deras bilder låter oss dra slutsatsen att de är belägna i följande oktanter av rymden: A(+X;+Y; +Z(  Ioktant;B(+X;+Y;-Z(  IVoktant;C(-X;+Y; +Z(  Voctant;D(+X;+Y; +Z(  IIoktant.

Särskilda punkter. En av koordinaterna vid en punkt med en viss position är lika med noll, så projektionen av punkten ligger på motsvarande projektionsfält, de andra två - på projektionsaxlarna. I fig. 3.3 sådana punkter är punkterna A, B, C, D, G.A  P3, sedan punkt XA = 0; I  P3, sedan punkt XB = 0; MED  П 2, sedan punkt YC =0;D  P 1, sedan punkt Z D = 0.

En punkt kan tillhöra två projektionsplan samtidigt om den ligger på skärningslinjen mellan dessa plan - projektionsaxeln. För sådana punkter är endast koordinaten på denna axel inte noll. I fig. 3.3 en sådan punkt är punkten G(G  OZ, sedan punkt X G = 0, Y G = 0).

3.3. Relativ position för punkter i rymden

Låt oss överväga tre alternativ för det relativa arrangemanget av punkter beroende på förhållandet mellan koordinater som bestämmer deras position i rymden.

I fig. 3,4 punkter A och B har olika koordinater.

Deras relativa position kan bedömas genom deras avstånd till projektionsplanen: Y A >Y B, då är punkt A belägen längre från plan P 2 och närmare observatören än punkt B; Z A >Z B, då är punkt A belägen längre från planet P 1 och närmare observatören än punkt B; X A

I fig. 3.5 visar punkterna A, B, C, D, för vilka en av koordinaterna är densamma och de andra två är olika.

Deras relativa position kan bedömas utifrån deras avstånd till projektionsplanen enligt följande:

Y A =Y B =Y D, då är punkterna A, B och D på samma avstånd från planet P 2, och deras horisontella projektioner och profilprojektioner är belägna på de räta linjerna [A 1 B 1 ]llОХ och [A 3 B 3 ] llOZ. Den geometriska platsen för sådana punkter är ett plan parallellt med P2;

Z A =Z B =Z C, då är punkterna A, B och C på samma avstånd från planet P 1, och deras front- och profilprojektioner är belägna på de räta linjerna [A 2 B 2 ]llОХ och [A 3 C 3 ] llOY. Den geometriska platsen för sådana punkter är ett plan parallellt med P 1;

X A =X C =X D, då är punkterna A, C och D på samma avstånd från planet P 3 och deras horisontella och frontala projektioner är belägna på de räta linjerna [A 1 C 1 ] llOY och [A 2 D 2 ] llOZ . Den geometriska platsen för sådana punkter är ett plan parallellt med P3.

3. Om punkter har lika två koordinater med samma namn, så kallas de tävlande. Tävlande punkter ligger på samma projektionslinje. I fig. 3.3 det finns tre par av sådana punkter för vilka: X A = X D ; YA = YD; ZD > ZA; XA = XC; ZA = ZC; YC >YA; YA = YB; ZA = ZB; X B > X A .

Det finns horisontellt konkurrerande punkter A och D, belägna på den horisontellt utskjutande linjen AD, frontalt konkurrerande punkter A och C, belägna på den frontalt utskjutande linjen AC, profilkonkurrerande punkter A och B, belägna på profilens utskjutande linje AB.

Slutsatser i ämnet

1. En punkt är en linjär geometrisk bild, ett av de grundläggande begreppen inom beskrivande geometri. Positionen för en punkt i rymden kan bestämmas av dess koordinater. Var och en av de tre projektionerna av en punkt kännetecknas av två koordinater, deras namn motsvarar namnen på axlarna som bildar motsvarande projektionsplan: horisontell - A 1 (XA; YA); frontal – A 2 (XA; ZA); profil – A 3 (YA; ZA). Översättning av koordinater mellan projektioner utförs med hjälp av kommunikationslinjer. Med hjälp av två projektioner kan du konstruera projektioner av en punkt antingen med hjälp av koordinater eller grafiskt.

3. En punkt i förhållande till projektionsplanen kan inta både en allmän och en speciell position i rymden.

4. En punkt i allmän position är en punkt som inte hör till något av projektionsplanen, d.v.s. som ligger i utrymmet mellan projektionsplanen. Koordinaterna för en generisk punkt är inte lika med noll (x≠0,y≠0,z≠0).

5. En punkt med särskild position är en punkt som tillhör ett eller två projektionsplan. En av koordinaterna vid punkten för en viss position är lika med noll, så projektionen av punkten ligger på motsvarande fält för projektionsplanet, de andra två - på projektionsaxlarna.

6. Tävlande poäng – punkter vars koordinater med samma namn sammanfaller. Det finns horisontellt konkurrerande poäng, frontalt konkurrerande poäng, profilkonkurrerande poäng.

Nyckelord

Punktkoordinater

Allmän punkt

Privat punkt

Tävlande poäng

Verksamhetsmetoder som är nödvändiga för att lösa problem

– konstruktion av en punkt enligt givna koordinater i ett system av tre projektionsplan i rymden;

– konstruktion av en punkt enligt givna koordinater i ett system av tre projektionsplan på en komplex ritning.

Självtestfrågor

1. Hur upprättas sambandet mellan placeringen av koordinater på en komplex ritning i systemet med tre projektionsplan P 1 P 2 P 3 med koordinaterna för punktprojektioner?

2. Vilka koordinater bestämmer punkternas avstånd till de horisontella, frontala, profilprojektionsplanen?

3. Vilka koordinater och projektioner av punkten kommer att förändras om punkten rör sig i riktningen vinkelrät mot projektionernas P 3 profilplan?

4. Vilka koordinater och projektioner för en punkt kommer att förändras om punkten rör sig i en riktning parallell med OZ-axeln?

5. Vilka koordinater bestämmer den horisontella (frontal, profil) projektionen av en punkt?

7. I vilket fall sammanfaller projektionen av en punkt med själva punkten i rymden och var finns de andra två projektionerna av denna punkt?

8. Kan en punkt tillhöra tre projektionsplan samtidigt och i vilket fall?

9. Vad heter punkter vars projektioner med samma namn sammanfaller?

10. Hur kan du avgöra vilken av två punkter som är närmast observatören om deras frontalprojektioner sammanfaller?

Uppgifter för självständig lösning

1. Ge en visuell representation av punkterna A, B, C, D relativt projektionsplanen P 1, P 2. Punkter definieras av deras projektioner (Fig. 3.6).

2. Konstruera projektioner av punkterna A och B enligt deras koordinater på en visuell bild och en komplex ritning: A(13.5; 20), B(6.5; –20). Konstruera en projektion av punkt C, placerad symmetriskt till punkt A i förhållande till frontalplanet för projektionerna P 2.

3. Konstruera projektioner av punkterna A, B, C enligt deras koordinater på en visuell bild och en komplex ritning: A(–20; 0; 0), B(–30; -20; 10), C(–10, –15, 0 ). Konstruera punkt D, placerad symmetriskt till punkt C relativt OX-axeln.

Ett exempel på att lösa ett typiskt problem

Uppgift 1. X, Y, Z-koordinaterna för punkterna A, B, C, D, E, F anges (tabell 3.3)

Facebook

Twitter

I kontakt med

Klasskamrater

Google+