Tillägg av två identiska rötter. Beräkna kvadratroten ur ett tal

Kvadratroten ur ett tal X uppringt nummer A, som är i färd med att multiplicera med sig själv ( A*A) kan ge ett nummer X.
De där. A * A = A 2 = X, Och √X = A.

Ovanför kvadratrötter ( √x), liksom andra tal, kan du utföra aritmetiska operationer som subtraktion och addition. För att subtrahera och lägga till rötter måste de kopplas ihop med tecken som motsvarar dessa åtgärder (till exempel √x - √y ).
Och ta sedan med rötterna till dem enklaste formen- om det finns liknande mellan dem är det nödvändigt att göra en minskning. Det består i att ta koefficienterna för liknande termer med tecknen för motsvarande termer, sedan sätta dem inom parentes och härleda den gemensamma roten utanför parentesen av faktorn. Koefficienten vi fick är förenklad enligt de vanliga reglerna.

Steg 1: Extrahera kvadratrötter

För det första, för tillägg kvadratrötter Först måste du extrahera dessa rötter. Detta kan göras om siffrorna under rottecknet är perfekta kvadrater. Ta till exempel det givna uttrycket √4 + √9 . Första numret 4 är kvadraten på talet 2 . Andra nummer 9 är kvadraten på talet 3 . Således kan vi få följande jämställdhet: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Det är det, exemplet är löst. Men det händer inte alltid så lätt.

Steg 2. Ta ut multiplikatorn för talet under roten

Om det inte finns några perfekta kvadrater under rottecknet, kan du försöka ta bort multiplikatorn för talet under rottecknet. Låt oss till exempel ta uttrycket √24 + √54 .

Faktorera siffrorna:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Bland 24 vi har en multiplikator 4 , kan den tas ut under kvadratrottecknet. Bland 54 vi har en multiplikator 9 .

Vi får jämställdhet:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Med tanke på detta exempel får vi bort multiplikatorn under rottecknet, och förenklar därigenom det givna uttrycket.

Steg 3: Minska nämnaren

Tänk på följande situation: summan av två kvadratrötter är nämnaren för bråket, till exempel, A/(√a + √b).
Nu står vi inför uppgiften att "bli av med irrationalitet i nämnaren."
Låt oss dra fördel på följande sätt: multiplicera täljaren och nämnaren för bråket med uttrycket √a - √b.

Vi får nu den förkortade multiplikationsformeln i nämnaren:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

På liknande sätt, om nämnaren har en rotskillnad: √a - √b, multipliceras täljaren och nämnaren för bråket med uttrycket √a + √b.

Låt oss ta en bråkdel som exempel:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Exempel på komplex nämnarreduktion

Nu ska vi överväga ett ganska komplext exempel på att bli av med irrationalitet i nämnaren.

Låt oss till exempel ta en bråkdel: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Du måste ta dess täljare och nämnare och multiplicera med uttrycket √2 + √3 - √5 .

Vi får:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

Steg 4. Beräkna det ungefärliga värdet på räknaren

Om du bara behöver ett ungefärligt värde kan detta göras på en miniräknare genom att beräkna kvadratrötternas värde. Värdet beräknas separat för varje nummer och skrivs ner med erforderlig noggrannhet, som bestäms av antalet decimaler. Därefter utförs alla nödvändiga operationer, som med vanliga siffror.

Exempel på beräkning av ett ungefärligt värde

Det är nödvändigt att beräkna det ungefärliga värdet av detta uttryck √7 + √5 .

Som ett resultat får vi:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Observera: under inga omständigheter bör du lägga till kvadratrötter som primtal detta är helt oacceptabelt. Det vill säga, om vi lägger till kvadratroten ur fem och kvadratroten ur tre kan vi inte få kvadratroten ur åtta.

Användbara råd: om du bestämmer dig för att faktorisera ett tal, för att härleda kvadraten från under rottecknet, måste du göra en omvänd kontroll, det vill säga multiplicera alla faktorer som resulterade från beräkningarna och det slutliga resultatet av detta matematisk beräkning bör vara det tal som ursprungligen gavs till oss.

Fakta 1.
\(\bullet\) Låt oss ta några icke ett negativt tal\(a\) (det vill säga \(a\geqslant 0\) ). Sedan (arithmetik) roten ur från talet \(a\) kallas ett sådant icke-negativt tal \(b\) , vid kvadrat får vi talet \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(samma som )\quad a=b^2\] Av definitionen följer det \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Dessa begränsningar är ett viktigt villkor existensen av en kvadratrot och de bör komma ihåg!
Kom ihåg att vilket tal som helst i kvadrat ger ett icke-negativt resultat. Det vill säga \(100^2=10000\geqslant 0\) och \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Vad är \(\sqrt(25)\) lika med? Vi vet att \(5^2=25\) och \((-5)^2=25\) . Eftersom vi per definition måste hitta ett icke-negativt tal, är \(-5\) inte lämplig, därför \(\sqrt(25)=5\) (eftersom \(25=5^2\) ).
Att hitta värdet på \(\sqrt a\) kallas att ta kvadratroten av talet \(a\) , och talet \(a\) kallas det radikala uttrycket.
\(\bullet\) Baserat på definitionen, uttryck \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), etc. inte vettigt.

Fakta 2.
För snabba beräkningar kommer det att vara användbart att lära sig tabellen med kvadrater av naturliga tal från \(1\) till \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fakta 3.
Vilka operationer kan du göra med kvadratrötter?
\(\kula\) Summan eller skillnaden av kvadratrötter ÄR INTE lik kvadratroten av summan eller skillnaden, det vill säga \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Således, om du behöver beräkna till exempel \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , måste du initialt hitta värdena för \(\sqrt(25)\) och \(\ sqrt(49)\ ) och vik dem sedan. Därav, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Om värdena \(\sqrt a\) eller \(\sqrt b\) inte kan hittas när man lägger till \(\sqrt a+\sqrt b\), så transformeras inte ett sådant uttryck ytterligare utan förblir som det är. Till exempel, i summan \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) kan vi hitta \(\sqrt(49)\) är \(7\) , men \(\sqrt 2\) kan inte transformeras i hur som helst, det är därför \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Tyvärr kan detta uttryck inte förenklas ytterligare\(\bullet\) Produkten/kvoten av kvadratrötter är lika med kvadratroten av produkten/kvoten, dvs. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (förutsatt att båda sidor av jämlikheten är vettiga)
Exempel: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Med dessa egenskaper är det bekvämt att hitta kvadratrötterna på stora nummer genom att faktorisera dem.
Låt oss titta på ett exempel. Låt oss hitta \(\sqrt(44100)\) . Sedan \(44100:100=441\) , sedan \(44100=100\cdot 441\) . Enligt kriteriet för delbarhet är talet \(441\) delbart med \(9\) (eftersom summan av dess siffror är 9 och är delbart med 9), därför \(441:9=49\), det vill säga \(441=9\ cdot 49\) .
Så fick vi: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Låt oss titta på ett annat exempel: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Låt oss visa hur man anger siffror under kvadratrottecknet med exemplet på uttrycket \(5\sqrt2\) (kort notation för uttrycket \(5\cdot \sqrt2\)). Eftersom \(5=\sqrt(25)\) , alltså \ Observera också att t.ex.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Varför är det så? Låt oss förklara med exempel 1). Som du redan förstår kan vi inte på något sätt omvandla talet \(\sqrt2\). Låt oss föreställa oss att \(\sqrt2\) är ett tal \(a\) . Följaktligen är uttrycket \(\sqrt2+3\sqrt2\) inget mer än \(a+3a\) (ett tal \(a\) plus ytterligare tre av samma tal \(a\)). Och vi vet att detta är lika med fyra sådana tal \(a\) , det vill säga \(4\sqrt2\) .

Fakta 4.
\(\bullet\) De säger ofta "du kan inte extrahera roten" när du inte kan bli av med tecknet \(\sqrt () \ \) för roten (radikal) när man hittar värdet på ett tal . Till exempel kan du ta roten av talet \(16\) eftersom \(16=4^2\) , därför \(\sqrt(16)=4\) . Men det är omöjligt att extrahera roten till talet \(3\), det vill säga att hitta \(\sqrt3\), eftersom det inte finns något tal som kvadrat ger \(3\) .
Sådana tal (eller uttryck med sådana tal) är irrationella. Till exempel siffror \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) och så vidare. är irrationella.
Också irrationella är talen \(\pi\) (talet "pi", ungefär lika med \(3.14\)), \(e\) (detta tal kallas Euler-talet, det är ungefär lika med \(2.7) \)) etc.
\(\bullet\) Observera att alla tal kommer att vara antingen rationella eller irrationella. Och tillsammans bildar alla rationella och alla irrationella tal en mängd som kallas en uppsättning reella tal. Denna uppsättning betecknas med bokstaven \(\mathbb(R)\) .
Det betyder att alla siffror som vi för närvarande känner till kallas reella tal.

Fakta 5.
\(\bullet\) Modulen för ett reellt tal \(a\) är ett icke-negativt tal \(|a|\) lika med avståndet från punkten \(a\) till \(0\) på riktig linje. Till exempel är \(|3|\) och \(|-3|\) lika med 3, eftersom avstånden från punkterna \(3\) och \(-3\) till \(0\) är samma och lika med \(3 \) .
\(\bullet\) Om \(a\) är ett icke-negativt tal, då \(|a|=a\) .
Exempel: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Om \(a\) är ett negativt tal, då \(|a|=-a\) .
Exempel: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
De säger att för negativa tal "äter" modulen minus, medan positiva tal, såväl som talet \(0\), lämnas oförändrade av modulen.
MEN Denna regel gäller endast siffror. Om det under ditt modultecken finns en okänd \(x\) (eller någon annan okänd), till exempel \(|x|\) , som vi inte vet om den är positiv, noll eller negativ, så bli av med av modulen kan vi inte. I det här fallet förblir uttrycket detsamma: \(|x|\) . \(\bullet\) Följande formler håller: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( tillhandahålls ) a\geqslant 0\] Mycket ofta görs följande misstag: de säger att \(\sqrt(a^2)\) och \((\sqrt a)^2\) är en och samma. Detta är bara sant om \(a\) är ett positivt tal eller noll. Men om \(a\) är ett negativt tal, så är detta falskt. Det räcker att överväga detta exempel. Låt oss ta talet \(-1\) istället för \(a\). Sedan \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , men uttrycket \((\sqrt (-1))^2\) existerar inte alls (trots allt, det är omöjligt att använda rottecknet sätta negativa tal!).
Därför uppmärksammar vi er på att \(\sqrt(a^2)\) inte är lika med \((\sqrt a)^2\) ! Exempel: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), därför att \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Eftersom \(\sqrt(a^2)=|a|\) , sedan \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (uttrycket \(2n\) anger ett jämnt tal)
Det vill säga, när man tar roten till ett tal som är i någon grad, halveras denna grad.
Exempel:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (observera att om modulen inte levereras visar det sig att roten av talet är lika med \(-25\ ) ; men vi kommer ihåg att detta per definition av en rot inte kan hända: när vi extraherar en rot bör vi alltid få ett positivt tal eller noll)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (eftersom alla tal i en jämn potens är icke-negativa)

Fakta 6.
Hur jämför man två kvadratrötter?
\(\bullet\) För kvadratrötter är det sant: om \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aExempel:
1) jämför \(\sqrt(50)\) och \(6\sqrt2\) . Låt oss först omvandla det andra uttrycket till \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Alltså, sedan \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Mellan vilka heltal finns \(\sqrt(50)\)?
Eftersom \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) och \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Låt oss jämföra \(\sqrt 2-1\) och \(0.5\) . Låt oss anta att \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((lägg till en på båda sidor))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kvadraterande båda sidor))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Vi ser att vi har fått en felaktig ojämlikhet. Därför var vårt antagande felaktigt och \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Observera att om du lägger till ett visst tal på båda sidor av olikheten inte påverkar dess tecken. Att multiplicera/dividera båda sidor av en olikhet med ett positivt tal påverkar inte dess tecken, men multiplicera/dividera med ett negativt tal vänder olikhetens tecken!
Du kan kvadrera båda sidorna av en ekvation/olikhet ENDAST OM båda sidorna är icke-negativa. Till exempel, i olikheten från föregående exempel kan du kvadrera båda sidorna, i olikheten \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Det bör man komma ihåg \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1.4\\ &\sqrt 3\approx 1.7 \end(aligned)\] Att känna till den ungefärliga betydelsen av dessa siffror kommer att hjälpa dig när du jämför siffror! \(\bullet\) För att extrahera roten (om den kan extraheras) från något stort antal som inte finns i kvadrattabellen måste du först bestämma mellan vilka "hundratals" den ligger, sedan - mellan vilka " tiotals”, och bestäm sedan den sista siffran i detta nummer. Låt oss visa hur detta fungerar med ett exempel.
Låt oss ta \(\sqrt(28224)\) . Vi vet att \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), etc. Observera att \(28224\) är mellan \(10\,000\) och \(40\,000\) . Därför är \(\sqrt(28224)\) mellan \(100\) och \(200\) .
Låt oss nu avgöra mellan vilka "tiotal" vårt nummer är placerat (det vill säga till exempel mellan \(120\) och \(130\)). Från tabellen med kvadrater vet vi också att \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., sedan \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Så vi ser att \(28224\) är mellan \(160^2\) och \(170^2\) . Därför är talet \(\sqrt(28224)\) mellan \(160\) och \(170\) .
Låt oss försöka bestämma den sista siffran. Låt oss komma ihåg vilka ensiffriga tal, när de kvadreras, ger \(4\) i slutet? Dessa är \(2^2\) och \(8^2\) . Därför kommer \(\sqrt(28224)\) att sluta på antingen 2 eller 8. Låt oss kontrollera detta. Låt oss hitta \(162^2\) och \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Därför \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

För att på ett adekvat sätt lösa Unified State Exam i matematik måste du först studera teoretiskt material, som introducerar dig till många satser, formler, algoritmer, etc. Vid första anblicken kan det verka som att detta är ganska enkelt. Men att hitta en källa där teorin för Unified State Exam i matematik presenteras på ett enkelt och begripligt sätt för elever med vilken utbildningsnivå som helst, är i själva verket en ganska svår uppgift. Skolböcker kan inte alltid ha till hands. Och att hitta grundläggande formler för Unified State Exam i matematik kan vara svårt även på Internet.

Varför är det så viktigt att studera teori i matematik, inte bara för dem som tar Unified State Exam?

1. För det vidgar dina vyer. Att studera teoretiskt material i matematik är användbart för alla som vill få svar på en lång rad frågor relaterade till kunskap om omvärlden. Allt i naturen är ordnat och har en tydlig logik. Det är just detta som återspeglas i vetenskapen, genom vilket det är möjligt att förstå världen.
2. För att det utvecklar intelligens. Genom att studera referensmaterial för Unified State Exam i matematik, såväl som att lösa olika problem, lär sig en person att tänka och resonera logiskt, att formulera tankar kompetent och tydligt. Han utvecklar förmågan att analysera, generalisera och dra slutsatser.

Vi inbjuder dig att personligen utvärdera alla fördelar med vår metod för systematisering och presentation av utbildningsmaterial.

Att extrahera kvadrantroten av ett tal är inte den enda operationen som kan utföras med detta matematiska fenomen. Precis som vanliga tal adderar och subtraherar kvadratrötter.

Regler för att addera och subtrahera kvadratrötter

Operationer som addition och subtraktion av kvadratrötter är endast möjliga om det radikala uttrycket är detsamma.

Exempel 1

Du kan lägga till eller subtrahera uttryck 2 3 och 6 3, men inte 5 6 Och 9 4. Om det är möjligt att förenkla uttrycket och reducera det till rötter med samma radikal, så förenkla och addera eller subtrahera sedan.

Handlingar med rötter: grunderna

6 50 - 2 8 + 5 12

Åtgärdsalgoritm:

1. Förenkla det radikala uttrycket. För att göra detta är det nödvändigt att dekomponera det radikala uttrycket i 2 faktorer, varav en är ett kvadrattal (talet från vilket hela kvadratroten extraheras, till exempel 25 eller 9).
2. Sedan måste du ta roten av kvadrattalet och skriv det resulterande värdet före rottecknet. Observera att den andra faktorn anges under rotens tecken.
3. Efter förenklingsprocessen är det nödvändigt att betona rötterna med samma radikala uttryck - bara de kan läggas till och subtraheras.
4. För rötter med samma radikala uttryck är det nödvändigt att lägga till eller subtrahera de faktorer som förekommer före rottecknet. Det radikala uttrycket förblir oförändrat. Du kan inte lägga till eller subtrahera radikala tal!

Tips 1

Om du har ett exempel med ett stort antal identiska radikala uttryck, stryk sedan under sådana uttryck med enkla, dubbla och trippellinjer för att underlätta beräkningsprocessen.

Exempel 3

Låt oss försöka lösa detta exempel:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Först måste du dekomponera 50 i 2 faktorer 25 och 2, sedan ta roten av 25, vilket är lika med 5, och ta ut 5 under roten. Efter detta måste du multiplicera 5 med 6 (faktorn vid roten) och få 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Först måste du dekomponera 8 i 2 faktorer: 4 och 2. Ta sedan roten från 4, vilket är lika med 2, och ta ut 2 under roten. Efter detta måste du multiplicera 2 med 2 (faktorn vid roten) och få 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Först måste du bryta ner 12 i 2 faktorer: 4 och 3. Extrahera sedan roten av 4, som är lika med 2, och ta bort den från under roten. Efter detta måste du multiplicera 2 med 5 (faktorn vid roten) och få 10 3.

Förenklingsresultat: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Som ett resultat såg vi hur många identiska radikala uttryck som finns i detta exempel. Låt oss nu öva med andra exempel.

Exempel 4

• Låt oss förenkla (45). Faktor 45: (45) = (9 x 5);
• Vi tar ut 3 under roten (9 = 3): 45 = 3 5 ;
• Lägg till faktorerna vid rötterna: 3 5 + 4 5 = 7 5.

Exempel 5

6 40 - 3 10 + 5:

• Låt oss förenkla 6 40. Vi faktor 40: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
• Vi tar ut 2 från under roten (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
• Vi multiplicerar faktorerna som visas framför roten: 12 10 ;
• Vi skriver uttrycket i en förenklad form: 12 10 - 3 10 + 5 ;
• Eftersom de två första termerna har samma radikala tal kan vi subtrahera dem: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Exempel 6

Som vi kan se är det inte möjligt att förenkla radikala tal, så vi letar efter termer med samma radikala tal i exemplet, utför matematiska operationer (lägg till, subtrahera, etc.) och skriver resultatet:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Råd:

• Innan man adderar eller subtraherar är det nödvändigt att förenkla (om möjligt) de radikala uttrycken.
• Det är strängt förbjudet att lägga till och subtrahera rötter med olika radikala uttryck.
• Du ska inte addera eller subtrahera ett heltal eller rot: 3 + (2 x) 1 / 2 .
• När du utför operationer med bråk måste du hitta ett tal som är delbart med varje nämnare, sedan föra bråken till en gemensam nämnare, sedan lägga till täljarna och lämna nämnarna oförändrade.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Ämnet kvadratrötter är obligatoriskt i skolans matematikläroplan. Du kan inte klara dig utan dem när du löser andragradsekvationer. Och senare blir det nödvändigt att inte bara extrahera rötterna, utan också att utföra andra åtgärder med dem. Bland dem är ganska komplexa: exponentiering, multiplikation och division. Men det finns också ganska enkla sådana: subtraktion och addition av rötter. För övrigt verkar de bara så vid första anblicken. Att utföra dem utan fel är inte alltid lätt för någon som precis har börjat bekanta sig med dem.

Vad är en matematisk rot?

Denna handling uppstod i opposition till exponentiering. Matematik föreslår två motsatta operationer. Det finns subtraktion för addition. Multiplikation är motsats till division. Den omvända verkan av en grad är att extrahera motsvarande rot.

Om graden är två, blir roten kvadratisk. Det är det vanligaste inom skolmatematiken. Den har inte ens en indikation på att den är kvadratisk, det vill säga att siffran 2 inte är tilldelad bredvid den. Den matematiska notationen av denna operator (radikal) presenteras i figuren.

Dess definition flyter smidigt från den beskrivna handlingen. För att extrahera kvadratroten ur ett tal måste du ta reda på vad det radikala uttrycket ger när det multipliceras med sig självt. Detta nummer kommer att vara kvadratroten. Om vi ​​skriver ner detta matematiskt får vi följande: x*x=x 2 =y, vilket betyder √y=x.

Vilka åtgärder kan du utföra med dem?

I sin kärna är en rot en bråkpotens med en i täljaren. Och nämnaren kan vara vad som helst. Till exempel har kvadratroten två. Därför kommer alla handlingar som kan utföras med krafter också att gälla för rötter.

Och kraven för dessa åtgärder är desamma. Om multiplikation, division och exponentiering inte stöter på svårigheter för eleverna, leder det ibland till förvirring att lägga till rötter, som att subtrahera dem. Och allt för att jag vill utföra dessa operationer utan hänsyn till rotens tecken. Och det är här misstagen börjar.

Vilka är reglerna för att addera och subtrahera?

Först måste du komma ihåg två kategoriska "gör inte":

• det är omöjligt att utföra addition och subtraktion av rötter, som med primtal, det vill säga det är omöjligt att skriva radikala uttryck av summan under ett tecken och utföra matematiska operationer med dem;
• Du kan inte addera och subtrahera rötter med olika exponenter, till exempel kvadrat och kubik.

Ett tydligt exempel på det första förbudet: √6 + √10 ≠ √16, men √(6 + 10) = √16.

I det andra fallet är det bättre att begränsa oss till att förenkla själva rötterna. Och lämna deras belopp i svaret.

Nu till reglerna

1. Hitta och gruppera liknande rötter. Det vill säga de som inte bara har samma siffror under radikalen, utan de själva har samma indikator.
2. Utför tillägget av rötterna kombinerade till en grupp i den första åtgärden. Det är lätt att implementera eftersom du bara behöver lägga till de värden som visas framför radikalerna.
3. Extrahera rötterna till de termer där det radikala uttrycket bildar en hel kvadrat. Med andra ord, lämna inget under en radikals tecken.
4. Förenkla radikala uttryck. För att göra detta måste du faktorisera dem i primtalsfaktorer och se om de ger kvadraten av något tal. Det är klart att detta stämmer när vi pratar om kvadratroten. När exponenten är tre eller fyra, då måste primtalsfaktorerna ge kuben eller fjärde potensen av talet.
5. Ta bort från radikalens tecken den faktor som ger hela makten.
6. Se om liknande termer dyker upp igen. Om ja, utför sedan det andra steget igen.

I en situation där uppgiften inte kräver det exakta värdet av roten, kan den beräknas med hjälp av en miniräknare. Runda av det oändliga decimalbråket som visas i dess fönster. Oftast görs detta till hundradelar. Och utför sedan alla operationer för decimalbråk.

Detta är all information om hur man lägger till rötter. Exemplen nedan kommer att illustrera ovanstående.

Första uppgiften

Beräkna värdet på uttryck:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Om du följer ovanstående algoritm kan du se att det inte finns något för de två första åtgärderna i detta exempel. Men man kan förenkla några radikala uttryck.

Till exempel, dekomponera 32 i två faktorer 2 och 16; 18 kommer att vara lika med produkten av 9 och 2; 128 är 2 över 64. Givet detta kommer uttrycket att skrivas så här:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Nu måste du ta bort från under det radikala tecknet de faktorer som ger kvadraten på talet. Detta är 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2. Uttrycket kommer att ha formen:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Vi måste förenkla inspelningen lite. För att göra detta, multiplicera koefficienterna före rottecknen:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

I detta uttryck visade sig alla termer vara lika. Därför behöver du bara vika dem. Svaret blir: 5√2.

b) I likhet med föregående exempel börjar lägga till rötter med att förenkla dem. De radikala uttrycken 75, 147, 48 och 300 kommer att representeras i följande par: 5 och 25, 3 och 49, 3 och 16, 3 och 100. Var och en av dem innehåller ett tal som kan tas ut under rottecknet :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Efter förenkling är svaret: 5√5 - 5√3. Det kan lämnas i denna form, men det är bättre att ta den gemensamma faktorn 5 inom parentes: 5 (√5 - √3).

c) Och igen faktorisering: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Efter att ha tagit bort faktorerna under rottecknet har vi:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Efter att ha tagit med liknande termer får vi resultatet: 7√11.

Exempel med bråk-uttryck

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Du måste faktorisera följande siffror: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. I likhet med de som redan diskuterats måste du ta bort faktorerna under rottecknet och förenkla uttrycket:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Detta uttryck kräver att man blir av med irrationalitet i nämnaren. För att göra detta måste du multiplicera den andra termen med √2/√2:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

För att slutföra åtgärderna måste du välja hela delen av faktorerna framför rötterna. För den första är det 1, för den andra är det 2.

Teori

Addition och subtraktion av rötter studeras i en inledande matematikkurs. Vi antar att läsaren känner till begreppet grad.

Definition 1

$n$ roten av ett reellt tal $a$ är ett reellt tal $b$ vars $n$:te potens är lika med $a$: $b=\sqrt[n]a, b^n=a.$ Här $ a$ - radikalt uttryck, $n$ - rotexponent, $b$ - rotvärde. Rottecknet kallas radikal.

Det omvända till rotextraktion är exponentiering.

Grundläggande operationer med aritmetiska rötter:

Figur 1. Grundläggande operationer med aritmetiska rötter. Avtor24 - utbyte av studentverk online

Som vi kan se finns det ingen formel för addition och subtraktion i de listade åtgärderna. Dessa handlingar med rötter utförs i form av transformationer. För dessa transformationer bör du använda förkortade multiplikationsformler:

$(\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b)=a-b;$

$(\sqrta-\sqrtb)(\sqrt(a^2)+\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))=a-b;$

$(\sqrta+\sqrtb)(\sqrt(a^2)-\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))=a+b;$

$a\sqrt a+b\sqrt b=(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3=(\sqrt a+\sqrt b)(a-\sqrt(ab)+b);$

$a\sqrt a-b\sqrt b=(\sqrt a)^3-(\sqrt b)^3=(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt(ab)+b).$

Det är värt att notera att åtgärderna för addition och subtraktion förekommer i exempel på irrationella uttryck: $ab\sqrt(m-n); 1+\sqrt3.$

Exempel

Låt oss titta på exempel på fall där "destruktion" av irrationalitet i nämnaren är tillämplig. När, som ett resultat av transformationer, ett irrationellt uttryck förekommer i både täljaren och nämnaren, då är det nödvändigt att "förstöra" irrationaliteten i nämnaren.

Exempel 1

$\frac(1)(\sqrt7-\sqrt6)=\frac(\sqrt7+\sqrt6)((\sqrt7-\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6))=\frac(\sqrt7+\sqrt6)(7-6) )=\frac(\sqrt7+\sqrt6)(1)=\sqrt7+\sqrt6.$

I det här exemplet multiplicerade vi bråkets täljare och nämnare med konjugatet av nämnaren. Således transformeras nämnaren med hjälp av formeln för skillnaden mellan kvadrater.