Jak znaleźć obszar trójkąta za pomocą nóg. Jak w nietypowy sposób znaleźć obszar trójkąta prostokątnego

Trójkąt to płaska figura geometryczna o jednym kącie równym 90 °. Jednocześnie w geometrii często wymagane jest obliczenie powierzchni takiej figury. Jak to zrobić, powiemy dalej.

Najprostszy wzór na określenie pola trójkąta prostokątnego

Dane początkowe, gdzie: a i b to boki trójkąta wychodzące z kąta prostego.

Oznacza to, że powierzchnia jest równa połowie iloczynu dwóch boków, które wychodzą pod kątem prostym. Oczywiście do obliczenia pola zwykłego trójkąta stosuje się wzór Herona, ale aby określić wartość, trzeba znać długość trzech boków. W związku z tym będziesz musiał obliczyć przeciwprostokątną, a to jest dodatkowy czas.

Znajdź obszar trójkąta prostokątnego za pomocą wzoru Herona

Jest to dobrze znana i oryginalna formuła, ale w tym celu będziesz musiał obliczyć przeciwprostokątną wzdłuż dwóch nóg za pomocą twierdzenia Pitagorasa.

W tym wzorze: a, b, c to boki trójkąta, a p to półobwód.

Znajdź obszar trójkąta prostokątnego podając przeciwprostokątną i kąt

Jeśli żadna z nóg nie jest znana w twoim problemie, nie będziesz mógł użyć najprostszej metody. Aby określić wartość, musisz obliczyć długość nóg. Odbywa się to po prostu przez przeciwprostokątną i cosinus kąta zawartego.

b=c×cos(α)

Znając długość jednej z nóg, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możesz obliczyć drugą stronę wychodzącą z kąta prostego.

b 2 \u003d c 2 -a 2

W tym wzorze c i a oznaczają odpowiednio przeciwprostokątną i nogę. Teraz możesz obliczyć powierzchnię za pomocą pierwszego wzoru. W ten sam sposób można obliczyć jedną z nóg, biorąc pod uwagę drugą i kąt. W takim przypadku jeden z pożądanych boków będzie równy iloczynowi nogi i stycznej kąta. Istnieją inne sposoby obliczania powierzchni, ale znając podstawowe twierdzenia i zasady, możesz łatwo znaleźć pożądaną wartość.

Jeśli nie masz żadnego z boków trójkąta, a jedynie medianę i jeden z kątów, możesz obliczyć długość boków. Aby to zrobić, użyj właściwości mediany, aby podzielić trójkąt prostokątny przez dwa. W związku z tym może działać jako przeciwprostokątna, jeśli wychodzi z ostrego kąta. Użyj twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć długość boków trójkąta, które wychodzą pod kątem prostym.

Jak widać, znając podstawowe wzory i twierdzenie Pitagorasa, można obliczyć powierzchnię trójkąta prostokątnego, mając tylko jeden z kątów i długość jednego z boków.

Trójkąt prostokątny to trójkąt, w którym jeden z kątów wynosi 90°. Jego obszar można znaleźć, jeśli znane są dwie nogi. Możesz oczywiście pójść na całość - znaleźć przeciwprostokątną i obliczyć powierzchnię z , ale w większości przypadków zajmie to tylko dodatkowy czas. Dlatego wzór na obszar trójkąta prostokątnego wygląda tak:

Powierzchnia trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu nóg.

Przykład obliczenia pola trójkąta prostokątnego.
Biorąc pod uwagę prawy trójkąt z nogami a= 8 cm, b= 6 cm.
Obliczamy powierzchnię:
Powierzchnia wynosi: 24 cm 2

Również w trójkącie prostokątnym stosuje się twierdzenie Pitagorasa. - suma kwadratów obu nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
Wzór na obszar równoramiennego trójkąta prostokątnego oblicza się w taki sam sposób, jak dla zwykłego trójkąta prostokątnego.

Przykład obliczenia pola trójkąta równoramiennego:
Biorąc pod uwagę trójkąt z nogami a= 4 cm, b\u003d 4 cm Oblicz obszar:
Obliczamy obszar: \u003d 8 cm 2

Wzór na obszar trójkąta prostokątnego w odniesieniu do przeciwprostokątnej można zastosować, jeśli w stanie podano jedną nogę. Z twierdzenia Pitagorasa znajdujemy długość nieznanej nogi. Na przykład, biorąc pod uwagę przeciwprostokątną C i noga a, noga b będzie równa:
Następnie obliczamy powierzchnię za pomocą zwykłej formuły. Przykład obliczenia wzoru na obszar trójkąta prostokątnego za pomocą przeciwprostokątnej jest identyczny z opisanym powyżej.

Rozważmy ciekawe zadanie, które pomoże utrwalić znajomość formuł rozwiązywania trójkąta.
Zadanie: Powierzchnia trójkąta prostokątnego to 180 metrów kwadratowych. zobacz znajdź mniejszą odnogę trójkąta, jeśli jest o 31 cm mniejsza niż druga.
Rozwiązanie: oznacza nogi a I b. Teraz podstawmy dane do wzoru na pole: wiemy też, że jedna noga jest mniejsza od drugiej a – b= 31 cm
Od pierwszego warunku otrzymujemy to
Podstawimy ten warunek do drugiego równania:

Odkąd znaleźliśmy boki, usuwamy znak minus.
Okazuje się, że noga a= 40 cm, i b= 9 cm.

Trójkąt prostokątny znajduje się w rzeczywistości prawie na każdym rogu. Znajomość właściwości tej figury, a także umiejętność obliczania jej powierzchni, z pewnością przydadzą się nie tylko do rozwiązywania problemów geometrycznych, ale także w sytuacjach życiowych.

geometria trójkąta

W elementarnej geometrii trójkąt prostokątny to figura składająca się z trzech połączonych segmentów, które tworzą trzy kąty (dwa ostre i jeden prosty). Trójkąt prostokątny to oryginalna figura, charakteryzująca się szeregiem ważnych właściwości, które stanowią podstawę trygonometrii. W przeciwieństwie do zwykłego trójkąta boki figury prostokątnej mają swoje nazwy:

• Przeciwprostokątna to najdłuższy bok trójkąta leżący naprzeciwko kąta prostego.
• Nogi - segmenty tworzące kąt prosty. W zależności od rozważanego kąta noga może do niej przylegać (tworząc ten kąt z przeciwprostokątną) lub przeciwnie (leżąc przeciwnie do kąta). Nie ma nóg dla trójkątów nieprostokątnych.

Podstawą trygonometrii jest stosunek nóg i przeciwprostokątnej: sinusy, styczne i sieczne określa się jako stosunek boków trójkąta prostokątnego.

Prawy trójkąt w rzeczywistości

Ta liczba jest szeroko stosowana w rzeczywistości. Trójkąty są wykorzystywane w projektowaniu i technologii, więc obliczenia powierzchni figury muszą wykonać inżynierowie, architekci i projektanci. Podstawy czworościanów lub graniastosłupów mają kształt trójkąta - trójwymiarowych figur, które łatwo spotkać w życiu codziennym. Ponadto kwadrat jest najprostszą reprezentacją „płaskiego” trójkąta prostokątnego w rzeczywistości. Kwadrat to narzędzie ślusarskie, kreślarskie, budowlane i stolarskie, które jest używane do budowania narożników zarówno przez uczniów, jak i inżynierów.

Obszar trójkąta

Obszar figury geometrycznej jest ilościowym oszacowaniem tego, jaka część płaszczyzny jest ograniczona bokami trójkąta. Pole zwykłego trójkąta można znaleźć na pięć sposobów, korzystając ze wzoru Herona lub operując w obliczeniach takimi zmiennymi jak podstawa, bok, kąt i promień okręgu wpisanego lub opisanego. Najprostszy wzór powierzchni jest wyrażony jako:

gdzie a jest bokiem trójkąta, h jest jego wysokością.

Wzór na obliczenie pola trójkąta prostokątnego jest jeszcze prostszy:

gdzie a i b to nogi.

Pracując z naszym kalkulatorem online możesz obliczyć powierzchnię trójkąta za pomocą trzech par parametrów:

• dwie nogi;
• noga i kąt sąsiedni;
• noga i przeciwny kąt.

W zadaniach lub codziennych sytuacjach otrzymasz różne kombinacje zmiennych, więc ta forma kalkulatora pozwala obliczyć pole trójkąta na kilka sposobów. Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykłady z życia

Płytki ceramiczne

Załóżmy, że chcesz wyłożyć ściany kuchni płytkami ceramicznymi, które mają kształt trójkąta prostokątnego. Aby określić zużycie płytek, należy określić obszar jednego elementu okładziny i całkowitą powierzchnię obrabianej powierzchni. Załóżmy, że musisz przetworzyć 7 metrów kwadratowych. Długość nóg jednego elementu wynosi 19 cm każda, wówczas powierzchnia płytki będzie równa:

Oznacza to, że powierzchnia jednego elementu to 24,5 centymetra kwadratowego lub 0,01805 metra kwadratowego. Znając te parametry, możesz obliczyć, że do wykończenia 7 metrów kwadratowych ściany potrzebujesz 7 / 0,01805 = 387 płytek licowych.

zadanie szkolne

Załóżmy, że w zadaniu z geometrii szkolnej wymagane jest znalezienie obszaru trójkąta prostokątnego, wiedząc tylko, że bok jednej nogi ma 5 cm, a wartość kąta przeciwnego wynosi 30 stopni. Do naszego kalkulatora internetowego dołączona jest ilustracja przedstawiająca boki i kąty trójkąta prostokątnego. Jeżeli bok a = 5 cm, to jego przeciwny kąt to kąt alfa równy 30 stopni. Wprowadź te dane do formularza kalkulatora i uzyskaj wynik:

W ten sposób kalkulator nie tylko oblicza pole danego trójkąta, ale także określa długość sąsiedniej nogi i przeciwprostokątnej oraz wartość drugiego kąta.

Wniosek

Trójkąty prostokątne znajdują się w naszym życiu dosłownie na każdym rogu. Wyznaczenie obszaru takich figur przyda Ci się nie tylko podczas rozwiązywania zadań szkolnych z geometrii, ale także w codziennych i zawodowych czynnościach.

Formuła powierzchni jest konieczne do wyznaczenia pola powierzchni figury, która jest funkcją o wartościach rzeczywistych zdefiniowaną na pewnej klasie figur w płaszczyźnie euklidesowej i spełniającą 4 warunki:

1. Dodatni — powierzchnia nie może być mniejsza niż zero;
2. Normalizacja - kwadrat o boku jedności ma powierzchnię 1;
3. Congruence - przystające figury mają równą powierzchnię;
4. Addytywność - powierzchnia połączenia 2 figur bez wspólnych punktów wewnętrznych jest równa sumie powierzchni tych figur.

Na lekcjach geometrii w liceum wszyscy uczono nas o trójkątach. Jednak w ramach szkolnego programu nauczania otrzymujemy tylko najbardziej niezbędną wiedzę i poznajemy najczęstsze i standardowe metody liczenia. Czy istnieją nietypowe sposoby na znalezienie tej ilości?

Na wstępie przypomnijmy, który trójkąt jest uważany za trójkąt prostokątny, a także oznaczmy pojęcie pola.

Trójkąt prostokątny to zamknięta figura geometryczna, której jeden z kątów jest równy 90 0. Integralne pojęcia w definicji to nogi i przeciwprostokątna. Nogi to dwie strony, które tworzą kąt prosty w punkcie połączenia. Przeciwprostokątna to strona przeciwna do kąta prostego. Trójkąt prostokątny może być równoramienny (dwa jego boki będą tej samej wielkości), ale nigdy równoboczny (wszystkie boki są tej samej długości). Definicje wysokości, mediany, wektorów i innych terminów matematycznych nie będą szczegółowo analizowane. Łatwo je znaleźć w podręcznikach.

Obszar trójkąta prostokątnego. W przeciwieństwie do prostokątów zasada dotycząca

produkt stron w definicji jest nieważny. Mówiąc suchym językiem terminów, obszar trójkąta jest rozumiany jako właściwość tej figury do zajmowania części płaszczyzny, wyrażona przez liczbę. Widzisz, dość trudne do zrozumienia. Nie będziemy próbować zagłębiać się w definicję, naszym celem nie jest to. Przejdźmy do najważniejszej rzeczy - jak znaleźć obszar trójkąta prostokątnego? Samych obliczeń nie wykonamy, wskażemy tylko formuły. W tym celu zdefiniujmy zapis: A, B, C - boki trójkąta, nogi - AB, BC. Kąt ACB jest prosty. S to powierzchnia trójkąta, h n n to wysokość trójkąta, gdzie nn to bok, na który jest obniżony.

Metoda 1. Jak znaleźć obszar trójkąta prostokątnego, jeśli znany jest rozmiar jego nóg?

Metoda 2. Znajdź obszar równoramiennego trójkąta prostokątnego

Metoda 3. Obliczanie powierzchni przez prostokąt

Uzupełniamy trójkąt prostokątny do kwadratu (jeśli trójkąt

równoramienne) lub prostokąt. Otrzymujemy prosty czworokąt złożony z 2 identycznych trójkątów prostokątnych. W takim przypadku wartość powierzchni jednego z nich będzie równa połowie powierzchni wynikowej figury. S prostokąta jest obliczane przez iloczyn boków. Oznaczamy tę wartość przez M. Pożądana wartość obszaru będzie równa połowie M.

Metoda 4. „Pitagorejskie spodnie”. Słynne twierdzenie Pitagorasa

Wszyscy pamiętamy jej sformułowanie: „suma kwadratów nóg…”. Ale nie każdy może

powiedz, a tu jakieś "spodnie". Faktem jest, że początkowo Pitagoras studiował związek zbudowany na bokach trójkąta prostokątnego. Po zidentyfikowaniu wzorów w proporcjach boków kwadratów był w stanie wyprowadzić znaną nam wszystkim formułę. Może być stosowany, gdy wartość jednej ze stron jest nieznana.

Metoda 5. Jak znaleźć pole trójkąta prostokątnego za pomocą wzoru Herona

To także dość proste obliczenie. Formuła polega na wyrażeniu pola trójkąta za pomocą wartości liczbowych jego boków. Do obliczeń musisz znać wielkość wszystkich boków trójkąta.

S = (p-AC)*(p-BC), gdzie p = (AB+BC+AC)*0,5

Oprócz powyższego istnieje wiele innych sposobów na znalezienie wielkości tak tajemniczej postaci jak trójkąt. Wśród nich: obliczenia metodą okręgu wpisanego lub opisanego, obliczenia za pomocą współrzędnych wierzchołków, wykorzystanie wektorów, wartości bezwzględnych, sinusów, stycznych.