Matricový zápis kvadratického tvaru má tvar. Pozitívne určité kvadratické formy
Pozitívne určité kvadratické formy
Definícia. Kvadratický tvar z n sa volá neznámy kladné definitívne, ak sa jeho poradie rovná kladnému indexu zotrvačnosti a rovná sa počtu neznámych.
Veta. Kvadratická forma je pozitívne definitívna vtedy a len vtedy, ak má kladné hodnoty na akejkoľvek nenulovej množine premenných hodnôt.
Dôkaz. Nech je kvadratická forma nedegenerovaná lineárna transformácia neznámych
vrátil do normálu
.
Pre každú nenulovú množinu premenných hodnôt aspoň jedno z čísel 
odlišný od nuly, t.j. . Nevyhnutnosť vety je dokázaná.
Predpokladajme, že kvadratická forma nadobúda kladné hodnoty na akejkoľvek nenulovej množine premenných, ale jej index zotrvačnosti je kladný. Nedegenerovanou lineárnou transformáciou neznámych
Vráťme to do normálu. Bez straty všeobecnosti môžeme predpokladať, že v tomto normálnom tvare druhá mocnina poslednej premennej buď chýba, alebo do nej vstupuje so znamienkom mínus, t.j. 
, kde alebo . Predpokladajme, že ide o nenulovú množinu hodnôt premenných získaných ako výsledok riešenia systému lineárnych rovníc
V tomto systéme sa počet rovníc rovná počtu premenných a determinant systému je nenulový. Podľa Cramerovej vety má systém jedinečné riešenie a je nenulové. Pre túto sadu. Rozpor s podmienkou. Dostávame sa k rozporu s predpokladom, ktorý dokazuje dostatočnosť vety.
Pomocou tohto kritéria nie je možné z koeficientov určiť, či je kvadratická forma kladne definitná. Odpoveď na túto otázku dáva iná veta, pre formuláciu ktorej uvádzame ešte jeden pojem. Hlavná diagonálna matica Minors sú maloletí umiestnení v jeho ľavom hornom rohu:
,
, 
, … , 
.
Veta.Kvadratická forma je pozitívne definitívna vtedy a len vtedy, ak sú všetky jej hlavné diagonálne minory kladné.
Dôkaz vykonáme metódou úplnej matematickej indukcie na čísle n premenné kvadratického tvaru f.
Hypotéza indukcie. Predpokladajme, že pre kvadratické formy s menším počtom premenných n tvrdenie je správne.
Zvážte kvadratickú formu z n premenných. Zhromaždite v jednej zátvorke všetky výrazy obsahujúce . Zvyšné členy tvoria v premenných kvadratickú formu. Podľa indukčnej hypotézy je tvrdenie pravdivé.
Predpokladajme, že kvadratická forma je pozitívne definitívna. Potom je kvadratická forma tiež pozitívne definitívna. Ak predpokladáme, že to tak nie je, potom existuje nenulová množina premenných hodnôt 
, pre ktoré 
a zodpovedajúcim spôsobom, 
, čo je v rozpore s tým, že kvadratická forma je pozitívne definitívna. Podľa indukčnej hypotézy sú všetky hlavné diagonálne minory kvadratickej formy kladné, t.j. všetky prvé hlavné neplnoleté kvadratickej formy f sú pozitívne. Posledná hlavná moll kvadratického tvaru –
je determinantom jeho matice. Tento determinant je kladný, keďže jeho znamienko sa zhoduje so znamienkom matice jeho normálnej formy, t.j. so znakom determinantu matice identity.
Nech sú všetky hlavné diagonálne minority kvadratickej formy kladné, potom všetky hlavné diagonálne minority kvadratickej formy sú kladné z rovnosti 
. Podľa indukčnej hypotézy je kvadratická forma pozitívne definitívna, teda dochádza k nedegenerovanej lineárnej transformácii premenných, ktorá redukuje formu na formu súčtu štvorcov nových premenných . Táto lineárna transformácia môže byť rozšírená na nedegenerovanú lineárnu transformáciu všetkých premenných nastavením . Kvadratická forma sa touto transformáciou redukuje na formu
Pojem kvadratickej formy. Matica kvadratického tvaru. Kanonická forma kvadratickej formy. Lagrangeova metóda. Normálna forma kvadratickej formy. Hodnosť, index a podpis kvadratickej formy. Pozitívna určitá kvadratická forma. Kvadriky.
Koncept kvadratického tvaru: funkcia na vektorovom priestore zadaná homogénnym polynómom druhého stupňa v súradniciach vektora.
kvadratický tvar od n neznámy 
sa nazýva súčet, pričom každý člen je buď druhou mocninou jednej z týchto neznámych, alebo súčinom dvoch rôznych neznámych.
Kvadratická matica: Matica sa v danom základe nazýva matica kvadratického tvaru. Ak sa charakteristika poľa nerovná 2, môžeme predpokladať, že matica kvadratickej formy je symetrická, teda .
Napíšte maticu kvadratického tvaru:
teda
Vo forme vektorovej matice je kvadratická forma:
A , kde 
Kanonická forma kvadratickej formy: Kvadratická forma sa nazýva kanonická, ak sú všetky 
t.j.
Akákoľvek kvadratická forma môže byť redukovaná na kanonickú formu pomocou lineárnych transformácií. V praxi sa zvyčajne používajú nasledujúce metódy.
Lagrangeova metóda : postupný výber celých štvorcov. Napríklad ak
Potom sa podobný postup vykoná s kvadratickou formou 
atď. Ak je v kvadratickej forme všetko, len nie je 
potom sa po predbežnej transformácii vec zredukuje na uvažovaný postup. Ak teda napr 
Normálna forma kvadratickej formy je: Normálna kvadratická forma je kanonická kvadratická forma, v ktorej sú všetky koeficienty rovné +1 alebo -1.
Hodnosť, index a podpis kvadratickej formy: Hodnosť kvadratickej formy A nazývaná hodnosť matice A. Hodnosť kvadratickej formy sa pri nedegenerovaných transformáciách neznámych nemení.
Počet negatívnych koeficientov sa nazýva index negatívneho tvaru.
Počet kladných členov v kanonickej forme sa nazýva kladný index zotrvačnosti kvadratickej formy, počet záporných členov sa nazýva negatívny index. Rozdiel medzi kladnými a zápornými indexmi sa nazýva podpis kvadratickej formy
Pozitívna určitá kvadratická forma: Skutočná kvadratická forma 
sa nazýva pozitívne-definitívne (negatívne-definičné), ak pre akékoľvek reálne hodnoty premenných, ktoré nie sú súčasne rovné nule
. (36)
V tomto prípade sa matica nazýva aj pozitívne definitná (negatívne definitná).
Trieda pozitívne-určitých (negatívno-určitých) foriem je súčasťou triedy nezáporných (resp. nepozitívnych) foriem.
štvorkolky: Quadric - n-rozmerná hyperplocha v n+1-rozmerný priestor, definovaný ako množina núl polynómu druhého stupňa. Ak zadáte súradnice ( X 1 , X 2 , x n+1 ) (v euklidovskom alebo afinnom priestore) má všeobecná kvadrická rovnica tvar
Táto rovnica môže byť prepísaná kompaktnejšie v maticovom zápise:
kde x = ( X 1 , X 2 , x n+1) je riadkový vektor, X T je transponovaný vektor, Q je matica veľkostí ( n+1)×( n+1) (predpokladá sa, že aspoň jeden z jeho prvkov je nenulový), P je riadkový vektor a R je konštanta. Najčastejšie sa kvadriky uvažujú nad skutočnými alebo komplexnými číslami. Definícia môže byť rozšírená na kvadriky v projektívnom priestore, pozri nižšie.
Vo všeobecnosti je množina núl systému polynomických rovníc známa ako algebraická varieta. Kvadrika je teda (afinná alebo projektívna) algebraická varieta druhého stupňa a kodimenzie 1.
Premeny roviny a priestoru.
Definícia rovinnej transformácie. Definícia pohybu. pohybové vlastnosti. Dva typy pohybov: pohyb prvého druhu a pohyb druhého druhu. Príklady pohybu. Analytické vyjadrenie pohybu. Klasifikácia rovinných pohybov (v závislosti od prítomnosti pevných bodov a invariantných čiar). Skupina pohybov roviny.
Definícia rovinnej transformácie: Definícia. Nazýva sa rovinná transformácia, ktorá zachováva vzdialenosť medzi bodmi pohyb(alebo posunutie) roviny. Rovinná transformácia sa nazýva afinný, ak vezme ľubovoľné tri body ležiace na tej istej priamke na tri body tiež ležiace na tej istej priamke a zároveň zachová jednoduchý vzťah troch bodov.
Definícia pohybu: Ide o transformáciu tvaru, ktorá zachováva vzdialenosti medzi bodmi. Ak sú dve figúry navzájom presne spojené pomocou pohybu, potom sú tieto figúry rovnaké, rovnaké.
Vlastnosti pohybu: každý pohyb roviny zachovávajúci orientáciu je buď rovnobežný posun alebo rotácia, každý pohyb roviny meniaci orientáciu je buď osová súmernosť alebo posuvná súmernosť. Body ležiace na priamke pri pohybe prechádzajú do bodov ležiacich na priamke a poradie ich vzájomného usporiadania je zachované. Pri pohybe sú zachované uhly medzi polpriamkami.
Dva typy pohybov: pohyb prvého druhu a pohyb druhého druhu: Pohyby prvého druhu sú pohyby, ktoré zachovávajú orientáciu základov určitej postavy. Môžu byť realizované nepretržitými pohybmi.
Pohyby druhého druhu sú také pohyby, ktoré menia orientáciu základov na opačnú. Nedajú sa realizovať nepretržitými pohybmi.
Príklady pohybov prvého druhu sú translácia a rotácia okolo priamky a pohyby druhého druhu sú stredové a zrkadlové symetrie.
Zloženie ľubovoľného počtu pohybov prvého druhu je pohybom prvého druhu.
Skladba párneho počtu pohybov druhého druhu je pohybom 1. druhu a skladba nepárneho počtu pohybov 2. druhu je pohybom 2. druhu.
Príklady pohybu:Paralelný prenos. Nech a je daný vektor. Paralelný prenos k vektoru a je zobrazenie roviny na seba, v ktorom je každý bod M zobrazený do bodu M 1, pričom vektor MM 1 je rovný vektoru a.
Paralelný preklad je pohyb, pretože ide o mapovanie roviny na seba, pričom sa zachovávajú vzdialenosti. Vizuálne možno tento pohyb znázorniť ako posun celej roviny v smere daného vektora a jeho dĺžkou.
Otočiť . Označme bod O na rovine ( stred otáčania) a nastavte uhol α ( uhol natočenia). Otočenie roviny okolo bodu O o uhol α je zobrazenie roviny na seba, v ktorom je každý bod M zobrazený do bodu M 1, pričom OM = OM 1 a uhol MOM 1 je rovný α. V tomto prípade bod O zostáva na svojom mieste, t.j. zobrazuje sa sám o sebe a všetky ostatné body sa otáčajú okolo bodu O rovnakým smerom - v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek (na obrázku je znázornené otáčanie proti smeru hodinových ručičiek).
Obrat je pohyb, pretože ide o mapovanie roviny na seba, čím sa zachovávajú vzdialenosti.
Analytické vyjadrenie pohybu: analytické spojenie medzi súradnicami predobrazu a obrazom bodu má tvar (1).
Klasifikácia rovinných pohybov (v závislosti od prítomnosti pevných bodov a invariantných čiar): Definícia:
Bod v rovine je invariantný (pevný), ak sa pri danej transformácii transformuje na seba.
Príklad: Pri stredovej symetrii je bod stredu symetrie invariantný. Pri otáčaní je bod stredu otáčania nemenný. Pri osovej súmernosti je priamka invariantná - os súmernosti je priamka invariantných bodov.
Veta: Ak pohyb nemá invariantný bod, potom má aspoň jeden invariantný smer.
Príklad: Paralelný prenos. Čiary rovnobežné s týmto smerom sú v skutočnosti ako celok invariantné, hoci nepozostávajú z invariantných bodov.
Veta: Ak sa nejaký lúč pohybuje, lúč sa prekladá do seba, potom je tento pohyb buď identickou transformáciou, alebo symetriou vzhľadom na priamku obsahujúcu daný lúč.
Preto podľa prítomnosti invariantných bodov alebo obrazcov je možné klasifikovať pohyby.
| Názov pohybu | Invariantné body | Invariantné čiary |
| Pohyb prvého druhu. | ||
| 1. - obrat | (v strede) - 0 | Nie |
| 2. Transformácia identity | všetky body roviny | všetko rovno |
| 3. Stredová symetria | bod 0 - stred | všetky čiary prechádzajúce bodom 0 |
| 4. Paralelný prenos | Nie | všetko rovno |
| Pohyb druhého druhu. | ||
| 5. Osová súmernosť. | súbor bodov | os symetrie (priama) všetko rovné |
Skupina pohybu v rovine: V geometrii hrajú významnú úlohu náhodné skupiny postáv. Ak - nejaká postava v rovine (alebo v priestore), potom môžeme uvažovať o množine všetkých tých pohybov roviny (alebo priestoru), v ktorých postava prechádza do seba.
Táto sada je skupina. Napríklad v prípade rovnostranného trojuholníka skupina rovinných pohybov, ktoré trojuholník do seba vkladajú, pozostáva zo 6 prvkov: rotácie o uhly okolo bodu a symetrie okolo troch čiar.
Sú znázornené na obr. 1 s červenými čiarami. Prvky samokoincidenčnej grupy pravidelného trojuholníka možno špecifikovať aj iným spôsobom. Aby sme to objasnili, očíslujme vrcholy pravidelného trojuholníka číslami 1, 2, 3. možno podmienečne zadať vo forme jednej z týchto zátvoriek:
atď.
kde čísla 1, 2, 3 označujú čísla tých vrcholov, do ktorých vrcholy 1, 2, 3 prechádzajú v dôsledku uvažovaného pohybu.
Projektívne priestory a ich modely.
Koncepcia projektívneho priestoru a model projektívneho priestoru. Základné fakty projektívnej geometrie. Zhluk čiar so stredom v bode O je projektívny rovinný model. projektívne body. Predĺžená rovina je modelom projektívnej roviny. Rozšírený trojrozmerný afinný alebo euklidovský priestor je projektívny priestorový model. Obrázky rovinných a priestorových útvarov v paralelnom dizajne.
Koncepcia projektívneho priestoru a model projektívneho priestoru:
Projektívny priestor nad poľom je priestor pozostávajúci z čiar (jednorozmerných podpriestorov) nejakého lineárneho priestoru nad daným poľom. Rovné medzery sú tzv bodky projektívny priestor. Táto definícia sa hodí na zovšeobecnenie na ľubovoľný orgán
Ak má dimenziu , potom sa dimenzia projektívneho priestoru nazýva číslo a samotný projektívny priestor sa označuje a nazýva sa asociovaný s (na označenie toho sa používa notácia).
Prechod z vektorového priestoru dimenzie do zodpovedajúceho projektívneho priestoru sa nazýva projektivizácia priestory.
Body možno popísať pomocou homogénnych súradníc.
Základné fakty projektívnej geometrie: Projektívna geometria je oblasť geometrie, ktorá študuje projektívne roviny a priestory. Hlavnou črtou projektívnej geometrie je princíp duality, ktorý mnohým dizajnom dodáva ladnú symetriu. Projektívnu geometriu možno študovať tak z čisto geometrického hľadiska, ako aj z analytického (pomocou homogénnych súradníc) a salgebraického hľadiska, pričom sa projektívna rovina považuje za štruktúru nad poľom. Často a historicky sa skutočná projektívna rovina považuje za euklidovskú rovinu s pridaním „priamky v nekonečne“.
Zatiaľ čo vlastnosti obrazcov, ktorými sa zaoberá euklidovská geometria, sú metrický(špecifické hodnoty uhlov, segmentov, plôch) a rovnocennosť čísel je ekvivalentná ich kongruencia(t. j. keď je možné postavy prekladať do seba pohybom pri zachovaní metrických vlastností), existujú „hlbšie“ vlastnosti geometrických útvarov, ktoré sú zachované transformáciami všeobecnejšieho typu ako je pohyb. Projektívna geometria študuje vlastnosti útvarov, ktoré sú v rámci triedy nemenné projektívne transformácie, ako aj tieto premeny samotné.
Projektívna geometria dopĺňa Euklidovu tým, že poskytuje krásne a jednoduché riešenia mnohých problémov komplikovaných prítomnosťou rovnobežných čiar. Projektívna teória kužeľosečiek je obzvlášť jednoduchá a elegantná.
Existujú tri hlavné prístupy k projektívnej geometrii: nezávislá axiomatizácia, pridanie k euklidovskej geometrii a štruktúra nad poľom.
Axiomatizácia
Projektívny priestor možno definovať pomocou inej sady axióm.
Coxeter poskytuje nasledovné:
1. Existuje čiara a bod na nej nie je.
2. Na každom riadku sú aspoň tri body.
3. Cez dva body je možné nakresliť presne jednu priamku.
4. Ak A, B, C, A D rôzne body a AB A CD pretínajú sa teda AC A BD pretínajú.
5. Ak ABC je rovina, potom aspoň jeden bod nie je v rovine ABC.
6. Dve odlišné roviny sa pretínajú aspoň v dvoch bodoch.
7. Tri diagonálne body úplného štvoruholníka nie sú kolineárne.
8. Ak sú na priamke tri body X X
Projektívna rovina (bez tretieho rozmeru) je definovaná trochu odlišnými axiómami:
1. Cez dva body je možné nakresliť presne jednu priamku.
2. Akékoľvek dve čiary sa pretínajú.
3. Existujú štyri body, z ktorých nie sú tri kolineárne.
4. Tri diagonálne body úplných štvoruholníkov nie sú kolineárne.
5. Ak sú na priamke tri body X sú invariantné pod projektivitou φ, potom sú všetky body na X sú invariantné vzhľadom na φ.
6. Desarguesova veta: Ak sú dva trojuholníky perspektívne cez bod, potom sú perspektívne cez priamku.
V prítomnosti tretieho rozmeru možno Desarguesovu vetu dokázať bez uvedenia ideálneho bodu a priamky.
Predĺžená rovina - model projektívnej roviny: v afinnom priestore A3 zoberte zväzok priamok S(O) so stredom v bode O a rovinu Π neprechádzajúcu stredom zväzku: O 6∈ Π. Zväzok čiar v afinnom priestore je modelom projektívnej roviny. Nastavme zobrazenie množiny bodov roviny Π na množinu priamok zväzku S (Sakra, modli sa, ak máš túto otázku, prepáč)
Rozšírený trojrozmerný afinný alebo euklidovský priestor - projektívny priestorový model:
Aby bolo zobrazenie surjektívne, zopakujeme proces formálneho rozšírenia afinnej roviny Π na projekčnú rovinu Π, pričom rovinu Π doplníme množinou nevlastných bodov (M∞) tak, že: ((M∞)) = P0(O). Keďže pri zobrazení je inverzným obrazom každej roviny zväzku rovín S(O) priamka na rovine d, je zrejmé, že množina všetkých nevlastných bodov predĺženej roviny: Π = Π ∩ (M∞), (M∞), je nevlastnou priamkou d∞ predĺženej roviny, čo je inverzný rovinný obraz roviny P0(O)= (0)ΠΠ0: ). (I.23) Dohodnime sa, že tu a nižšie budeme poslednú rovnosť P0(O) = Π0 chápať v zmysle rovnosti množín bodov, ale obdarených rôznymi štruktúrami. Doplnením afinnej roviny o nevhodnú priamku sme zabezpečili, že zobrazenie (I.21) sa stane bijektívnym na množine všetkých bodov predĺženej roviny:
Obrázky plochých a priestorových postáv v paralelnom dizajne:
V stereometrii sa študujú priestorové postavy, ale na kresbe sú zobrazené ako ploché postavy. Ako by sa teda mal priestorový obrazec zobraziť v rovine? Zvyčajne v geometrii sa na to používa paralelný dizajn. Nech je p nejaké lietadlo, l- priamka, ktorá ho pretína (obr. 1). Prostredníctvom ľubovoľného bodu A, nepatriaci do radu l nakreslite čiaru rovnobežnú s čiarou l. Priesečník tejto priamky s rovinou p sa nazýva rovnobežný priemet bodu A do roviny p v smere priamky l. Označme to A". Ak bod A patrí do línie l, potom rovnobežné premietanie A k rovine p sa považuje priesečník priamky l s rovinou p.
Teda každý bod A priestor sa mapuje do jeho projekcie A" na rovinu p. Táto zhoda sa nazýva rovnobežné premietanie na rovinu p v smere priamky l.
Skupina projektívnych transformácií. Aplikácia na riešenie problémov.
Koncept projektívnej transformácie roviny. Príklady projektívnych rovinných transformácií. Vlastnosti projektívnych transformácií. Homológia, vlastnosti homológie. Skupina projektívnych transformácií.
Koncept projektívnej rovinnej transformácie: Pojem projektívna transformácia zovšeobecňuje pojem centrálnej projekcie. Ak vykonáme stredový priemet roviny α na nejakú rovinu α 1 , potom priemet α 1 na α 2 , α 2 na α 3 , ... a nakoniec nejakú rovinu α n opäť na α 1 , potom zloženie všetkých týchto projekcií je projektívnou transformáciou roviny α; takýto reťazec môže obsahovať paralelné výstupky.
Príklady transformácií projektívnej roviny: Projektívna transformácia rozšírenej roviny je jej mapovanie jedna k jednej na seba, čím sa zachováva kolinearita bodov, alebo inými slovami, obrazom akejkoľvek priamky je priamka. Akákoľvek projektívna transformácia je zložením reťazca centrálnych a paralelných projekcií. Afinná transformácia je špeciálnym prípadom projektívnej, v ktorej priamka v nekonečne ide do seba.
Vlastnosti projektívnych transformácií:
Pri projektívnej transformácii sú tri body, ktoré nie sú na priamke, mapované na tri body, ktoré nie sú na priamke.
Pri projektívnej transformácii rám prechádza do rámca.
Pri projektívnej transformácii prechádza čiara do priamky, snop prechádza do snopu.
Homológia, vlastnosti homológie:
Projektívna transformácia roviny, ktorá má priamku invariantných bodov a teda ceruzku s invariantnými priamkami, sa nazýva homológia.
1. Čiara prechádzajúca cez zodpovedajúce nezhodné homológne body je invariantná čiara;
2. Čiary prechádzajúce cez zodpovedajúce nezhodné homológne body patria tej istej ceruzke, ktorej stred je invariantný bod.
3. Bod, jeho obraz a stred homológie ležia na tej istej priamke.
Skupina projektívnych transformácií: uvažujme projektívne zobrazenie projektívnej roviny P 2 na seba, teda projektívnu transformáciu tejto roviny (P 2 ’ = P 2).
Ako predtým, zloženie f projektívnych transformácií f 1 a f 2 projektívnej roviny P 2 je výsledkom postupného vykonávania transformácií f 1 a f 2: f = f 2 °f 1 .
Veta 1: Množina H všetkých projektívnych transformácií projektívnej roviny P 2 je grupa zložená z projektívnych transformácií.
Kvadratické formy
kvadratická forma f(x 1, x 2,...,x n) z n premenných sa nazýva súčet, pričom každý člen je buď druhou mocninou jednej z premenných, alebo súčinom dvoch rôznych premenných, braných s nejakým koeficientom: f(x 1, x 2,...,x n) = (a ij = a ji).
Matica A zložená z týchto koeficientov sa nazýva matica kvadratickej formy. To je vždy symetrické matica (t. j. matica symetrická podľa hlavnej uhlopriečky, a ij = a ji).
V maticovom zápise má kvadratická forma tvar f(X) = X T AX, kde
Naozaj
Napríklad napíšme kvadratickú formu v maticovom tvare.
Na tento účel nájdeme maticu kvadratickej formy. Jeho diagonálne prvky sa rovnajú koeficientom na druhej mocnine premenných a zostávajúce prvky sa rovnajú polovici zodpovedajúcich koeficientov kvadratickej formy. Preto
Maticový stĺpec premenných X nech získame nedegenerovanou lineárnou transformáciou maticového stĺpca Y, t.j. X = CY, kde C je nedegenerovaná matica rádu n. Potom kvadratická forma
f(X) \u003d X TAX \u003d (CY) T A (CY) \u003d (Y T C T) A (CY) \u003d Y T (CT AC) Y.
Pri nedegenerovanej lineárnej transformácii C má teda matica kvadratickej formy tvar: A * = CT AC.
Nájdime napríklad kvadratickú formu f(y 1, y 2) získanú z kvadratickej formy f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineárnou transformáciou.
Kvadratická forma je tzv kanonický(Má kanonický pohľad) ak všetky jeho koeficienty a ij = 0 pre i ≠ j, t.j.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 =.
Jeho matica je diagonálna.
Veta(tu nie je uvedený dôkaz). Akákoľvek kvadratická forma môže byť redukovaná na kanonickú formu pomocou nedegenerovanej lineárnej transformácie.
Napríklad zredukujme na kanonickú formu kvadratickú formu
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.
Ak to chcete urobiť, najprv vyberte úplný štvorec pre premennú x 1:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5x 2 x 3 - x.
Teraz vyberieme celý štvorec pre premennú x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) - (5/100) x 3 2 \u003d
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.
Potom nedegenerovaná lineárna transformácia y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 a y 3 \u003d x 3 redukuje túto kvadratickú formu na kanonickú formu f (y 1, y 2, y 3 2) 2 - 2 (2 y 2) - 2 - 2 y 3 2.
Všimnite si, že kanonická forma kvadratickej formy je definovaná nejednoznačne (rovnaká kvadratická forma môže byť redukovaná na kanonickú formu rôznymi spôsobmi). Avšak kanonické formy získané rôznymi metódami majú množstvo spoločných vlastností. Najmä počet členov s kladnými (zápornými) koeficientmi kvadratickej formy nezávisí od toho, ako je forma redukovaná na túto formu (napríklad v uvažovanom príklade budú vždy dva záporné a jeden kladný koeficient). Táto vlastnosť je tzv zákon zotrvačnosti kvadratických foriem.
Overme si to zredukovaním tej istej kvadratickej formy na kanonickú formu iným spôsobom. Začnime transformáciu s premennou x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d -3
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2 x 1 2 \u003d
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \u003d f (y 1, y 2, y 3) \u0012 -3r
-3y 2 2 + 2y 3 2, kde y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6) x 3 a y 3 \u003d x 1. Tu je kladný koeficient 2 pri y 3 a dva negatívne koeficienty (-3) pri y 1 a y 2 (a pomocou inej metódy sme dostali kladný koeficient 2 pri y 1 a dva negatívne koeficienty - (-5) pri y 2 a (-1/20) pri y 3).
Treba si tiež uvedomiť, že hodnosť matice kvadratickej formy, tzv hodnosť kvadratickej formy, sa rovná počtu nenulových koeficientov kanonickej formy a pri lineárnych transformáciách sa nemení.
Kvadratická forma f(X) sa nazýva pozitívne (negatívne) istý, ak pre všetky hodnoty premenných, ktoré nie sú súčasne rovné nule, je kladné, t.j. f(X) > 0 (záporné, t.j.
f(X)< 0).
Napríklad kvadratická forma f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 je pozitívne definitívna, pretože je súčet štvorcov a kvadratická forma f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 je záporne určitá, pretože predstavuje to môže byť reprezentované ako f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.
Vo väčšine praktických situácií je stanovenie znamienkovej určitosti kvadratickej formy o niečo ťažšie, preto sa na to používa jedna z nasledujúcich viet (formulujeme ich bez dôkazov).
Veta. Kvadratická forma je kladná (záporná) definitívna vtedy a len vtedy, ak sú všetky vlastné hodnoty jej matice kladné (záporné).
Veta (Sylvesterovo kritérium). Kvadratická forma je kladne definitívna vtedy a len vtedy, ak sú všetky hlavné minority matice tejto formy kladné.
Major (roh) moll K-tý rád matice A n-tého rádu sa nazýva determinant matice, zložený z prvých k riadkov a stĺpcov matice A ().
Všimnite si, že pri záporno-definičných kvadratických formách sa znamienka hlavných maloletých striedajú a vedľajší prvok prvého poriadku musí byť záporný.
Napríklad skúmame kvadratickú formu f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 na znamienkovú určitosť.
= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2 l - 3 l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5 l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17; 
. Preto je kvadratická forma pozitívne definitívna.
Metóda 2. Hlavná vedľajšia matica prvého rádu A D 1 = a 11 = 2 > 0. Hlavná vedľajšia matica druhého rádu D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Preto podľa Sylvesterovho kritéria je kvadratická forma pozitívne definitívna.
Skúmame inú kvadratickú formu na určenie znamienka, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.
Metóda 1. Zostrojme maticu kvadratickej formy А = . Charakteristická rovnica bude mať tvar 
= (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 \u003d (6 + 2 l + 3 l + l 2) - 4 \u003d l 2 + 5 l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17; 
. Preto je kvadratická forma negatívne definitívna.
Štvorcové tvary.
Význam foriem. Sylvesterovo kritérium
Prídavné meno „štvorcový“ hneď napovedá, že tu niečo súvisí so štvorcom (druhý stupeň) a veľmi skoro spoznáme to „niečo“ a čo je forma. Hneď sa ukázalo :)
Vitajte v mojej novej lekcii a ako okamžité zahriatie sa pozrieme na pruhovaný tvar lineárne. Lineárna forma premenných volal homogénne Polynóm 1. stupňa:
- niektoré konkrétne čísla *
(predpokladáme, že aspoň jeden z nich sa líši od nuly) a sú to premenné, ktoré môžu nadobúdať ľubovoľné hodnoty.
* V tejto téme budeme len uvažovať reálne čísla .
S pojmom „homogénny“ sme sa už stretli v lekcii o homogénne sústavy lineárnych rovníc, a v tomto prípade to znamená, že polynóm nemá pridanú konštantu .
Napríklad: 
– lineárny tvar dvoch premenných
Teraz je tvar kvadratický. kvadratická forma premenných volal homogénne polynóm 2. stupňa, z ktorých každé obdobie obsahuje buď druhú mocninu premennej resp dvojitý súčin premenných. Takže napríklad kvadratická forma dvoch premenných má nasledujúci tvar:
Pozor! Toto je štandardný záznam a nemusíte v ňom nič meniť! Napriek „hroznému“ vzhľadu je tu všetko jednoduché - dvojité dolné indexy konštánt signalizujú, ktoré premenné sú zahrnuté v jednom alebo druhom termíne:
– tento výraz obsahuje produkt a (štvorec);
- tu je práca;
- a tu je práca.
- Okamžite očakávam hrubú chybu, keď stratia "mínus" koeficientu, pričom si neuvedomujú, že sa týka pojmu:
Niekedy je v duchu „školská“ verzia dizajnu, ale to len niekedy. Mimochodom, všimnite si, že konštanty nám tu nehovoria vôbec nič, a preto je ťažšie zapamätať si „ľahký zápis“. Najmä keď je premenných viac.
A kvadratická forma troch premenných už obsahuje šesť pojmov:
... prečo sú "dva" multiplikátory uvedené v "zmiešaných" podmienkach? Je to pohodlné a čoskoro bude jasné prečo.
Zapíšeme si však všeobecný vzorec, je vhodné ho usporiadať pomocou „hárka“:
- pozorne si preštudujte každý riadok - nie je na tom nič zlé!
Kvadratická forma obsahuje členy so štvorcovými premennými a členy s ich párovými súčinmi (cm. kombinatorický vzorec kombinácií) . Nič iné - žiadne „osamelé x“ a žiadna pridaná konštanta (potom nedostanete kvadratickú formu, ale heterogénne polynóm 2. stupňa).
Maticový zápis kvadratického tvaru
V závislosti od hodnôt môže uvažovaná forma nadobúdať kladné aj záporné hodnoty a to isté platí pre akúkoľvek lineárnu formu - ak je aspoň jeden z jej koeficientov nenulový, môže sa ukázať ako kladný alebo záporný (v závislosti od hodnôt ).
Táto forma sa nazýva striedavý. A ak je všetko transparentné s lineárnou formou, potom sú veci oveľa zaujímavejšie s kvadratickou formou:
Je celkom jasné, že táto forma môže nadobudnúť hodnoty akéhokoľvek znamenia, teda kvadratická forma môže byť aj striedavá.
Nemusí to byť:
– vždy, pokiaľ nie sú obe rovné nule.
- pre hocikoho vektor okrem nuly.
A všeobecne povedané, ak pre nejaké nenulové vektor , , potom sa nazýva kvadratická forma kladné definitívne; Ak potom negatívny definitívny.
A všetko by bolo v poriadku, ale jednoznačnosť kvadratickej formy je viditeľná iba na jednoduchých príkladoch a táto viditeľnosť sa stráca už s miernou komplikáciou: 
– ?
Dalo by sa predpokladať, že forma je pozitívne definovaná, ale je to naozaj tak? Zrazu existujú hodnoty, pri ktorých je menej ako nula?
Na tento účet, tam teorém: Keby všetci vlastné hodnoty matice kvadratickej formy sú kladné * , potom je to pozitívne definované. Ak sú všetky negatívne, potom je to negatívne.
* Teoreticky je dokázané, že všetky vlastné hodnoty skutočnej symetrickej matice platné
Napíšme maticu vyššie uvedeného tvaru: 
a z rovnice 
poďme ju nájsť vlastné hodnoty:
Riešime staré dobré kvadratická rovnica:
, teda formulár 
je pozitívne definovaný, t.j. pre všetky nenulové hodnoty je väčšia ako nula.
Zdá sa, že zvažovaná metóda funguje, no je tu jedno veľké ALE. Už pre maticu „tri po troch“ je hľadanie vlastných hodnôt zdĺhavá a nepríjemná úloha; s vysokou pravdepodobnosťou dostanete polynóm 3. stupňa s iracionálnymi koreňmi.
Ako byť? Existuje jednoduchší spôsob!
Sylvesterovo kritérium
Nie, nie Sylvester Stallone :) Najprv vám pripomeniem, čo hranatých maloletých matice. Toto determinanty 
ktorý „rastie“ z jeho ľavého horného rohu: 
a posledný sa presne rovná determinantu matice.
Teraz v skutočnosti kritérium:
1) Definovaná kvadratická forma pozitívne vtedy a len vtedy, ak VŠETKY jeho uhlové minority sú väčšie ako nula: .
2) Definovaná kvadratická forma negatívne práve vtedy, ak sa jeho uhlové minory striedajú v znamienku, pričom 1. minor je menší ako nula: , , ak je párne alebo , ak je nepárne.
Ak má aspoň jeden hranatý vedľajší znak opačné znamienko, potom tvar znamenie-striedanie. Ak sú uhloví neplnoletí znamienka „toho“, ale sú medzi nimi nuly, ide o špeciálny prípad, ktorý rozoberiem o niečo neskôr, keď klikneme na bežnejšie príklady.
Poďme analyzovať uhlové minority matice 
:
A to nám hneď hovorí, že forma nie je negatívne určená.
Záver: všetky vedľajšie uhly sú väčšie ako nula, takže tvar 
pozitívne definované.
Existuje rozdiel oproti metóde vlastných hodnôt? ;)
Maticu tvaru zapisujeme z Príklad 1:
jeho prvý uhlový moll a druhý 
, z čoho vyplýva, že tvar je znamienkovo striedavý, t.j. v závislosti od hodnôt môže nadobúdať kladné aj záporné hodnoty. To je však také zrejmé.
Zoberte formu a jej matricu Príklad 2:
tu vobec bez nadhladu nechapem. Ale s kritériom Sylvester je nám to jedno:
, teda forma rozhodne nie je negatívna.
, a rozhodne nie pozitívne. (pretože všetci neplnoletí musia byť pozitívni).
Záver: tvar je striedavý.
Príklady zahrievania na samoriešenie:
Príklad 4
Preskúmajte kvadratické formy na určenie znamienka
A) 
V týchto príkladoch je všetko hladké (pozri koniec lekcie), ale v skutočnosti je potrebné takúto úlohu dokončiť Sylvesterovo kritérium nemusí byť dostatočné.
Ide o to, že existujú „hraničné“ prípady, a to: ak pre nejaké nenulové vector , potom je definovaný tvar nezáporné, Ak potom nepozitívne. Tieto formy majú nenulové vektory pre ktoré .
Tu si môžete priniesť takýto „gombíkový akordeón“:
Zvýraznenie plné námestie, hneď vidíme nezápornosť tvar: , navyše sa rovná nule pre každý vektor s rovnakými súradnicami, napríklad: 
.
"Zrkadlový" príklad nepozitívne určitá forma:
a ešte triviálnejší príklad:
– tu sa tvar rovná nule pre ľubovoľný vektor , kde je ľubovoľné číslo.
Ako odhaliť nezápornosť alebo nepozitivitu formy?
Na to potrebujeme koncept hlavných maloletých
matice. Hlavná moll je vedľajšia zložená z prvkov, ktoré sú v priesečníku riadkov a stĺpcov s rovnakými číslami. Matica má teda dvoch hlavných maloletých 1. rádu:
(prvok je v priesečníku 1. riadku a 1. stĺpca);
(prvok je v priesečníku 2. riadku a 2. stĺpca),
a jedna veľká vedľajšia 2. rádu: 
- zložený z prvkov 1., 2. riadku a 1., 2. stĺpca.
Matrix "tri na tri" 
Existuje sedem hlavných maloletých a tu už musíte mávať bicepsmi:
- traja maloletí 1. rádu,
traja maloletí 2. rádu: 
- zložený z prvkov 1., 2. riadku a 1., 2. stĺpca; 
- zložený z prvkov 1., 3. riadku a 1., 3. stĺpca; 
- zložený z prvkov 2., 3. riadku a 2., 3. stĺpca,
a jeden neplnoletý 3. rádu: 
- zložený z prvkov 1., 2., 3. riadku a 1., 2. a 3. stĺpca.
Cvičenie pre pochopenie: zapíšte si všetky hlavné neplnoleté matice 
.
Na konci hodiny skontrolujeme a pokračujeme.
Schwarzeneggerovo kritérium:
1) Definovaná nenulová* kvadratická forma nezáporné vtedy a len vtedy, ak VŠETCI jej hlavné neplnoleté osoby nezáporné(väčšie alebo rovné nule).
* Nulová (degenerovaná) kvadratická forma má všetky koeficienty rovné nule.
2) Nenulový kvadratický tvar s definovanou maticou nepozitívne vtedy a len vtedy, ak je:
– hlavné maloletí I. rádu nepozitívne(menší alebo rovný nule);
sú hlavnými maloletými 2. rádu nezáporné;
– hlavné maloleté osoby 3. rádu nepozitívne(striedanie začalo);
…
– dur mol th rádu nepozitívne, ak je nepárne resp nezáporné, ak je párne.
Ak je aspoň jeden neplnoletý opačného znamienka, potom je tvar striedavý.
Pozrime sa, ako funguje kritérium vo vyššie uvedených príkladoch:
Urobme maticu tvaru a Po prvé vypočítajme uhlové neplnoleté osoby - čo ak je to pozitívne alebo negatívne definované? 
Získané hodnoty nespĺňajú Sylvesterovo kritérium, avšak druhé menšie nie negatívne, a preto je potrebné skontrolovať 2. kritérium (v prípade 2. kritéria nebude splnené automaticky, t. j. okamžite sa urobí záver o znamienkovej zmene tvaru).
Hlavne maloletí 1. rádu:
- sú pozitívne
dur moll 2. rádu: 
- nie negatívne.
Teda VŠETCI dôležití neplnoletí sú nezáporní, teda forma nezáporné.
Napíšeme maticu formulára 
, pre ktoré, samozrejme, nie je splnené kritérium Sylvester. Nedostali sme však ani opačné znamienka (pretože obe uhlové minority sa rovnajú nule). Preto kontrolujeme splnenie kritéria nezápornosti/nepozitivity. Hlavne maloletí 1. rádu:
- nie pozitívne
dur moll 2. rádu: 
- nie negatívne.
Podľa Schwarzeneggerovho kritéria (bod 2) je teda forma určená nekladne.
Teraz, plne vyzbrojení, analyzujeme zábavnejší problém:
Príklad 5
Preskúmajte kvadratickú formu na určenie znamienka
Túto formu zdobí poradie "alfa", ktoré sa môže rovnať akémukoľvek reálnemu číslu. Ale bude to len zábavnejšie rozhodnúť.
Najprv si zapíšme maticu formulára, pravdepodobne sa mnohí už prispôsobili, aby to urobili ústne: na hlavná uhlopriečka koeficienty umiestnime na štvorce a na symetrické miesta - polovičné koeficienty zodpovedajúcich „zmiešaných“ produktov:
Vypočítajme uhlové neplnoleté deti: 
Rozšírim tretí determinant pozdĺž tretieho riadku:
V tejto časti sa zameriame na špeciálnu, ale dôležitú triedu pozitívnych kvadratických foriem.
Definícia 3. Reálna kvadratická forma sa nazýva nezáporná (nekladná), ak pre akékoľvek reálne hodnoty premenných
. (35)
V tomto prípade sa symetrická matica koeficientov nazýva kladná semidefinitná (negatívna semidefinitná).
Definícia 4. Skutočná kvadratická forma sa nazýva pozitívne-definitívna (negatívne-definitívna), ak pre akékoľvek reálne hodnoty premenných, ktoré nie sú súčasne rovné nule
. (36)
V tomto prípade sa matica nazýva aj pozitívne definitná (negatívne definitná).
Trieda pozitívne-určitých (negatívno-určitých) foriem je súčasťou triedy nezáporných (resp. nepozitívnych) foriem.
Nech je uvedený nezáporný tvar. Predstavujeme to ako súčet nezávislých štvorcov:
. (37)
V tomto znázornení musia byť všetky štvorce kladné:
. (38)
V skutočnosti, ak by existovali nejaké , potom by bolo možné vybrať také hodnoty, pre ktoré
Ale potom by pre tieto hodnoty premenných mal formulár zápornú hodnotu, čo je podľa podmienky nemožné. Je zrejmé, že naopak z (37) a (38) vyplýva, že forma je kladná.
Nezáporná kvadratická forma je teda charakterizovaná rovnosťami .
Buďme teraz pozitívnou definitívnou formou. Potom aj nezáporná forma. Preto môže byť zastúpený vo forme (37), kde sú všetky kladné. Z pozitívnej vyhranenosti formy vyplýva, že . Skutočne, v prípade, že je možné zvoliť také hodnoty, ktoré nie sú súčasne rovné nule, pre ktoré by všetky zmizli. Ale potom, na základe (37), at , čo je v rozpore s podmienkou (36).
Je ľahké vidieť, že naopak, ak v (37) a sú všetky pozitívne, potom je pozitívna definitívna forma.
Inými slovami, nezáporná forma je pozitívne definitívna vtedy a len vtedy, ak nie je v jednotnom čísle.
Nasledujúca veta dáva kritérium pre pozitívnu definitívnosť tvaru vo forme nerovností, ktoré musia byť splnené koeficientmi tvaru. V tomto prípade sa používa zápis, s ktorým sme sa už stretli v predchádzajúcich častiach pre po sebe idúce hlavné neplnoleté osoby matice:
.
Veta 3. Aby bola kvadratická forma pozitívne definitná, je potrebné a postačujúce, aby nerovnosti
Dôkaz. Dostatočnosť podmienok (39) vyplýva priamo z Jacobiho vzorca (28). Nevyhnutnosť podmienok (39) je stanovená nasledovne. Z pozitívnej určitosti formy vyplýva pozitívna určitosť „orezaných“ foriem
.
Ale potom všetky tieto tvary musia byť nejednotné, t.j.
Teraz máme možnosť použiť Jacobiho vzorec (28) (pre ). Pretože na pravej strane tohto vzorca musia byť všetky štvorce kladné
Z toho vyplývajú nerovnosti (39). Veta bola dokázaná.
Keďže akákoľvek hlavná menšia matica so správnym prečíslovaním premenných môže byť umiestnená v ľavom hornom rohu, máme
Dôsledok. V pozitívne definitívnej kvadratickej forme sú všetky hlavné minority matice koeficientov kladné:
Komentujte. Z nezápornosti po sebe nasledujúcich hlavných maloletých
nesleduje nezápornosť formy . Naozaj, forma
,
kde 
, spĺňa podmienky , ale nie je nezáporná.
Existuje však nasledovné
Veta 4. Aby bola kvadratická forma nezáporná, je potrebné a postačujúce, aby všetky hlavné minority jej koeficientovej matice boli nezáporné:
Dôkaz. Uveďme pomocnú formu, ktorá je nekladná, je potrebná a postačujúca, aby nerovnosti
Súvisiace články
