Ang matrix notation ng quadratic form ay may anyo. Positibong tiyak na mga parisukat na anyo

Positibong tiyak na mga parisukat na anyo

Kahulugan. Quadratic na anyo mula sa n hindi kilala ang tawag positibong tiyak, kung ang ranggo nito ay katumbas ng positibong index ng inertia at katumbas ng bilang ng mga hindi alam.

Teorama. Ang isang parisukat na anyo ay positibong tiyak kung at kung kukuha lamang ito ng mga positibong halaga sa anumang nonzero na hanay ng mga variable na halaga.

Patunay. Hayaang ang quadratic form ay isang non-degenerate linear transformation ng mga hindi alam

bumalik sa normal

.

Para sa anumang hindi-zero na hanay ng mga variable na halaga, kahit isa sa mga numero naiiba sa zero, ibig sabihin. . Ang pangangailangan ng teorama ay napatunayan.

Ipagpalagay na ang quadratic form ay kumukuha ng mga positibong halaga sa anumang non-zero set ng mga variable, ngunit ang index of inertia nito ay positibo. Sa pamamagitan ng isang non-degenerate linear transformation ng mga hindi alam

Ibalik natin sa normal. Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, maaari nating ipagpalagay na sa normal na anyo na ito ang parisukat ng huling variable ay alinman sa wala o pumapasok dito na may minus sign, i.e. , saan o . Ipagpalagay na iyon ay isang di-zero na hanay ng mga halaga ng mga variable, na nakuha bilang isang resulta ng paglutas ng sistema ng mga linear equation

Sa sistemang ito, ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga variable at ang determinant ng system ay nonzero. Sa pamamagitan ng teorama ni Cramer, ang sistema ay may natatanging solusyon, at ito ay hindi zero. Para sa set na ito. Pagsalungat sa kondisyon. Dumating tayo sa isang kontradiksyon sa palagay, na nagpapatunay ng kasapatan ng teorama.

Gamit ang pamantayang ito, hindi posibleng matukoy mula sa mga koepisyent kung ang isang parisukat na anyo ay positibo-tiyak. Ang sagot sa tanong na ito ay ibinigay ng isa pang teorama, para sa pagbabalangkas kung saan ipinakilala namin ang isa pang konsepto. Principal Diagonal Matrix Minors ay ang mga menor de edad na matatagpuan sa itaas na kaliwang sulok:

, , , … , .

Teorama.Ang isang parisukat na anyo ay positibong tiyak kung at kung ang lahat ng pangunahing dayagonal na menor de edad nito ay positibo.

Patunay isasagawa namin sa pamamagitan ng paraan ng kumpletong mathematical induction sa numero n mga variable na anyo ng parisukat f.

Hypothesis ng induction. Ipagpalagay na para sa mga parisukat na anyo na may mas kaunting mga variable n tama ang pahayag.

Isaalang-alang ang quadratic form mula sa n mga variable. Kolektahin sa isang bracket ang lahat ng mga terminong naglalaman ng . Ang natitirang mga termino ay bumubuo ng isang parisukat na anyo sa mga variable. Sa pamamagitan ng induction hypothesis, ang pahayag ay totoo para dito.

Ipagpalagay na ang parisukat na anyo ay positibong tiyak. Pagkatapos ang quadratic form ay positibong tiyak din. Kung ipagpalagay natin na hindi ito ang kaso, mayroong isang non-zero na hanay ng mga variable na halaga , para sa at kaugnay nito, , na sumasalungat sa katotohanan na ang parisukat na anyo ay positibong tiyak. Sa pamamagitan ng induction hypothesis, lahat ng principal diagonal minors ng isang quadratic form ay positibo, i.e. lahat ng mga unang pangunahing menor de edad ng isang parisukat na anyo f ay positibo. Huling pangunahing minor ng isang parisukat na anyo – ay ang determinant ng matrix nito. Ang determinant na ito ay positibo, dahil ang tanda nito ay kasabay ng tanda ng matrix ng normal na anyo nito, i.e. na may tanda ng identity matrix determinant.

Hayaang maging positibo ang lahat ng principal diagonal minor ng quadratic form. Pagkatapos ang lahat ng principal diagonal minors ng quadratic form ay positive mula sa equality . Sa pamamagitan ng induction hypothesis, ang quadratic form ay positive definite, kaya mayroong non-degenerate linear transformation ng mga variable na binabawasan ang form sa anyo ng kabuuan ng mga parisukat ng mga bagong variable . Ang linear na pagbabagong ito ay maaaring i-extend sa isang di-degenerate na linear na pagbabago ng lahat ng mga variable sa pamamagitan ng pagtatakda. Ang parisukat na anyo ay nababawasan ng pagbabagong ito sa anyo

Ang konsepto ng isang parisukat na anyo. Matrix ng quadratic form. Kanonikal na anyo ng isang parisukat na anyo. Paraan ng Lagrange. Ang normal na anyo ng isang parisukat na anyo. Ranggo, indeks at lagda ng isang parisukat na anyo. Positibong tiyak na parisukat na anyo. Quadrics.

Ang konsepto ng isang parisukat na anyo: isang function sa isang vector space na ibinigay ng isang homogenous polynomial ng pangalawang degree sa mga coordinate ng vector.

parisukat na anyo mula sa n hindi kilala ay tinatawag na kabuuan, ang bawat termino ay alinman sa parisukat ng isa sa mga hindi alam na ito, o ang produkto ng dalawang magkaibang hindi alam.

Quadratic Matrix: Ang matrix ay tinatawag na matrix ng quadratic form sa ibinigay na batayan. Kung ang katangian ng patlang ay hindi katumbas ng 2, maaari nating ipagpalagay na ang matrix ng quadratic form ay simetriko, iyon ay, .

Sumulat ng isang matrix ng quadratic form:

Kaya naman,

Sa vector-matrix form, ang quadratic form ay:

A , saan

Kanonikal na anyo ng isang parisukat na anyo: Ang isang parisukat na anyo ay tinatawag na canonical kung lahat i.e.

Anumang parisukat na anyo ay maaaring gawing kanonikal na anyo gamit ang mga linear na pagbabago. Sa pagsasagawa, ang mga sumusunod na pamamaraan ay karaniwang ginagamit.

Paraan ng Lagrange : sunud-sunod na pagpili ng buong parisukat. Halimbawa, kung

Pagkatapos ang isang katulad na pamamaraan ay ginagawa sa parisukat na anyo atbp Kung nasa parisukat na anyo ang lahat ngunit ay pagkatapos, pagkatapos ng isang paunang pagbabago, ang bagay ay nabawasan sa pamamaraan na isinasaalang-alang. Kaya, kung, halimbawa, pagkatapos ay itinakda namin

Ang normal na anyo ng isang parisukat na anyo ay: Ang normal na quadratic form ay isang canonical quadratic form kung saan ang lahat ng coefficient ay katumbas ng +1 o -1.

Ranggo, indeks at lagda ng isang parisukat na anyo: Ang ranggo ng parisukat na anyo A tinatawag na ranggo ng matris A. Ang ranggo ng isang parisukat na anyo ay hindi nagbabago sa ilalim ng mga hindi nabubuong pagbabago ng mga hindi alam.

Ang bilang ng mga negatibong coefficient ay tinatawag na negatibong index ng hugis.

Ang bilang ng mga positibong termino sa canonical form ay tinatawag na positibong index ng inertia ng quadratic form, ang bilang ng mga negatibong termino ay tinatawag na negatibong index. Ang pagkakaiba sa pagitan ng positibo at negatibong mga indeks ay tinatawag na lagda ng parisukat na anyo

Positibong tiyak na parisukat na anyo: Tunay na parisukat na anyo ay tinatawag na positive-definite (negative-definite) kung para sa anumang tunay na halaga ng mga variable na hindi sabay na katumbas ng zero

. (36)

Sa kasong ito, ang matrix ay tinatawag ding positive definite (negative definite).

Ang klase ng positive-definite (negative-definite) forms ay bahagi ng klase ng non-negative (respectively, non-positive) forms.

Quads: Quadric - n-dimensional na hypersurface sa n+1-dimensional na espasyo, na tinukoy bilang set ng mga zero ng isang polynomial ng pangalawang degree. Kung ilalagay mo ang mga coordinate ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (sa Euclidean o affine space), ang pangkalahatang quadric equation ay may anyo

Ang equation na ito ay maaaring muling isulat nang mas compact sa matrix notation:

kung saan x = ( x 1 , x 2 , x n+1 ) ay isang row vector, x T ay ang transposed vector, Q ay ang laki ng matrix ( n+1)×( n+1) (pinapalagay na kahit isa sa mga elemento nito ay nonzero), P ay isang row vector, at R ay isang pare-pareho. Kadalasan, ang mga quadric ay isinasaalang-alang sa tunay o kumplikadong mga numero. Ang kahulugan ay maaaring palawakin sa quadrics sa projective space, tingnan sa ibaba.

Sa pangkalahatan, ang hanay ng mga zero ng isang sistema ng mga polynomial equation ay kilala bilang isang algebraic variety. Kaya ang quadric ay isang (affine o projective) algebraic variety ng second degree at codimension 1.

Mga pagbabago sa eroplano at espasyo.

Depinisyon ng pagbabago ng eroplano. Kahulugan ng paggalaw. mga katangian ng paggalaw. Dalawang uri ng paggalaw: paggalaw ng unang uri at paggalaw ng pangalawang uri. Mga halimbawa ng paggalaw. Analytical expression ng paggalaw. Pag-uuri ng mga galaw ng eroplano (depende sa pagkakaroon ng mga nakapirming punto at hindi nagbabagong linya). Grupo ng mga galaw ng eroplano.

Depinisyon ng pagbabago ng eroplano: Kahulugan. Ang pagbabagong-anyo ng eroplano na nagpapanatili ng distansya sa pagitan ng mga punto ay tinatawag paggalaw(o displacement) ng eroplano. Ang pagbabago ng eroplano ay tinatawag affine, kung ito ay tumatagal ng anumang tatlong puntos na nakahiga sa parehong linya sa tatlong puntos din na nakahiga sa parehong linya at sa parehong oras ay pinapanatili ang simpleng relasyon ng tatlong puntos.

Depinisyon ng paggalaw: Ito ay isang pagbabago ng hugis na nagpapanatili ng mga distansya sa pagitan ng mga punto. Kung ang dalawang figure ay eksaktong pinagsama sa bawat isa sa pamamagitan ng paggalaw, kung gayon ang mga figure na ito ay pareho, pantay.

Mga katangian ng paggalaw: ang bawat paggalaw na nagpapanatili ng oryentasyon ng isang eroplano ay alinman sa isang parallel na pagsasalin o isang pag-ikot; bawat paggalaw na nagbabago ng oryentasyon ng isang eroplano ay alinman sa isang axial symmetry o isang sliding symmetry. Ang mga puntos na nakahiga sa isang tuwid na linya, kapag gumagalaw, pumasa sa mga punto na nakahiga sa isang tuwid na linya, at ang pagkakasunud-sunod ng kanilang pagkakaayos sa isa't isa ay napanatili. Kapag gumagalaw, ang mga anggulo sa pagitan ng kalahating linya ay napanatili.

Dalawang uri ng paggalaw: paggalaw ng unang uri at paggalaw ng pangalawang uri: Ang mga paggalaw ng unang uri ay ang mga paggalaw na nagpapanatili ng oryentasyon ng mga base ng isang tiyak na pigura. Maaari silang maisasakatuparan sa patuloy na paggalaw.

Ang mga paggalaw ng pangalawang uri ay ang mga paggalaw na nagbabago sa oryentasyon ng mga base sa kabaligtaran. Hindi sila maisasakatuparan sa pamamagitan ng patuloy na paggalaw.

Ang mga halimbawa ng mga paggalaw ng unang uri ay pagsasalin at pag-ikot sa paligid ng isang tuwid na linya, at ang mga paggalaw ng pangalawang uri ay sentral at mirror symmetry.

Ang komposisyon ng anumang bilang ng mga galaw ng unang uri ay isang galaw ng unang uri.

Ang komposisyon ng isang pantay na bilang ng mga paggalaw ng pangalawang uri ay isang kilusan ng unang uri, at ang komposisyon ng isang kakaibang bilang ng mga paggalaw ng pangalawang uri ay isang paggalaw ng ika-2 uri.

Mga halimbawa ng paggalaw:Parallel na paglipat. Hayaan ang isang maging isang ibinigay na vector. Ang parallel transfer sa vector a ay ang pagmamapa ng eroplano papunta sa sarili nito, kung saan ang bawat point M ay naka-map sa point M 1, na ang vector MM 1 ay katumbas ng vector a.

Ang parallel translation ay isang paggalaw dahil ito ay isang pagmamapa ng eroplano papunta sa sarili nito, na pinapanatili ang mga distansya. Biswal, ang paggalaw na ito ay maaaring ilarawan bilang isang paglipat ng buong eroplano sa direksyon ng isang naibigay na vector a sa pamamagitan ng haba nito.

Lumiko . Magtalaga tayo ng isang punto O sa eroplano ( pagliko sa gitna) at itakda ang anggulo α ( anggulo ng pag-ikot). Ang pag-ikot ng eroplano sa paligid ng puntong O sa pamamagitan ng anggulong α ay ang pagmamapa ng eroplano sa sarili nito, kung saan ang bawat puntong M ay nakamapa sa puntong M 1, na ang OM = OM 1 at ang anggulong MOM 1 ay katumbas ng α. Sa kasong ito, ang punto O ay nananatili sa lugar nito, ibig sabihin, ito ay ipinapakita sa sarili nito, at ang lahat ng iba pang mga punto ay umiikot sa paligid ng punto O sa parehong direksyon - clockwise o counterclockwise (ang figure ay nagpapakita ng isang counterclockwise na pag-ikot).

Ang pagliko ay isang paggalaw dahil ito ay isang pagmamapa ng eroplano papunta sa sarili nito, na nagpapanatili ng mga distansya.

Analytical expression ng paggalaw: ang analytical na koneksyon sa pagitan ng mga coordinate ng pre-image at ang imahe ng punto ay may form (1).

Pag-uuri ng mga galaw ng eroplano (depende sa pagkakaroon ng mga nakapirming punto at hindi nagbabagong linya): Kahulugan:

Ang isang punto sa isang eroplano ay invariant (naayos) kung, sa ilalim ng isang ibinigay na pagbabago, ito ay nagbabago sa sarili nito.

Halimbawa: Sa gitnang simetrya, ang punto ng sentro ng simetrya ay invariant. Kapag lumiliko, ang punto ng sentro ng pag-ikot ay invariant. Sa axial symmetry, ang linya ay invariant - ang axis ng symmetry ay ang linya ng mga invariant na puntos.

Theorem: Kung ang paggalaw ay walang invariant point, kung gayon mayroon itong kahit isang invariant na direksyon.

Halimbawa: Parallel transfer. Sa katunayan, ang mga linyang parallel sa direksyon na ito ay invariant bilang isang figure sa kabuuan, bagama't hindi ito binubuo ng mga invariant na puntos.

Theorem: Kung ang ilang ray ay gumagalaw, ang sinag ay isinasalin sa sarili nito, kung gayon ang paggalaw na ito ay alinman sa isang magkaparehong pagbabago, o isang simetriya na may kinalaman sa linyang naglalaman ng ibinigay na sinag.

Samakatuwid, ayon sa pagkakaroon ng mga invariant na puntos o figure, posibleng pag-uri-uriin ang mga paggalaw.

Pangalan ng paggalaw	Mga invariant na puntos	Mga linyang walang pagbabago
Ang paggalaw ng unang uri.
1. - lumiko	(gitna) - 0	Hindi
2. Pagbabago ng pagkakakilanlan	lahat ng punto ng eroplano	diretso lahat
3. Sentral na simetrya	punto 0 - gitna	lahat ng linya na dumadaan sa point 0
4. Parallel transfer	Hindi	diretso lahat
Ang paggalaw ng pangalawang uri.
5. Axial symmetry.	hanay ng mga puntos	axis ng simetrya (tuwid) lahat tuwid

Grupo ng paggalaw ng eroplano: Sa geometry, ang self-coincidence na mga grupo ng mga figure ay may mahalagang papel. Kung - ilang figure sa eroplano (o sa espasyo), pagkatapos ay maaari naming isaalang-alang ang hanay ng lahat ng mga paggalaw ng eroplano (o espasyo), kung saan ang figure ay pumasa sa sarili nito.

Ang set na ito ay isang grupo. Halimbawa, para sa isang equilateral triangle, ang pangkat ng mga galaw ng eroplano na kumukuha ng tatsulok sa sarili nito ay binubuo ng 6 na elemento: mga pag-ikot ng mga anggulo sa paligid ng isang punto at mga simetriko tungkol sa tatlong linya.

Ang mga ito ay ipinapakita sa fig. 1 na may mga pulang linya. Ang mga elemento ng self-coincidence group ng isang regular na tatsulok ay maaaring tukuyin sa ibang paraan. Upang linawin ito, bilangin natin ang mga vertex ng isang regular na tatsulok na may mga numerong 1, 2, 3. maaaring may kundisyon na ilagay sa anyo ng isa sa mga bracket na ito:

atbp.

kung saan ang mga numero 1, 2, 3 ay nagsasaad ng mga numero ng mga vertice kung saan pumasa ang mga vertex 1, 2, 3 bilang resulta ng itinuturing na paggalaw.

Projective space at ang kanilang mga modelo.

Konsepto ng projective space at modelo ng projective space. Mga pangunahing katotohanan ng projective geometry. Ang isang grupo ng mga linya na nakasentro sa punto O ay isang projective plane model. projective points. Ang pinalawig na eroplano ay isang modelo ng projective plane. Ang pinahabang three-dimensional na affine o Euclidean space ay isang projective space model. Mga larawan ng plane at spatial figure sa parallel na disenyo.

Konsepto ng projective space at modelo ng projective space:

Ang projective space sa ibabaw ng field ay isang space na binubuo ng mga linya (one-dimensional subspaces) ng ilang linear space sa ibabaw ng isang partikular na field. Ang mga tuwid na espasyo ay tinatawag tuldok projective space. Ang kahulugang ito ay nagbibigay ng sarili sa pangkalahatan sa isang arbitraryong katawan

Kung ito ay may dimensyon , kung gayon ang dimensyon ng projective space ay tinatawag na numero , at ang projective space mismo ay tinutukoy at tinatawag na nauugnay sa (upang ipahiwatig ito, ang notasyon ay pinagtibay).

Ang paglipat mula sa isang vector space ng dimensyon sa kaukulang projective space ay tinatawag projectivization mga espasyo.

Maaaring ilarawan ang mga puntos gamit ang mga homogenous na coordinate.

Mga pangunahing katotohanan ng projective geometry: Ang projective geometry ay isang sangay ng geometry na nag-aaral ng mga projective na eroplano at espasyo. Ang pangunahing tampok ng projective geometry ay ang prinsipyo ng duality, na nagdaragdag ng magandang simetrya sa maraming mga disenyo. Ang projective geometry ay maaaring pag-aralan pareho mula sa isang purong geometric na punto ng view, at mula sa isang analytic (gamit ang homogeneous coordinates) at salgebraic point of view, isinasaalang-alang ang projective plane bilang isang istraktura sa ibabaw ng isang field. Kadalasan, at ayon sa kasaysayan, ang totoong projective plane ay itinuturing bilang Euclidean plane na may pagdaragdag ng isang "line at infinity".

Samantalang ang mga katangian ng mga figure na tinatalakay ng Euclidean geometry ay panukat(mga tiyak na halaga ng mga anggulo, mga segment, mga lugar), at ang pagkakapareho ng mga numero ay katumbas ng kanilang pagkakatugma(ibig sabihin, kapag ang mga figure ay maaaring isalin sa isa't isa sa pamamagitan ng paggalaw habang pinapanatili ang mga metric na katangian), mayroong mas "mas malalim" na mga katangian ng mga geometric na figure na pinapanatili sa pamamagitan ng mga pagbabagong mas pangkalahatang uri kaysa sa paggalaw. Pinag-aaralan ng projective geometry ang mga katangian ng mga figure na invariant sa ilalim ng klase projective transformations, pati na rin ang mga pagbabagong ito mismo.

Ang projective geometry ay umaakma sa Euclidean sa pamamagitan ng pagbibigay ng maganda at simpleng solusyon sa maraming problemang kumplikado ng pagkakaroon ng mga parallel na linya. Ang projective theory ng conic sections ay lalong simple at eleganteng.

Mayroong tatlong pangunahing diskarte sa projective geometry: independent axiomatization, karagdagan sa Euclidean geometry, at structure sa isang field.

Axiomatization

Maaaring tukuyin ang isang projective space gamit ang ibang hanay ng mga axiom.

Nagbibigay ang Coxeter ng sumusunod:

1. May linya at wala dito.

2. Mayroong hindi bababa sa tatlong puntos sa bawat linya.

3. Eksaktong isang tuwid na linya ay maaaring iguhit sa pamamagitan ng dalawang puntos.

4. Kung A, B, C, At D iba't ibang puntos at AB At CD bumalandra, pagkatapos AC At BD bumalandra.

5. Kung ABC ay isang eroplano, pagkatapos ay mayroong kahit isang punto na wala sa eroplano ABC.

6. Dalawang magkakaibang eroplano ang nagsalubong sa hindi bababa sa dalawang punto.

7. Hindi collinear ang tatlong diagonal na punto ng isang kumpletong quadrilateral.

8. Kung mayroong tatlong puntos sa isang tuwid na linya X X

Ang projective plane (nang walang ikatlong dimensyon) ay tinukoy ng medyo magkakaibang mga axiom:

1. Eksaktong isang tuwid na linya ay maaaring iguhit sa pamamagitan ng dalawang puntos.

2. Magsalubong ang alinmang dalawang linya.

3. Mayroong apat na puntos, kung saan walang tatlong collinear.

4. Hindi collinear ang tatlong diagonal na punto ng kumpletong quadrilaterals.

5. Kung mayroong tatlong puntos sa isang tuwid na linya X ay invariant sa ilalim ng projectivity ng φ, pagkatapos ay ang lahat ng mga puntos sa X ay invariant na may kinalaman sa φ.

6. Teorama ni Desargues: Kung ang dalawang tatsulok ay pananaw sa pamamagitan ng isang punto, kung gayon ang mga ito ay pananaw sa pamamagitan ng isang linya.

Sa pagkakaroon ng ikatlong dimensyon, ang teorama ni Desargues ay maaaring patunayan nang hindi ipinakilala ang perpektong punto at linya.

Pinalawak na eroplano - modelo ng projective na eroplano: sa isang affine space A3, kumuha ng bundle ng mga linyang S(O) na nakasentro sa isang punto O at isang eroplanong Π na hindi dumadaan sa gitna ng bundle: O 6∈ Π. Ang isang bundle ng mga linya sa isang affine space ay isang modelo ng projective plane. Itakda natin ang pagmamapa ng hanay ng mga punto ng eroplano Π sa hanay ng mga linya ng bundle na S (Damn, manalangin kung nakuha mo ang tanong na ito, pasensya na)

Extended three-dimensional affine o Euclidean space - projective space model:

Upang gawing surjective ang pagmamapa, inuulit namin ang proseso ng pormal na pagpapalawak ng affine plane Π sa projective plane, Π, na umaakma sa plane Π na may isang hanay ng mga hindi tamang puntos (M∞) tulad ng: ((M∞)) = P0(O). Dahil sa pagma-map ang kabaligtaran na imahe ng bawat eroplano ng bundle ng mga eroplano S(O) ay isang linya sa eroplano d, malinaw na ang hanay ng lahat ng mga hindi tamang punto ng pinalawig na eroplano: Π = Π ∩ (M∞) Ang , (M∞), ay isang hindi tamang linya d∞ ng pinalawig na eroplano na siyang kabaligtaran na imahe ng isahan na eroplano Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Sumang-ayon tayo na dito at sa ibaba ay mauunawaan natin ang huling pagkakapantay-pantay na P0(O) = Π0 sa kahulugan ng pagkakapantay-pantay ng mga hanay ng mga puntos, ngunit pinagkalooban ng iba't ibang istruktura. Bilang pagpupuno sa affine plane na may hindi tamang linya, natiyak namin na ang pagmamapa (I.21) ay magiging bijective sa hanay ng lahat ng mga punto ng pinalawig na eroplano:

Mga larawan ng mga flat at spatial na figure sa parallel na disenyo:

Sa stereometry, pinag-aaralan ang mga spatial figure, ngunit sa pagguhit ay inilalarawan sila bilang mga flat figure. Paano, kung gayon, dapat ilarawan ang isang spatial figure sa isang eroplano? Karaniwan sa geometry, parallel na disenyo ang ginagamit para dito. Hayaan akong maging isang eroplano, l- isang tuwid na linya na bumabagtas dito (Larawan 1). Sa pamamagitan ng isang di-makatwirang punto A, hindi kabilang sa linya l gumuhit ng isang linya parallel sa linya l. Ang punto ng intersection ng linyang ito sa eroplanong p ay tinatawag na parallel projection ng punto A sa eroplano p sa direksyon ng tuwid na linya l. Ipahiwatig natin ito A". Kung ang punto A nabibilang sa linya l, pagkatapos ay ang parallel projection A sa eroplano p ay itinuturing na punto ng intersection ng linya l may eroplano p.

Kaya, ang bawat punto A ang espasyo ay nakamapa sa projection nito A" papunta sa eroplano p. Ang sulat na ito ay tinatawag na parallel projection papunta sa eroplano p sa direksyon ng tuwid na linya l.

Grupo ng mga projective na pagbabago. Aplikasyon sa paglutas ng problema.

Ang konsepto ng projective transformation ng eroplano. Mga halimbawa ng projective plane transformations. Mga katangian ng projective transformations. Homology, katangian ng homology. Grupo ng mga projective na pagbabago.

Ang konsepto ng isang projective plane transformation: Ang ideya ng isang projective transformation ay nagsa-generalize ng ideya ng isang sentral na projection. Kung gagawin natin ang gitnang projection ng plane α sa ilang eroplano α 1 , pagkatapos ay ang projection ng α 1 papunta sa α 2 , α 2 papunta sa α 3 , ... at, sa wakas, ilang plane α n muli sa α 1 , kung gayon ang komposisyon ng lahat ng mga projection na ito ay ang projective transformation ng eroplano α; ang naturang chain ay maaaring magsama ng mga parallel projection.

Mga halimbawa ng pagbabago ng projective plane: Ang projective transformation ng isang augmented plane ay ang one-to-one na pagmamapa nito sa sarili nito, na nagpapanatili ng collinearity ng mga puntos, o, sa madaling salita, ang imahe ng anumang tuwid na linya ay isang tuwid na linya. Ang anumang projective transformation ay isang komposisyon ng isang chain ng central at parallel projection. Ang pagbabagong-anyo ng affine ay isang espesyal na kaso ng isang projective, kung saan ang linya sa infinity ay papasok sa sarili nito.

Mga katangian ng projective transformations:

Sa ilalim ng projective transformation, ang tatlong puntos na wala sa isang linya ay namamapa sa tatlong puntos na wala sa isang linya.

Sa ilalim ng projective transformation, ang frame ay napupunta sa frame.

Sa ilalim ng projective transformation, ang isang linya ay napupunta sa isang tuwid na linya, ang isang bigkis ay napupunta sa isang bigkis.

Homology, mga katangian ng homology:

Ang isang projective transformation ng isang eroplano na may linya ng mga invariant na puntos at samakatuwid ang isang lapis ng mga invariant na linya ay tinatawag na homology.

1. Ang isang linyang dumadaan sa katumbas na hindi magkakatulad na mga punto ng homology ay isang invariant na linya;

2. Ang mga linyang dumadaan sa mga katumbas na hindi magkakatugmang homology na mga punto ay nabibilang sa parehong lapis, na ang gitna ay isang invariant na punto.

3. Ang isang punto, ang imahe nito, at ang sentro ng homology ay nasa parehong tuwid na linya.

Grupo ng mga projective na pagbabago: isaalang-alang ang projective mapping ng projective plane P 2 sa sarili nito, iyon ay, projective transformation ng plane na ito (P 2 ’ = P 2).

Gaya ng dati, ang komposisyon f ng projective transformations f 1 at f 2 ng projective plane P 2 ay resulta ng sunud-sunod na pagpapatupad ng mga transformation f 1 at f 2: f = f 2 °f 1 .

Theorem 1: Ang set H ng lahat ng projective transformations ng projective plane P 2 ay isang grupo sa ilalim ng komposisyon ng projective transformations.

Quadratic na mga anyo

parisukat na anyo f(x 1, x 2,..., x n) ng n variable ay tinatawag na sum, ang bawat termino ay alinman sa parisukat ng isa sa mga variable, o produkto ng dalawang magkaibang variable, na kinuha gamit ang isang tiyak na koepisyent: f(x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Ang matrix A, na binubuo ng mga coefficient na ito, ay tinatawag na quadratic form matrix. Ito'y palaging simetriko matrix (ibig sabihin, isang simetriko ng matrix tungkol sa pangunahing dayagonal, a ij = a ji).

Sa matrix notation, ang quadratic form ay may anyong f(X) = X T AX, kung saan

Sa totoo lang

Halimbawa, isulat natin ang quadratic form sa matrix form.

Upang gawin ito, nakahanap kami ng isang matrix ng isang parisukat na anyo. Ang mga elemento ng dayagonal nito ay katumbas ng mga coefficient sa mga parisukat ng mga variable, at ang natitirang mga elemento ay katumbas ng kalahati ng kaukulang mga coefficient ng quadratic form. kaya lang

Hayaang makuha ang matrix-column ng mga variable X sa pamamagitan ng non-degenerate linear transformation ng matrix-column Y, i.e. X = CY, kung saan ang C ay isang non-degenerate matrix ng order n. Pagkatapos ay ang parisukat na anyo
f(X) \u003d X T AX \u003d (CY) T A (CY) \u003d (Y T C T) A (CY) \u003d Y T (C T AC) Y.

Kaya, sa ilalim ng isang non-degenerate linear transformation C, ang matrix ng parisukat na anyo ay tumatagal ng anyo: A * = C T AC.

Halimbawa, hanapin natin ang quadratic form f(y 1, y 2) na nakuha mula sa quadratic form f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 sa pamamagitan ng linear transformation.

Ang quadratic form ay tinatawag kanonikal(Ito ay may canonical view) kung ang lahat ng coefficient nito a ij = 0 para sa i ≠ j, i.e.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Ang matrix nito ay dayagonal.

Teorama(ang patunay ay hindi ibinigay dito). Anumang parisukat na anyo ay maaaring gawing kanonikal na anyo gamit ang isang non-degenerate linear transformation.

Halimbawa, bawasan natin sa canonical form ang quadratic form
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Upang gawin ito, piliin muna ang buong parisukat para sa variable na x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2) ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Ngayon pipiliin namin ang buong parisukat para sa variable x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Pagkatapos ay ang non-degenerate linear transformation y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 at y 3 \u003d x 3 ay nagdadala ng quadratic form na ito sa canonical form f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Tandaan na ang kanonikal na anyo ng isang parisukat na anyo ay hindi malinaw na tinukoy (ang parehong parisukat na anyo ay maaaring bawasan sa kanonikal na anyo sa iba't ibang paraan). Gayunpaman, ang mga canonical form na nakuha sa pamamagitan ng iba't ibang mga pamamaraan ay may ilang mga karaniwang katangian. Sa partikular, ang bilang ng mga termino na may positibong (negatibong) coefficient ng isang parisukat na anyo ay hindi nakasalalay sa kung paano binabawasan ang anyo sa form na ito (halimbawa, sa isinasaalang-alang na halimbawa ay palaging may dalawang negatibo at isang positibong koepisyent). Ang ari-arian na ito ay tinatawag na ang batas ng inertia ng mga parisukat na anyo.

I-verify natin ito sa pamamagitan ng pagbabawas ng parehong quadratic form sa canonical form sa ibang paraan. Simulan natin ang pagbabago sa variable x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, kung saan y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6 ) x 3 at y 3 = x 1 . Dito, isang positibong koepisyent 2 para sa y 3 at dalawang negatibong koepisyent (-3) para sa y 1 at y 2 (at gamit ang isa pang paraan, nakakuha kami ng positibong koepisyent 2 para sa y 1 at dalawang negatibong coefficient - (-5) para sa y 2 at (-1 /20) para sa y 3).

Dapat ding tandaan na ang ranggo ng isang matrix ng isang parisukat na anyo, na tinatawag na ang ranggo ng parisukat na anyo, ay katumbas ng bilang ng mga non-zero coefficient ng canonical form at hindi nagbabago sa ilalim ng mga linear na pagbabago.

Ang parisukat na anyo f(X) ay tinatawag positibo (negatibo) tiyak, kung para sa lahat ng mga halaga ng mga variable na hindi sabay-sabay na katumbas ng zero, ito ay positibo, i.e. f(X) > 0 (negatibo, ibig sabihin.
f(X)< 0).

Halimbawa, ang quadratic form f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 ay positive definite, dahil ay ang kabuuan ng mga parisukat, at ang parisukat na anyo f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 ay negatibong tiyak, dahil kumakatawan ito ay maaaring katawanin bilang f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

Sa karamihan ng mga praktikal na sitwasyon, medyo mas mahirap itatag ang sign-definiteness ng isang quadratic form, kaya isa sa mga sumusunod na theorems ang ginagamit para dito (binubalangkas namin ang mga ito nang walang mga patunay).

Teorama. Ang isang parisukat na anyo ay positibo (negatibo) na tiyak kung at kung ang lahat ng eigenvalues ​​ng matrix nito ay positibo (negatibo).

Theorem (pamantayan ni Sylvester). Ang isang parisukat na anyo ay positibong tiyak kung at kung ang lahat ng pangunahing menor de edad ng matris ng form na ito ay positibo.

Major (sulok) menor Ang k-th order ng matrix A ng n-th order ay tinatawag na determinant ng matrix, na binubuo ng mga unang k row at column ng matrix A ().

Tandaan na para sa mga negatibong tiyak na parisukat na anyo, ang mga palatandaan ng pangunahing mga menor de edad ay kahalili, at ang first-order na menor ay dapat na negatibo.

Halimbawa, sinusuri namin ang quadratic form f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 para sa sign-definiteness.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Samakatuwid, ang parisukat na anyo ay positibong tiyak.

Paraan 2. Ang pangunahing menor ng unang pagkakasunud-sunod ng matrix A D 1 = a 11 = 2 > 0. Ang pangunahing menor ng pangalawang order D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Samakatuwid, ayon sa pamantayang Sylvester, ang parisukat na anyo ay positibong tiyak.

Sinusuri namin ang isa pang quadratic form para sa sign-definiteness, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Paraan 1. Bumuo tayo ng isang matrix ng parisukat na anyo А = . Ang katangiang equation ay magkakaroon ng anyo = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 \u003d (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 + 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Samakatuwid, ang parisukat na anyo ay negatibong tiyak.

Mga hugis parisukat.
Kahalagahan ng mga form. Ang pamantayan ni Sylvester

Ang pang-uri na "parisukat" ay agad na nagmumungkahi na ang isang bagay dito ay konektado sa isang parisukat (ikalawang antas), at sa lalong madaling panahon malalaman natin ang "isang bagay" na ito at kung ano ang isang anyo. Lumabas agad :)

Maligayang pagdating sa aking bagong aralin, at bilang isang agarang warm-up, titingnan natin ang hugis na guhit linear. Linear na anyo mga variable tinawag homogenous 1st degree polynomial:

- ilang partikular na numero * (pinagpapalagay namin na kahit isa sa kanila ay iba sa zero), at mga variable na maaaring kumuha ng mga arbitrary na halaga.

* Sa paksang ito, isasaalang-alang lamang natin tunay na mga numero .

Nakatagpo na natin ang katagang "homogeneous" sa aralin tungkol sa homogenous na sistema ng mga linear equation, at sa kasong ito ito ay nagpapahiwatig na ang polynomial ay walang idinagdag na pare - pareho .

Halimbawa: – linear na anyo ng dalawang variable

Ngayon ang hugis ay parisukat. parisukat na anyo mga variable tinawag homogenous 2nd degree polynomial, bawat termino kung saan naglalaman ng alinman sa parisukat ng variable o doble produkto ng mga variable. Kaya, halimbawa, ang parisukat na anyo ng dalawang variable ay may sumusunod na anyo:

Pansin! Ito ay isang karaniwang entry, at hindi mo kailangang baguhin ang anumang bagay dito! Sa kabila ng "kakila-kilabot" na hitsura, ang lahat ay simple dito - ang mga dobleng subscript ng mga constant ay nagpapahiwatig kung aling mga variable ang kasama sa isa o ibang termino:
– ang terminong ito ay naglalaman ng produkto at (parisukat);
- narito ang gawain;
- at narito ang gawain.

- Inaasahan ko kaagad ang isang malaking pagkakamali kapag nawala nila ang "minus" ng koepisyent, hindi napagtatanto na tumutukoy ito sa terminong:

Minsan mayroong isang "paaralan" na bersyon ng disenyo sa espiritu, ngunit kung minsan lamang. Sa pamamagitan ng paraan, tandaan na ang mga constants dito ay hindi nagsasabi sa amin ng anuman, at samakatuwid ay mas mahirap matandaan ang "madaling notasyon". Lalo na kapag mas maraming variable.

At ang quadratic form ng tatlong variable ay naglalaman na ng anim na termino:

... bakit inilalagay ang "dalawang" multiplier sa "halo-halong" termino? Ito ay maginhawa, at malapit nang maging malinaw kung bakit.

Gayunpaman, isusulat namin ang pangkalahatang formula, ito ay maginhawa upang ayusin ito sa isang "sheet":

- maingat na pag-aralan ang bawat linya - walang mali doon!

Ang parisukat na anyo ay naglalaman ng mga termino na may mga parisukat na variable at mga termino sa kanilang mga pares na produkto (cm. kombinatoryal na pormula ng mga kumbinasyon) . Wala nang iba pa - walang "lonely x" at walang idinagdag na pare-pareho (pagkatapos ay hindi ka makakakuha ng isang parisukat na anyo, ngunit magkakaiba 2nd degree polynomial).

Matrix notation ng isang quadratic form

Depende sa mga halaga, ang itinuturing na anyo ay maaaring magkaroon ng parehong positibo at negatibong mga halaga, at pareho ang naaangkop sa anumang linear na anyo - kung hindi bababa sa isa sa mga coefficient nito ay hindi zero, maaari itong maging positibo o negatibo (depende sa mga halaga).

Ang form na ito ay tinatawag na papalit-palit. At kung ang lahat ay transparent sa linear form, kung gayon ang mga bagay ay mas kawili-wili sa quadratic form:

Ito ay lubos na malinaw na ang form na ito ay maaaring tumagal sa mga halaga ng anumang palatandaan, kaya, ang quadratic form ay maaari ding alternating.

Maaaring hindi ito:

– palagi, maliban kung pareho ang pareho sa zero.

- para sa sinuman vector maliban sa zero.

At sa pangkalahatan, kung para sa alinman hindi zero vector , , pagkatapos ay tinatawag ang quadratic form positibong tiyak; kung - pagkatapos negatibong tiyak.

At magiging maayos ang lahat, ngunit ang katiyakan ng parisukat na anyo ay makikita lamang sa mga simpleng halimbawa, at ang kakayahang makita na ito ay nawala nang may kaunting komplikasyon:
– ?

Maaaring ipagpalagay ng isa na ang form ay positibong tinukoy, ngunit ito ba talaga? Biglang may mga halaga kung saan ito ay mas mababa sa zero?

Sa account na ito, doon teorama: Kung lahat eigenvalues Ang mga matrice ng quadratic form ay positibo * , pagkatapos ito ay positibong tinukoy. Kung lahat ay negatibo, pagkatapos ay negatibo.

* Ito ay pinatunayan sa teorya na ang lahat ng eigenvalues ​​ng isang tunay na simetriko matrix wasto

Isulat natin ang matrix ng form sa itaas:
at mula sa equation hanapin natin siya eigenvalues:

Malutas namin ang magandang matanda quadratic equation:

, kaya ang form ay positibong tinukoy, i.e. para sa anumang mga hindi-zero na halaga, ito ay mas malaki sa zero.

Ang itinuturing na pamamaraan ay tila gumagana, ngunit mayroong isang malaking PERO. Para na sa isang three-by-three matrix, ang paghahanap ng eigenvalues ​​ay isang mahaba at hindi kasiya-siyang gawain; na may mataas na posibilidad na makakuha ka ng isang polynomial ng 3rd degree na may hindi makatwiran na mga ugat.

Paano maging? May mas madaling paraan!

Ang pamantayan ni Sylvester

Hindi, hindi Sylvester Stallone :) Una, ipaalala ko sa iyo kung ano angular na menor de edad matrice. Ito mga determinant na "lumago" mula sa itaas na kaliwang sulok:

at ang huli ay eksaktong katumbas ng determinant ng matrix.

Ngayon, sa katunayan, pamantayan:

1) Quadratic form na tinukoy positibo kung at kung ang LAHAT ng mga angular na menor de edad nito ay mas malaki sa zero: .

2) Quadratic form na tinukoy negatibo kung at tanging kung ang mga angular na menor nito ay kahalili sa sign, habang ang 1st minor ay mas mababa sa zero: , , kung ay kahit o , kung ay kakaiba.

Kung hindi bababa sa isang angular na menor de edad ang may kabaligtaran na tanda, pagkatapos ay ang form pag-alternate ng sign. Kung ang mga angular na menor de edad ay nasa "na" sign, ngunit mayroong mga zero sa kanila, kung gayon ito ay isang espesyal na kaso, na susuriin ko sa ibang pagkakataon, pagkatapos naming mag-click sa mas karaniwang mga halimbawa.

Suriin natin ang angular minors ng matrix :

At ito ay agad na nagsasabi sa amin na ang form ay hindi negatibong tinutukoy.

Konklusyon: lahat ng anggulong menor de edad ay mas malaki sa zero, kaya ang hugis positibong tinukoy.

Mayroon bang pagkakaiba sa pamamaraan ng eigenvalue? ;)

Sinusulat namin ang shape matrix mula sa Halimbawa 1:

ang unang angular minor nito, at ang pangalawa , kung saan sumusunod na ang form ay sign-alternating, i.e. depende sa mga halaga ng , maaaring tumagal ng parehong positibo at negatibong mga halaga. Gayunpaman, ito ay napakalinaw.

Kunin ang form at ang matrix nito mula sa Halimbawa 2:

dito sa lahat nang walang insight hindi maintindihan. Ngunit sa pamantayan ng Sylvester, wala kaming pakialam:
, samakatuwid ang form ay tiyak na hindi negatibo.

, at tiyak na hindi positibo. (dahil lahat ng anggulong minor ay dapat positive).

Konklusyon: ang hugis ay papalit-palit.

Mga halimbawa ng warm-up para sa paglutas sa sarili:

Halimbawa 4

Siyasatin ang mga quadratic form para sa sign-definiteness

A)

Sa mga halimbawang ito, ang lahat ay maayos (tingnan ang dulo ng aralin), ngunit sa katunayan, upang makumpleto ang ganoong gawain Maaaring hindi sapat ang pamantayan ni Sylvester.

Ang punto ay mayroong mga "hangganan" na mga kaso, ibig sabihin: kung para sa alinman hindi zero vector , pagkatapos ay tinukoy ang hugis hindi negatibo, kung - pagkatapos hindi positibo. Ang mga form na ito ay may hindi zero mga vector kung saan .

Dito maaari kang magdala ng tulad ng isang "button accordion":

Nagha-highlight buong parisukat, nakita namin agad hindi negatibiti form: , bukod dito, ito ay katumbas ng zero para sa anumang vector na may pantay na mga coordinate, halimbawa: .

Halimbawa ng "salamin". hindi positibo tiyak na anyo:

at isang mas maliit na halimbawa:
– dito ang form ay katumbas ng zero para sa anumang vector , kung saan ay isang arbitrary na numero.

Paano ibunyag ang hindi negatibo o hindi positibo ng isang form?

Para dito kailangan natin ang konsepto pangunahing menor de edad matrice. Ang pangunahing minor ay isang minor na binubuo ng mga elemento na nasa intersection ng mga row at column na may parehong mga numero. Kaya, ang matrix ay may dalawang pangunahing menor de edad ng 1st order:
(ang elemento ay nasa intersection ng 1st row at 1st column);
(ang elemento ay nasa intersection ng 2nd row at 2nd column),

at isang major 2nd order minor:
- binubuo ng mga elemento ng 1st, 2nd row at 1st, 2nd column.

Matrix "tatlo sa tatlo" Mayroong pitong pangunahing menor de edad, at narito kailangan mong iwagayway ang iyong biceps:
- tatlong menor de edad ng 1st order,
tatlong menor de edad ng 2nd order:
- binubuo ng mga elemento ng 1st, 2nd row at 1st, 2nd column;
- binubuo ng mga elemento ng 1st, 3rd row at 1st, 3rd column;
- binubuo ng mga elemento ng 2nd, 3rd row at 2nd, 3rd column,
at isang 3rd order minor:
- binubuo ng mga elemento ng 1st, 2nd, 3rd row at 1st, 2nd at 3rd column.
Mag-ehersisyo para sa pag-unawa: isulat ang lahat ng mga pangunahing menor de edad ng matrix .
Sinusuri namin sa pagtatapos ng aralin at magpatuloy.

Pamantayan ng Schwarzenegger:

1) Non-zero* quadratic form na tinukoy hindi negatibo kung at kung LAHAT ng mga pangunahing menor de edad nito hindi negatibo(mas malaki sa o katumbas ng zero).

* Ang zero (degenerate) quadratic form ay may lahat ng coefficient na katumbas ng zero.

2) Nonzero quadratic form na may tinukoy na matrix hindi positibo kung at kung ito lang:
– mga pangunahing menor de edad ng 1st order hindi positibo(mas mababa sa o katumbas ng zero);
ay mga pangunahing menor de edad ng 2nd order hindi negatibo;
– mga pangunahing menor de edad ng ika-3 order hindi positibo(nagsimula na ang paghalili);
…
– major minor ng ika-utos hindi positibo, kung kakaiba o hindi negatibo, kung pantay.

Kung hindi bababa sa isang menor de edad ang nasa kabaligtaran ng tanda, kung gayon ang form ay sign-alternating.

Tingnan natin kung paano gumagana ang criterion sa mga halimbawa sa itaas:

Gumawa tayo ng shape matrix, at Una kalkulahin natin ang mga angular na menor de edad - paano kung ito ay positibo o negatibong tinukoy?

Ang nakuha na mga halaga ay hindi nakakatugon sa pamantayan ng Sylvester, gayunpaman, ang pangalawang menor de edad hindi negatibo, at ginagawa nitong kinakailangan upang suriin ang ika-2 criterion (sa kaso ng 2nd criterion, hindi ito awtomatikong matutupad, ibig sabihin, ang isang konklusyon ay agad na ginawa tungkol sa pagpapalit ng tanda ng form).

Mga pangunahing menor de edad ng 1st order:
- ay positibo
2nd order major minor:
- hindi negatibo.

Kaya, LAHAT ng major minors ay non-negative, kaya ang form hindi negatibo.

Isulat natin ang form matrix , para sa kung saan, malinaw naman, ang Sylvester criterion ay hindi nasiyahan. Ngunit hindi rin kami nakatanggap ng magkasalungat na mga palatandaan (dahil ang parehong angular na menor de edad ay katumbas ng zero). Samakatuwid, sinusuri namin ang katuparan ng criterion ng non-negativity / non-positiveness. Mga pangunahing menor de edad ng 1st order:
- hindi positibo
2nd order major minor:
- hindi negatibo.

Kaya, ayon sa pamantayan ng Schwarzenegger (punto 2), ang anyo ay tinutukoy na hindi positibo.

Ngayon, ganap na armado, susuriin namin ang isang mas nakakaaliw na problema:

Halimbawa 5

Suriin ang quadratic form para sa sign-definiteness

Ang form na ito ay pinalamutian ng order na "alpha", na maaaring katumbas ng anumang tunay na numero. Ngunit ito ay magiging mas masaya magpasya.

Una, isulat natin ang form matrix, marahil, marami na ang umangkop na gawin ito nang pasalita: pangunahing dayagonal inilalagay namin ang mga coefficient sa mga parisukat, at sa mga simetriko na lugar - ang kalahating coefficient ng kaukulang "halo-halong" mga produkto:

Kalkulahin natin ang mga angular na menor de edad:

Palalawakin ko ang ikatlong determinant sa ika-3 linya:

Sa seksyong ito ay tututuon natin ang isang espesyal ngunit mahalagang klase ng mga positibong parisukat na anyo.

Kahulugan 3. Ang isang tunay na parisukat na anyo ay tinatawag na non-negative (non-positive) kung para sa anumang tunay na halaga ng mga variable

. (35)

Sa kasong ito, ang simetriko matrix ng mga coefficient ay tinatawag na positibong semidefinite (negatibong semidefinite).

Depinisyon 4. Ang isang tunay na quadratic form ay tinatawag na positive-definite (negative-definite) kung para sa anumang tunay na halaga ng mga variable na hindi sabay na katumbas ng zero

. (36)

Sa kasong ito, ang matrix ay tinatawag ding positive definite (negative definite).

Ang klase ng positive-definite (negative-definite) forms ay bahagi ng klase ng non-negative (respectively, non-positive) forms.

Hayaang magbigay ng di-negatibong anyo. Kinakatawan namin ito bilang isang kabuuan ng mga independiyenteng parisukat:

. (37)

Sa representasyong ito, ang lahat ng mga parisukat ay dapat na positibo:

. (38)

Sa katunayan, kung mayroon man, kung gayon posible na pumili ng mga naturang halaga kung saan

Ngunit pagkatapos, para sa mga halagang ito ng mga variable, ang form ay magkakaroon ng negatibong halaga, na imposible ng kondisyon. Malinaw, sa kabaligtaran, mula sa (37) at (38) sumusunod na ang anyo ay positibo.

Kaya, ang isang non-negatibong parisukat na anyo ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga pagkakapantay-pantay .

Hayaan ngayon na maging isang positibong tiyak na anyo. Tapos yung non-negative form din. Samakatuwid, maaari itong ilarawan sa anyo (37), kung saan lahat ay positibo. Ito ay sumusunod mula sa positibong katiyakan ng anyo na . Sa katunayan, sa kaso posible na pumili ng mga naturang halaga na hindi sabay-sabay na katumbas ng zero, kung saan lahat ay mawawala. Ngunit pagkatapos, sa bisa ng (37), sa , na sumasalungat sa kondisyon (36).

Madaling makita na, sa kabaligtaran, kung sa (37) at lahat ay positibo, kung gayon ay isang positibong tiyak na anyo.

Sa madaling salita, ang isang di-negatibong anyo ay positibong tiyak kung at kung hindi ito isahan.

Ang sumusunod na theorem ay nagbibigay ng criterion para sa positibong katiyakan ng isang anyo sa anyo ng mga hindi pagkakapantay-pantay na dapat masiyahan ng mga koepisyent ng anyo. Sa kasong ito, ang notasyon na nakatagpo na sa mga nakaraang seksyon para sa sunud-sunod na pangunahing mga menor de edad ng matrix ay ginagamit:

.

Theorem 3. Para maging positibong tiyak ang isang parisukat na anyo, kinakailangan at sapat na ang mga hindi pagkakapantay-pantay

Patunay. Ang kasapatan ng mga kondisyon (39) ay sumusunod nang direkta mula sa Jacobi formula (28). Ang pangangailangan ng mga kondisyon (39) ay itinatag bilang mga sumusunod. Mula sa positibong katiyakan ng anyo ay sumusunod sa positibong katiyakan ng mga "pinutol" na mga anyo

.

Ngunit pagkatapos ang lahat ng mga form na ito ay dapat na hindi isahan, i.e.

Ngayon ay mayroon tayong pagkakataon na gamitin ang formula ng Jacobi (28) (para sa ). Dahil sa kanang bahagi ng formula na ito ang lahat ng mga parisukat ay dapat na positibo, kung gayon

Ito ay nagpapahiwatig ng hindi pagkakapantay-pantay (39). Ang teorama ay napatunayan.

Dahil ang anumang pangunahing menor de edad ng isang matrix, na may wastong muling pagbilang ng mga variable, ay maaaring ilagay sa kaliwang sulok sa itaas, mayroon kaming

Bunga. Sa positibong tiyak na parisukat na anyo, lahat ng mga pangunahing menor de edad ng coefficient matrix ay positibo:

Magkomento. Mula sa hindi negatibiti ng sunud-sunod na punong menor de edad

ay hindi sumusunod sa hindi negatibiti ng form . Sa katunayan, ang anyo

,

kung saan , natutugunan ang mga kundisyon , ngunit hindi hindi negatibo.

Gayunpaman, mayroong mga sumusunod

Theorem 4. Para maging non-negative ang isang quadratic form, kinakailangan at sapat na ang lahat ng principal minors ng coefficient matrix nito ay hindi negatibo:

Patunay. Ipakilala natin ang isang auxiliary form na nonpositive, ito ay kinakailangan at sapat na ang hindi pagkakapantay-pantay

Facebook

Twitter

Sa pakikipag-ugnayan sa

Mga kaklase

Google Plus