Egyptisk numrering. Vad är det egyptiska siffersystemet? Historia, beskrivning, exempel
Framväxten av matematisk kunskap bland de gamla egyptierna är förknippad med utvecklingen av ekonomiska behov. Utan matematiska kunskaper kunde forntida egyptiska skriftlärda inte utföra lantmäteri, beräkna antalet arbetare och deras underhåll eller lägga ut skatteavdrag. Så framväxten av matematik kan dateras till eran av uppkomsten av de tidigaste statsbildningar på Egyptens territorium.
Egyptiska numeriska beteckningar
Decimalräkningssystem in Forntida Egypten utvecklad på basis av att använda antalet fingrar på båda händerna för att räkna föremål. Siffror från ett till nio indikerades med motsvarande antal streck, för tiotals, hundratals, tusentals, och så vidare, fanns det speciella hieroglyfiska tecken.
Mest sannolikt uppstod digitala egyptiska symboler som ett resultat av konsonansen av en eller annan siffra och namnet på ett objekt, eftersom tecken-piktogram hade en strikt objektiv betydelse i en tid präglad av bildandet av skrift. Så till exempel indikerades hundratals av en hieroglyf som visar ett rep, tiotusentals - med en bild av ett finger.
I eran (början av det andra årtusendet f.Kr.) uppträder en mer förenklad hieratisk form av skrift, bekväm att skriva på papyrus, och skrivningen av digitala tecken ändras därefter. De berömda matematiska papyrierna är skrivna i hieratisk skrift. Hieroglyfer användes främst för vägginskriptioner.
Har inte förändrats på tusentals år. De forntida egyptierna kände inte till det positionella sättet att skriva tal, eftersom de ännu inte hade kommit till begreppet noll, inte bara som en oberoende kvantitet, utan också helt enkelt som frånvaron av en kvantitet i en viss kategori (matematiken i Babylon nådde detta inledande skede).
Bråk i det antika Egyptens matematik
Egyptierna hade begreppet bråk och visste hur man utförde vissa operationer med bråktal. Egyptiska bråk är tal av formen 1 / n (de så kallade alikvotbråken), eftersom bråket representerades av egyptierna som en del av något. Undantagen är bråken 2/3 och 3/4. En integrerad del av att registrera ett bråktal var en hieroglyf, vanligtvis översatt som "en av (ett visst antal)". För de vanligaste fraktionerna fanns speciella tecken.
En bråkdel, vars täljare skiljer sig från en, förstod den egyptiske skrivaren bokstavligen som flera delar av ett tal och skrev ner det bokstavligen. Till exempel 1/5 två gånger i rad, om du vill avbilda talet 2/5. Så det egyptiska bråksystemet var mycket besvärligt.
Intressant nog har en av egyptiernas heliga symboler - det så kallade "horusögat" - också en matematisk betydelse. En version av myten om kampen mellan vredens och förstörelsens gudom, Set, och hans brorson, solguden Horus, säger att Set slog ut Horus vänstra öga och slet eller trampade på det. Gudarna återställde ögat, men inte helt. Eye of Horus personifierade olika aspekter av den gudomliga ordningen i världsordningen, till exempel idén om fertilitet eller faraos makt.
Bilden av ögat, vördad som en amulett, innehåller element som betecknar en speciell serie siffror. Dessa är bråk, som var och en är hälften av den föregående: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 och 1/64. Symbolen för det gudomliga ögat representerar alltså deras summa, 63/64. Vissa matematiska historiker tror att denna symbol återspeglar det egyptiska konceptet om geometrisk progression. De ingående delarna av bilden av Horus öga användes i praktiska beräkningar, till exempel vid mätning av volymen av bulkämnen, såsom spannmål.
Principer för aritmetiska operationer
Metoden som användes av egyptierna när de utförde de enklaste aritmetiska operationerna var att beräkna de slutliga talen som anger siffrorna. Enheter lades till ettor, tior till tiotal och så vidare, varefter det slutliga resultatet registrerades. Om summeringen resulterade i mer än tio tecken i någon kategori, gick de "extra" tio in i den högsta kategorin och skrevs i motsvarande hieroglyf. Subtraktion gjordes på samma sätt.
Utan användningen av multiplikationstabellen, som egyptierna inte kände till, var processen att beräkna produkten av två tal, särskilt flervärdiga, extremt besvärlig. Som regel använde egyptierna metoden för successiv fördubbling. En av faktorerna bröts upp i summan av tal som vi idag skulle kalla tvåpotenser. För egyptiern innebar detta antalet på varandra följande fördubblingar av den andra multiplikatorn och den slutliga summeringen av resultaten. Till exempel, genom att multiplicera 53 med 46, skulle en egyptisk skrivare faktorisera 46 till 32 + 8 + 4 + 2 för att bilda tabletten som du kan se nedan.
| * 1 | 53 |
| * 2 | 106 |
| * 4 | 212 |
| * 8 | 424 |
| * 16 | 848 |
| * 32 | 1696 |
Om man summerar resultaten i de markerade linjerna skulle han få 2438 - samma antal som vi gör idag, men på ett annat sätt. Det är intressant att en sådan binär multiplikationsmetod används i vår tid inom datateknik.
Ibland kunde talet, förutom att fördubblas, multipliceras med tio (eftersom decimalsystemet användes) eller med fem, som ett halvdussin. Här är ett annat exempel på multiplikation skrivet med egyptiska tecken (snedstreck markerar tillagda resultat).
Delningsoperationen genomfördes också enligt principen om dubblering av divisorn. Det önskade talet, multiplicerat med en divisor, borde ha gett den utdelning som anges i problemets tillstånd.
Matematisk kunskap och färdigheter hos egyptierna
Det är känt att egyptierna kände till exponentiering och använde också den omvända operationen - extrahering roten ur. Dessutom hade de en idé om progression och löste problem som kokar ner till ekvationer. Det är sant att ekvationerna som sådana inte kompilerades, eftersom förståelsen att de matematiska relationerna mellan kvantiteter är av universell karaktär ännu inte har bildats. Arbetsuppgifterna var grupperade efter ämne: avgränsning av mark, distribution av produkter och så vidare.
I förhållandena för problemen finns det en okänd mängd som måste hittas. Det betecknas med hieroglyfen "uppsättning", "hög" och är en analog av värdet "x" i modern algebra. Villkor anges ofta i en form som, det verkar, helt enkelt kräver sammanställning och lösning av de enklaste algebraisk ekvation, till exempel: "hög" läggs till 1/4, som också innehåller "hög", och det visar sig 15. Men egyptiern löste inte ekvationen x + x / 4 = 15, utan valde det önskade värdet som skulle uppfylla villkoren.
Matematiken i det forntida Egypten uppnådde betydande framgång i att lösa geometriska problem relaterade till behoven för konstruktion och lantmäteri. Vi känner till mängden av uppgifter som de skriftlärda ställdes inför och hur man löser dem på grund av att flera skriftliga monument på papyrus med exempel på beräkningar finns bevarade.
Forntida egyptisk problembok
En av de mest kompletta källorna om matematikens historia i Egypten är den så kallade Rinda Mathematical Papyrus (uppkallad efter den första ägaren). Den förvaras i British Museum i två delar. Små fragment finns också i New York Historical Societys museum. Det kallas också Ahmes papyrus, efter den skriftlärde som transkriberade detta dokument omkring 1650 f.Kr. e.
Papyrus är en samling problem med lösningar. Totalt innehåller den mer än 80 matematiska exempel inom aritmetik och geometri. Till exempel löstes problemet med jämn fördelning av 9 bröd bland 10 arbetare på följande sätt: 7 bröd delas upp i 3 delar vardera, och arbetarna får 2/3 av bröden, medan resten är 1/3. Två bröd är uppdelade i 5 delar vardera, 1/5 per person delas ut. Den återstående tredjedelen av brödet delas i 10 delar.
Det finns också en uppgift för ojämn fördelning av 10 mått spannmål bland 10 personer. Resultatet är en aritmetisk progression med en skillnad på 1/8 mått.
Det geometriska progressionsproblemet är ett skämt: 7 katter bor i 7 hus, som var och en åt 7 möss. Varje mus åt 7 spikelets, varje spike ger 7 mått bröd. Det är nödvändigt att beräkna det totala antalet hus, katter, möss, ax och spannmål. Det är 19607.
Geometriska problem
Av stort intresse är matematiska exempel som visar egyptiernas kunskapsnivå inom geometriområdet. Detta är att hitta volymen av en kub, arean av en trapets, beräkna lutningen på en pyramid. Lutningen uttrycktes inte i grader, utan beräknades som förhållandet mellan halva pyramidens bas och dess höjd. Detta värde, liknande den moderna cotangenten, kallades "seked". De huvudsakliga längdenheterna var alnen, som var 45 cm ("kunglig aln" - 52,5 cm) och hatten - 100 alnar, huvudenheten för arean - seshat, lika med 100 kvadratalnar (ca 0,28 ha).
Egyptierna klarade framgångsrikt beräkningen av trianglarnas områden med en metod som liknar den moderna. Här är ett problem från Rinda-papyrusen: vad är arean av en triangel med en höjd av 10 hets (1000 alnar) och en bas på 4 hets? Som en lösning föreslås att multiplicera tio med hälften av fyra. Vi ser att lösningsmetoden är helt korrekt, den presenteras i en specifik numerisk form och inte i en formaliserad - multiplicera höjden med halva basen.
Ett mycket intressant problem är att beräkna arean av en cirkel. Enligt ovanstående lösning är det lika med värdet på 8/9 av diametern i kvadrat. Om vi nu beräknar talet "pi" från den erhållna arean (som förhållandet mellan fyrdubbla arean och kvadraten på diametern), så blir det cirka 3,16, det vill säga ganska nära det verkliga värdet av "pi". Så det egyptiska sättet att lösa arean av en cirkel var ganska exakt.
Moskva papyrus
En annan viktig källa till vår kunskap om matematikens nivå bland de forntida egyptierna är Moskvas matematiska papyrus (alias Golenishchev-papyrusen), lagrad i Museum of Fine Arts. A.S. Pushkin. Det är också en problembok med lösningar. Den är inte så omfattande, innehåller 25 problem, men har en äldre ålder – cirka 200 år äldre än Rhinda-papyrusen. De flesta av exemplen i papyrusen är geometriska, inklusive problemet med att beräkna arean av en korg (det vill säga en krökt yta).
I en av uppgifterna ges en metod för att hitta volymen på en trunkerad pyramid, som är helt lik den moderna formeln. Men eftersom alla lösningar i de egyptiska problemböckerna är av "recept"-karaktär och ges utan mellanliggande logiska steg, utan någon förklaring, förblir det okänt hur egyptierna hittade denna formel.
Astronomi, matematik och kalender
Forntida egyptisk matematik är också förknippad med kalenderberäkningar baserade på upprepningen av vissa astronomiska fenomen. Först och främst är detta en förutsägelse av den årliga uppgången av Nilen. Egyptiska präster märkte att början av flodens översvämning på Memphis latitud vanligtvis sammanfaller med dagen då Sirius blir synlig i söder före soluppgången (denna stjärna observeras inte på denna latitud under större delen av året).
Från början var den enklaste jordbrukskalendern inte bunden till astronomiska händelser och baserades på en enkel observation av säsongsförändringar. Sedan fick han en exakt bindning till Sirius uppståndelse, och med det dök möjligheten till förtydligande och ytterligare komplikation upp. Utan matematiska kunskaper hade prästerna inte kunnat förfina kalendern (egyptierna lyckades dock inte helt eliminera kalenderns brister).
Lika viktigt var förmågan att välja gynnsamma stunder för att hålla vissa religiösa festligheter, också tidsbestämda att sammanfalla med olika astronomiska fenomen. Så utvecklingen av matematik och astronomi i det antika Egypten är naturligtvis förknippad med genomförandet av kalenderberäkningar.
Dessutom krävs matematiska kunskaper för kronometri vid observation av stjärnhimlen. Det är känt att sådana observationer utfördes av en speciell grupp präster - "timmarnas mästare".
En integrerad del av vetenskapens tidiga historia
När man överväger funktionerna och utvecklingsnivån för matematik i det antika Egypten, är en betydande omognad synlig, som inte har övervunnits under de tre tusen åren av existensen av den antika egyptiska civilisationen. Vi har inte fått några informativa källor om eran av matematikens bildande, och vi vet inte hur det gick till. Men det är klart att efter viss utveckling frös kunskaps- och färdighetsnivån i en "recept", ämnesform utan tecken på framsteg under många hundra år.
Tydligen skapade det stabila och monotona utbudet av problem som lösts med hjälp av redan etablerade metoder inte en "efterfrågan" på nya idéer inom matematik, som redan klarade av att lösa konstruktionsproblem, Lantbruk, beskattning och distribution, primitiv handel och underhåll av kalendern och tidig astronomi. Dessutom kräver det arkaiska tänkandet inte bildandet av en strikt logisk bevisbas - det följer receptet som en ritual, och detta påverkade också den stillastående naturen hos forntida egyptisk matematik.
Samtidigt bör det noteras att vetenskaplig kunskap i allmänhet, och matematik i synnerhet, fortfarande tog de första stegen, och de är alltid de svåraste. I exemplen som visar oss papyrus med uppgifter är de inledande stadierna av generaliseringen av kunskap redan synliga - än så länge utan försök till formalisering. Man kan säga att matematiken i det antika Egypten som vi känner den (på grund av bristen på en källbas för den sena perioden av den antika egyptiska historien) ännu inte är en vetenskap i modern mening, utan själva början på vägen till Det.
Få människor tror att de tekniker och formler som vi använder för att beräkna primtal eller komplexa tal har formats under många århundraden, och i olika delar av världen. Moderna matematiska färdigheter, som även en förstaklassare är bekant med, var tidigare outhärdliga för de smartaste människorna. Ett enormt bidrag till utvecklingen av denna industri gjordes av egyptiern, varav vissa delar vi fortfarande använder i sin ursprungliga form.
Kort definition
Historiker vet med säkerhet att i alla forntida civilisationer utvecklades skrivandet huvudsakligen, och numeriska värden var alltid på andra plats. Av denna anledning finns det många felaktigheter i de senaste årtusendenas matematik, och moderna experter pusslar ibland över sådana pussel. Det egyptiska siffersystemet var inget undantag, som för övrigt också var icke-positionellt. Detta innebär att positionen för en enstaka siffra i en nummerinmatning inte ändrar det totala värdet. Som ett exempel, betrakta värdet 15, där 1 är på första plats och 5 är i andra. Om vi byter ut dessa siffror får vi ett mycket större antal. Men det forntida egyptiska siffersystemet antog inte sådana förändringar. Även i det mest flersiffriga numret skrevs alla dess komponenter i slumpmässig ordning.
Vi noterar genast att de moderna invånarna i detta varma land använder samma arabiska siffror som vi gör och skriver dem i strikt överensstämmelse med önskad ordning och från vänster till höger.
Vilka var tecknen?
Egyptierna använde hieroglyfer för att registrera siffror, och det fanns inte så många av dem. Genom att duplicera dem enligt en viss regel var det möjligt att få ett antal av vilken storlek som helst, men detta skulle kräva Ett stort antal papyrus. I det inledande skedet av dess existens innehöll det egyptiska hieroglyfiska talsystemet siffrorna 1, 10, 100, 1000 och 10000. Senare dök upp mer betydande 10. Om det var nödvändigt att skriva ner en av ovanstående indikatorer var följande hieroglyfer Begagnade:
För att skriva ett tal som inte är en multipel av tio användes denna enkla teknik:
Dechiffrera siffror
Som ett resultat av exemplet ovan ser vi att vi har 6 hundra i första hand, följt av två tior och slutligen två enheter. På liknande sätt skrivs alla andra tal, för vilka tusentals och tiotusentals kan användas. Det här exemplet är dock skrivet från vänster till höger så att den moderna läsaren kan förstå det korrekt, bara det egyptiska siffersystemet var faktiskt inte så exakt. Samma värde kunde skrivas från höger till vänster, det var nödvändigt att räkna ut var början och var slutet är, baserat på figuren med det största värdet. En liknande referenspunkt kommer också att krävas om siffrorna i skrivs slumpmässigt (eftersom systemet är icke-positionellt).
Bråk är också viktiga
Egyptierna behärskade matematik tidigare än många andra. Av denna anledning, vid något tillfälle, räckte inte enbart siffror för dem, och bråktal introducerades gradvis. Eftersom det forntida egyptiska talsystemet anses vara hieroglyfiskt, användes symboler också för att registrera täljare och nämnare. För ½ fanns det ett speciellt och oföränderligt tecken, och alla andra indikatorer bildades på samma sätt som användes för stora siffror. Täljaren hade alltid en symbol som imiterade formen på det mänskliga ögat, och nämnaren var redan en siffra.
Matematiska operationer
Om det finns tal läggs de till och subtraheras, multipliceras och divideras. Det egyptiska nummersystemet klarade denna uppgift utmärkt, även om det hade sina egna detaljer. Det enklaste var addition och subtraktion. För att göra detta skrevs hieroglyferna för två nummer i rad, mellan dem togs hänsyn till förändringen av siffror. Det är svårare att förstå hur de förökade sig, eftersom denna process inte liknar den moderna. De utgjorde två kolumner, en av dem började med en och den andra - med den andra faktorn. Sedan började de dubbla vart och ett av dessa nummer och skrev det nya resultatet under det föregående. När det var möjligt att samla in den saknade multiplikatorn från de individuella siffrorna i den första kolumnen, summerades resultaten. Du kan förstå denna process mer exakt genom att titta på tabellen. I det här fallet multiplicerar vi 7 med 22:
Resultatet i den första kolumnen 8 är redan större än 7, så dubbleringen slutar vid 4. 1+2+4=7 och 22+44+88=154. Det här svaret är korrekt, även om det erhölls på ett så icke-standardiserat sätt för oss.
Subtraktion och division utfördes i omvänd ordning av addition och multiplikation.
Varför bildades det egyptiska siffersystemet?
Historien om uppkomsten av hieroglyfer som ersätter siffror är lika vag som uppkomsten av hela den egyptiska civilisationen. Hennes födelse går tillbaka till andra hälften av det tredje årtusendet f.Kr. Det är allmänt accepterat att sådan noggrannhet på den tiden var en nödvändig åtgärd. Egypten var redan en fullfjädrad stat och blev varje år mäktigare och mer omfattande. Tempel byggdes, register fördes i de viktigaste styrande organen, och för att kombinera allt detta beslutade myndigheterna att införa detta kontosystem. Den existerade länge - fram till tionde århundradet e.Kr., varefter den ersattes av hieratik.
Egyptiskt nummersystem: fördelar och nackdelar
De forntida egyptiernas främsta prestation i matematik är enkelhet och noggrannhet. När man tittade på hieroglyfen var det alltid möjligt att avgöra hur många tiotals, hundratals eller tusentals som skrevs på papyrusen. Systemet med addition och multiplikation av tal ansågs också vara en dygd. Bara vid första anblicken verkar det förvirrande, men efter att ha trängt in i essensen kommer du snabbt och enkelt att börja lösa sådana problem. Nackdelen var mycket förvirring. Siffror kunde skrivas inte bara i vilken riktning som helst, utan också slumpmässigt, så det tog längre tid att dechiffrera dem. Och det sista minuset ligger kanske i den otroligt långa raden av symboler, eftersom de hela tiden måste dupliceras.
Det officiella språket i det moderna Egypten är den så kallade "höga" arabiskan.Arabisk skrift, inklusive dialektisk, skrivs och läses från höger till vänster. Det finns inga stora bokstäver någonstans – inte ens i egennamn och geografiska namn. Men var försiktig: siffror skrivs och läses från vänster till höger. Om du vill förstå mynt och priser är det bättre att lära dig arabiska siffror, och inte vad vi brukade kalla arabiska siffror.
En mer detaljerad studie av frågan visar att våra "arabiska" siffror delvis, men långt ifrån helt, härstammar från riktiga arabiska siffror. Enligt vissa källor härstammar siffrorna 2, 3, 7 från arabiska genom att vrida dem 90 grader för att göra det lättare att skriva. Om du inte tjatar för mycket ser det ut som sanningen. Siffrorna 1 och 9 är också av arabiskt ursprung, och deras stavning har inte påverkats av några vändningar. Ja, här är likheten uppenbar, vilket inte kan sägas om 4, 5, 6 och 8.
Ibland verkar det som att matematiska symboler är ett icke-nationellt vetenskapligt verktyg, gemensamt och enhetligt för alla länder och folk.
Men våra "arabiska" siffror skiljer sig, som du redan förstått, från de "arabiska" siffrorna i Egypten. Det europeiska positionssystemet för att skriva tal från höga till låga siffror, från vänster till höger, är inte heller det enda. I öst används också ett system för att skriva siffror från höger till vänster. I Egypten skrivs och läses siffror från vänster till höger, precis som våra.
Registreringsskyltar i Egypten med riktiga arabiska siffror.
Vägskyltar och gatunamn använder ofta både arabiska och latinska tecken.
Det arabiska alfabetet är det alfabet som används för att skriva det arabiska språket och (oftast i modifierad form) vissa andra språk, särskilt persiska och vissa turkiska språk. Den består av 28 bokstäver och används för att skriva från höger till vänster. Det arabiska alfabetet utvecklades från det feniciska alfabetet genom att införliva alla dess bokstäver och lägga till bokstäver som speglar specifikt arabiska ljud. Det här är bokstäver - sa, ha, zal, pappa, za, gayn.
Bokstäver har fyra grafiska positioner (stilar, stavningar):
- självständig(isolerad, isolerad från andra bokstäver), när bokstaven inte har någon koppling vare sig till höger om sig själv eller till vänster;
- första, det vill säga att ha en anslutning endast till vänster (förutom alif, zal, dal, zein, pa, vav);
- mitten, det vill säga att ha en anslutning både till höger och till vänster;
- slutlig(med anslutning endast på höger sida).
Konsonant notation
Var och en av de 28 bokstäverna, förutom bokstaven alif, står för en konsonant. Bokstävernas form ändras beroende på platsen i ordet. Alla bokstäver i ett ord skrivs tillsammans, med undantag för sex bokstäver (alif, dal, zal, ra, zay, vav), som inte kombineras med nästa bokstav.
Alif är den enda bokstaven i det arabiska alfabetet som inte representerar någon konsonant. Beroende på sammanhanget kan det användas för att beteckna en lång vokal a, eller som ett hjälpstavningsmärke som inte har ett eget ljud.
Vokalnotation
De tre långa vokalerna i det arabiska språket betecknas med bokstäverna "alif", "vav", "ya". Korta vokaler i brevet överförs som regel inte. I de fall där det är nödvändigt att förmedla det exakta ljudet av ett ord (till exempel i Koranen och i ordböcker), används upphöjda och nedsänkta vokaler (harakat) för att indikera vokalljud.
De 28 bokstäverna ovan kallas khuruf. Utöver dem använder den arabiska bokstaven ytterligare tre tecken som inte är oberoende bokstäver i alfabetet.
1. Hamza (glottal stop) kan skrivas som en separat bokstav, eller på en "stand"-bokstav ("alif", "vav" eller "ya"). Hur hamzaen skrivs bestäms av dess sammanhang i enlighet med ett antal stavningsregler. Oavsett hur det skrivs betecknar hamza alltid samma ljud.
2. Ta-marbuta ("bunden ta") är en form av bokstaven ta. Det skrivs bara i slutet av ordet och först efter att fatah har uttryckts. När bokstaven ta-marbuta inte har någon vokal (till exempel i slutet av en fras), läses den som bokstaven ha. Den vanliga formen av bokstaven ta kallas "öppen ta".
3. Alif-maksura ("förkortad alif") är en form av bokstaven alif. Det skrivs bara i slutet av ett ord och reduceras till ett kort ljud a före alif-wasla för nästa ord (i synnerhet före prefixet al-). Den vanliga formen av bokstaven alif kallas "lång alif".
relaterade artiklar
