Projection point na kung saan ang coincidence ay tinatawag. Aralin sa pagguhit "pagbuo ng mga projection ng mga punto sa ibabaw ng isang bagay"

Mga layunin:

• Pag-aaral ng mga patakaran para sa pagbuo ng mga projection ng mga punto sa ibabaw ng isang bagay at pagbabasa ng mga guhit.
• Bumuo ng spatial na pag-iisip, ang kakayahang pag-aralan ang geometric na hugis ng isang bagay.
• Upang linangin ang kasipagan, ang kakayahang makipagtulungan kapag nagtatrabaho sa mga grupo, at interes sa paksa.

SA PANAHON NG MGA KLASE

YUGTO I. PAGGANYAK NG MGA GAWAIN SA PAGKATUTO.

YUGTO II. PAGBUO NG KAALAMAN, KAKAYAHAN AT KASANAYAN.

HEALTH-SAVING PAUSE. REFLECTION (MOOD)

YUGTO III. INDIBIDWAL NA TRABAHO.

YUGTO I. PAGGANYAK NG MGA GAWAIN SA PAGKATUTO

1) Guro: Suriin ang iyong lugar ng trabaho, nasa lugar ba ang lahat? Handa na ba ang lahat?

HUMIHINGA NG MAALALIM, HINGA ANG IYONG PAGHINGA HABANG HUMINGA KA, HUMINGA.

Tukuyin ang iyong kalooban sa simula ng aralin ayon sa diagram (ang diagram na ito ay nasa mesa ng lahat)

GOOD LUCK PO SANA.

2)Guro: Praktikal na gawain sa paksa " Ang mga projection ng vertices, edges, faces” ay nagpakita na may mga lalaki na nagkakamali sa pag-project. Nalilito sila kung alin sa dalawang magkatugmang punto sa drawing ang nakikitang vertex at alin ang hindi nakikita; kapag ang gilid ay parallel sa eroplano, at kapag ito ay patayo. Ito ay pareho sa mga gilid.

Upang maiwasan ang pag-uulit ng mga pagkakamali, kumpletuhin ang mga kinakailangang gawain gamit ang counseling card at iwasto ang mga pagkakamali sa praktikal na gawain (sa pamamagitan ng kamay). At habang nagtatrabaho ka, tandaan:

"LAHAT AY MAAARING MAGKAKAMALI, ANG BALIW LAMANG ANG NATATAY SA KANILANG ERROR."

At ang mga mahusay na pinagkadalubhasaan ang paksa ay gagana sa mga pangkat na may mga malikhaing gawain (tingnan. Annex 1 ).

YUGTO II. PAGBUO NG KAALAMAN, KAKAYAHAN AT KASANAYAN

1)Guro: Sa produksyon mayroong maraming mga bahagi na nakakabit sa isa't isa sa isang tiyak na paraan.
Halimbawa:
Ang desktop cover ay nakakabit sa mga patayong poste. Bigyang-pansin ang mesa kung nasaan ka, paano at ano ang mga takip at rack na nakakabit sa isa't isa?

Sagot: Bolt.

Guro: Ano ang kailangan para sa isang bolt?

Sagot: butas.

Guro: Talaga. At upang makagawa ng isang butas, kailangan mong malaman ang lokasyon nito sa produkto. Kapag gumagawa ng isang mesa, ang isang karpintero ay hindi maaaring makipag-ugnayan sa customer sa bawat oras. Kaya, ano ang kailangan mong ibigay sa isang karpintero?

Sagot: Isang drawing.

Guro: Drawing!? Ano ang tawag sa pagguhit?

Sagot: Ang drawing ay isang imahe ng isang bagay na gumagamit ng mga rectangular projection sa isang projection na relasyon. Gamit ang pagguhit, maaari mong isipin ang geometric na hugis at disenyo ng produkto.

Guro: Nakumpleto na natin ang mga rectangular projection, ano ang susunod? Matutukoy ba natin ang lokasyon ng mga butas mula sa isang projection? Ano pa ang kailangan nating malaman? Ano ang dapat matutunan?

Sagot: Bumuo ng mga puntos. Hanapin ang mga projection ng mga puntong ito sa lahat ng view.

Guro: Magaling! Ito ang layunin ng ating aralin at paksa: Konstruksyon ng mga projection ng mga punto sa ibabaw ng isang bagay. Isulat ang paksa ng aralin sa iyong kuwaderno.
Alam mo at ako na ang anumang punto o segment sa imahe ng isang bagay ay isang projection ng isang vertex, gilid, mukha, i.e. bawat view ay isang imahe hindi mula sa isang gilid (head view, top view, left view), ngunit ang buong object.
Upang tama na mahanap ang mga projection ng mga indibidwal na punto na nakahiga sa mga mukha, kailangan mo munang mahanap ang mga projection ng mukha na ito, at pagkatapos, gamit ang mga linya ng koneksyon, hanapin ang mga projection ng mga punto.

(Tinitingnan namin ang pagguhit sa pisara, nagtatrabaho sa isang kuwaderno, kung saan ang 3 projection ng parehong bahagi ay ginawa sa bahay).

– Binuksan ang notebook na may natapos na drawing (Paliwanag sa pagbuo ng mga punto sa ibabaw ng isang bagay na may mga gabay na tanong sa pisara, at inaayos ito ng mga estudyante sa kanilang mga notebook.)

Guro: Isaalang-alang ang punto SA. Aling eroplano ang kahanay ng mukha ng puntong ito?

Sagot: Ang gilid ay parallel sa frontal plane.

Guro: Tinutukoy namin ang projection ng isang punto b' sa frontal projection. Mag-swipe pababa mula sa punto b' patayong linya ng komunikasyon sa pahalang na projection. Saan matatagpuan ang pahalang na projection ng punto? SA?

Sagot: Sa intersection na may pahalang na projection ng mukha na naka-project sa gilid. At ito ay matatagpuan sa ibaba ng projection (view).

Guro: Projection ng profile ng isang punto b'' , saan ito matatagpuan? Paano natin siya mahahanap?

Sagot: Sa intersection ng isang pahalang na linya ng komunikasyon mula sa b' na may patayong gilid sa kanan. Ang gilid na ito ay ang projection ng mukha na may punto SA.

TAWAG SA LUPON ANG MGA NAIS MAGBUO NG SUSUNOD NA PROJECTION OF THE POINT.

Guro: Point projection A ay matatagpuan din gamit ang mga linya ng komunikasyon. Aling eroplano ang mukha na may punto na kahanay? A?

Sagot: Ang gilid ay parallel sa profile plane. Tinutukoy namin ang isang punto sa projection ng profile A'' .

Guro: Sa aling projection na-project ang mukha sa gilid?

Sagot: Sa harap at pahalang. Gumuhit tayo ng pahalang na linya ng koneksyon hanggang sa mag-intersect ito sa patayong gilid sa kaliwa sa frontal projection, makakakuha tayo ng punto A' .

Guro: Paano mahanap ang projection ng isang punto A sa isang pahalang na projection? Pagkatapos ng lahat, ang mga linya ng komunikasyon mula sa projection ng mga puntos A' At A'' huwag i-intersect ang projection ng mukha (gilid) sa horizontal projection sa kaliwa. Ano ang makakatulong sa atin?

Sagot: Maaari kang gumamit ng pare-parehong tuwid na linya (tinutukoy nito ang lokasyon ng view sa kaliwa) mula sa A'' gumuhit ng patayong linya ng komunikasyon hanggang sa mag-intersect ito sa pare-parehong tuwid na linya. Ang isang pahalang na linya ng koneksyon ay iginuhit mula sa intersection point hanggang sa mag-intersect ito sa patayong gilid sa kaliwa. (Ito ang mukha na may punto A) at nagsasaad ng projection na may punto A .

2) Guro: Ang bawat isa ay may task card sa mesa na may nakalakip na tracing paper. Suriin ang pagguhit, ngayon subukan sa iyong sarili, nang hindi muling iguhit ang mga projection, upang mahanap ang ibinigay na mga projection ng mga puntos sa pagguhit.

– Hanapin ang larawan sa aklat-aralin, pahina 76. 93. Subukan ang iyong sarili. Ang mga nakagawa nito ng tama - puntos "5"; isang pagkakamali - ''4''; dalawa - ''3''.

(Ang mga marka ay ibinibigay mismo ng mga mag-aaral sa self-control sheet).

– Kolektahin ang mga card para sa pagpapatunay.

3)Gumawa ng sama sama: Limitado ang oras: 4 min. + 2 min. mga tseke. (Dalawang mesa na may mga mag-aaral ay pinagsama, at isang pinuno ang pipiliin sa loob ng grupo).

Ang bawat pangkat ay binibigyan ng mga gawain sa 3 antas. Pinipili ng mga mag-aaral ang mga gawain ayon sa antas (ayon sa gusto nila). Lutasin ang mga problemang may kinalaman sa pagbuo ng mga punto. Talakayin ang pagbuo sa ilalim ng pangangasiwa ng pinuno. Pagkatapos ang tamang sagot ay ipinapakita sa pisara gamit ang isang overhead projector. Sinusuri ng lahat na ang projection ng mga puntos ay ginawa nang tama. Sa tulong ng pinuno ng grupo, ibinibigay ang mga marka sa mga takdang-aralin at sa mga sheet ng pagpipigil sa sarili (tingnan. Appendix 2 At Appendix 3 ).

HEALTH-SAVING PAUSE. PAGNINILAY

"Pharaoh Pose"– umupo sa gilid ng isang upuan, ituwid ang iyong likod, ibaluktot ang iyong mga braso sa mga siko, i-cross ang iyong mga binti at ilagay ang mga ito sa iyong mga daliri sa paa. Huminga, paigtingin ang lahat ng kalamnan ng katawan habang pinipigilan ang iyong hininga, huminga nang palabas. Gawin ito ng 2-3 beses. Ipikit ang iyong mga mata nang mahigpit, hanggang sa maabot nila ang mga bituin, at buksan ang mga ito. Markahan ang iyong kalooban.

YUGTO III. PRAKTIKAL NA BAHAGI. (Mga indibidwal na takdang-aralin)

May mga task card na magagamit upang pumili mula sa iba't ibang antas. Pinipili ng mga mag-aaral ang kanilang sariling opsyon ayon sa kanilang kakayahan. Hanapin ang mga projection ng mga punto sa ibabaw ng bagay. Ang mga gawa ay isinusumite at namarkahan para sa susunod na aralin. (Cm. Appendix 4 , Appendix 5 , Appendix 6 ).

IV YUGTO. FINAL

1) Takdang aralin. (Pagtuturo). Isinasagawa ayon sa mga antas:

B - pag-unawa, sa "3". Pagsasanay 1 Fig. 94a p. 77 – ayon sa takdang-aralin sa aklat-aralin: kumpletuhin ang mga nawawalang projection ng mga puntos sa mga projection na ito.

B - aplikasyon, sa "4". Pagsasanay 1 Larawan 94 a, b. kumpletuhin ang mga nawawalang projection at markahan ang mga vertex sa visual na imahe sa 94a at 94b.

A - pagsusuri, "5". (Nadagdagang kahirapan.) Hal. 4 Fig.97 – buuin ang mga nawawalang projection ng mga puntos at lagyan ng mga titik ang mga ito. Walang visual na imahe.

2)Reflexive na pagsusuri.

1. Tukuyin ang mood sa pagtatapos ng aralin, markahan ito ng anumang palatandaan sa sheet ng pagpipigil sa sarili.
2. Ano ang bagong natutunan mo sa klase ngayon?
3. Anong anyo ng trabaho ang pinakamabisa para sa iyo: grupo, indibidwal, at gusto mo bang ulitin ito sa susunod na aralin?
4. Mangolekta ng self-control sheet.

3)“Ang Maling Guro”

Guro: Natutunan mong bumuo ng mga projection ng vertices, gilid, mukha at mga punto sa ibabaw ng isang bagay, na sinusunod ang lahat ng mga patakaran ng pagbuo. Ngunit binigyan ka nila ng drawing na naglalaman ng mga error. Ngayon subukan ang iyong sarili bilang isang guro. Hanapin ang mga error sa iyong sarili, kung nakita mo ang lahat ng 8-6 na mga error, kung gayon ang marka ay "5"; 5–4 error – “4”, 3 error – “3”.

Mga sagot:

Projection apparatus

Kasama sa projection apparatus (Larawan 1) ang tatlong projection plane:

π 1 – pahalang na projection plane;

π 2 – pangharap na eroplano ng mga projection;

π 3– profile projection plane .

Ang projection planes ay magkaparehong patayo ( π 1^ π 2^ π 3), at ang kanilang mga linya ng intersection ay bumubuo ng mga axes:

Intersection ng mga eroplano π 1 At π 2 bumuo ng isang axis 0X (π 1∩ π 2 = 0X);

Intersection ng mga eroplano π 1 At π 3 bumuo ng isang axis 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);

Intersection ng mga eroplano π 2 At π 3 bumuo ng isang axis 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

Ang intersection point ng mga axes (OX∩OY∩OZ=0) ay itinuturing na panimulang punto (point 0).

Dahil ang mga eroplano at axes ay magkaparehong patayo, ang naturang apparatus ay katulad ng Cartesian coordinate system.

Hinahati ng mga projection plane ang buong espasyo sa walong octants (sa Fig. 1 sila ay ipinahiwatig ng mga Roman numeral). Itinuturing na malabo ang mga projection plane, at palaging nasa loob ang tumitingin ako-ika octant.

Orthogonal projection na may mga projection center S 1, S 2 At S 3 ayon sa pagkakabanggit para sa pahalang, pangharap at profile projection na mga eroplano.

A.

Mula sa mga sentro ng projection S 1, S 2 At S 3 lumalabas ang projecting rays l 1, l 2 At l 3 A

- A 1 A;

- A 2– frontal projection ng isang punto A;

- A 3– projection ng profile ng isang punto A.

Ang isang punto sa espasyo ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga coordinate nito A(x,y,z). Mga puntos Isang x, A y At A z ayon sa pagkakabanggit sa mga palakol 0X, 0Y At 0Z ipakita ang mga coordinate x, y At z puntos A. Sa Fig. 1 ay nagbibigay ng lahat ng kinakailangang mga notasyon at nagpapakita ng mga koneksyon sa pagitan ng punto A space, mga projection at coordinate nito.

Point diagram

Upang makakuha ng isang plot ng isang punto A(Larawan 2), sa projection apparatus (Larawan 1) ang eroplano π 1 A 1 0X π 2. Tapos yung eroplano π 3 na may point projection A 3, paikutin ang counterclockwise sa paligid ng axis 0Z, hanggang sa ito ay nakahanay sa eroplano π 2. Direksyon ng pag-ikot ng eroplano π 2 At π 3 ipinapakita sa Fig. 1 arrow. At the same time, straight A 1 A x At A 2 A x 0X patayo A 1 A 2, at ang mga tuwid na linya A 2 A x At A 3 A x ay matatagpuan sa isang karaniwang axis 0Z patayo A 2 A 3. Sa sumusunod ay tatawagin natin ang mga linyang ito ayon sa pagkakabanggit patayo At pahalang linya ng komunikasyon.

Dapat pansinin na kapag lumilipat mula sa projection apparatus patungo sa diagram, nawawala ang inaasahang bagay, ngunit ang lahat ng impormasyon tungkol sa hugis nito, mga geometric na sukat at lokasyon nito sa espasyo ay napanatili.

A(x A , y A , z Ax A , y A At zA sa sumusunod na pagkakasunod-sunod (Larawan 2). Ang pagkakasunud-sunod na ito ay tinatawag na paraan ng pagbuo ng isang point diagram.

1. Ang mga palakol ay iginuhit nang orthogonal OX, OY At OZ.

2. Sa axis OX xA puntos A at makuha ang posisyon ng punto Isang x.

3. Sa pamamagitan ng punto Isang x patayo sa axis OX

Isang x kasama ang axis OY naka-plot ang numerical value ng coordinate y A puntos A A 1 sa diagram.

Isang x kasama ang axis OZ naka-plot ang numerical value ng coordinate zA puntos A A 2 sa diagram.

6. Sa pamamagitan ng punto A 2 parallel sa axis OX iginuhit ang isang pahalang na linya ng komunikasyon. Ang intersection ng linyang ito at ng axis OZ magbibigay ng posisyon ng punto A z.

7. Sa isang pahalang na linya ng komunikasyon mula sa isang punto A z kasama ang axis OY naka-plot ang numerical value ng coordinate y A puntos A at ang posisyon ng projection ng profile ng punto ay tinutukoy A 3 sa diagram.

Mga katangian ng mga puntos

Ang lahat ng mga punto sa espasyo ay nahahati sa mga punto ng partikular at pangkalahatang mga posisyon.

Mga punto ng partikular na posisyon. Ang mga puntong kabilang sa projection apparatus ay tinatawag na mga punto ng partikular na posisyon. Kabilang dito ang mga puntong kabilang sa projection planes, axes, pinanggalingan at projection centers. Ang mga katangian ng mga partikular na punto ng posisyon ay:

Metamathematical – isa, dalawa o lahat ng mga numerical coordinate na halaga ay katumbas ng zero at (o) infinity;

Sa isang diagram, dalawa o lahat ng projection ng isang punto ay matatagpuan sa mga axes at (o) matatagpuan sa infinity.

Mga punto ng pangkalahatang posisyon. Kasama sa mga punto ng pangkalahatang posisyon ang mga puntong hindi kabilang sa projection apparatus. Halimbawa, tuldok A sa Fig. 1 at 2.

Sa pangkalahatang kaso, ang mga numerical na halaga ng mga coordinate ng isang punto ay nagpapakilala sa distansya nito mula sa projection plane: coordinate X mula sa eroplano π 3; coordinate y mula sa eroplano π 2; coordinate z mula sa eroplano π 1. Dapat pansinin na ang mga palatandaan para sa mga numerical na halaga ng mga coordinate ay nagpapahiwatig ng direksyon kung saan ang punto ay lumalayo mula sa mga projection plane. Depende sa kumbinasyon ng mga palatandaan para sa mga numerical na halaga ng mga coordinate ng isang punto, depende ito sa kung aling octane ito.

Dalawang Pamamaraan ng Larawan

Sa pagsasagawa, bilang karagdagan sa buong pamamaraan ng projection, ginagamit ang dalawang-imahe na paraan. Naiiba ito dahil ang pamamaraang ito ay nag-aalis ng ikatlong projection ng bagay. Upang makuha ang projection apparatus ng two-image method, ang profile projection plane kasama ang projection center nito ay hindi kasama sa full projection apparatus (Fig. 3). Bukod dito, sa axis 0X isang reference point ang itinalaga (point 0 ) at mula dito patayo sa axis 0X sa projection planes π 1 At π 2 gumuhit ng mga palakol 0Y At 0Z ayon sa pagkakabanggit.

Sa device na ito, ang buong espasyo ay nahahati sa apat na quadrant. Sa Fig. 3 ang mga ito ay ipinahiwatig ng mga Roman numeral.

Itinuturing na malabo ang mga projection plane, at palaging nasa loob ang tumitingin ako-ika-kuwadrante.

Isaalang-alang natin ang pagpapatakbo ng aparato gamit ang halimbawa ng pag-project ng isang punto A.

Mula sa mga sentro ng projection S 1 At S 2 lumalabas ang projecting rays l 1 At l 2. Ang mga sinag na ito ay dumadaan sa punto A at ang intersecting sa projection planes ay bumubuo sa mga projection nito:

- A 1– pahalang na projection ng isang punto A;

- A 2– frontal projection ng isang punto A.

Upang makakuha ng isang plot ng isang punto A(Larawan 4), sa projection apparatus (Larawan 3) ang eroplano π 1 kasama ang nagresultang projection ng punto A 1 paikutin pakanan sa paligid ng isang axis 0X, hanggang sa ito ay nakahanay sa eroplano π 2. Direksyon ng pag-ikot ng eroplano π 1 ipinapakita sa Fig. 3 arrow. Sa kasong ito, sa diagram ng isang punto na nakuha sa paraan ng dalawang imahe, isa lamang ang nananatili patayo linya ng komunikasyon A 1 A 2.

Sa pagsasagawa, paglalagay ng isang punto A(x A , y A , z A) ay isinasagawa ayon sa mga numerong halaga ng mga coordinate nito x A , y A At zA sa sumusunod na pagkakasunod-sunod (Larawan 4).

1. Ang axis ay iginuhit OX at isang reference point ang itinalaga (point 0 ).

2. Sa axis OX naka-plot ang numerical value ng coordinate xA puntos A at makuha ang posisyon ng punto Isang x.

3. Sa pamamagitan ng punto Isang x patayo sa axis OX isang patayong linya ng komunikasyon ay iginuhit.

4. Sa isang patayong linya ng komunikasyon mula sa isang punto Isang x kasama ang axis OY naka-plot ang numerical value ng coordinate y A puntos A at ang posisyon ng pahalang na projection ng punto ay tinutukoy A 1 OY ay hindi iginuhit, ngunit ipinapalagay na ang mga positibong halaga nito ay matatagpuan sa ibaba ng axis OX, at mas mataas ang mga negatibo.

5. Sa isang patayong linya ng komunikasyon mula sa isang punto Isang x kasama ang axis OZ naka-plot ang numerical value ng coordinate zA puntos A at ang posisyon ng frontal projection ng punto ay tinutukoy A 2 sa diagram. Dapat pansinin na sa diagram ang axis OZ ay hindi iginuhit, ngunit ipinapalagay na ang mga positibong halaga nito ay matatagpuan sa itaas ng axis OX, at mas mababa ang mga negatibo.

Mga puntos na nakikipagkumpitensya

Ang mga puntos sa parehong projecting beam ay tinatawag na nakikipagkumpitensya na mga puntos. Sa direksyon ng projecting beam, mayroon silang isang karaniwang projection para sa kanila, i.e. magkapareho ang kanilang mga projection. Ang isang tampok na katangian ng mga nakikipagkumpitensya na puntos sa diagram ay ang magkaparehong pagkakataon ng kanilang mga projection ng parehong pangalan. Ang kumpetisyon ay nakasalalay sa visibility ng mga projection na ito na may kaugnayan sa nagmamasid. Sa madaling salita, sa espasyo para sa isang tagamasid ang isa sa mga punto ay nakikita, ang isa ay hindi. At, nang naaayon, sa pagguhit: ang isa sa mga projection ng mga nakikipagkumpitensya na puntos ay nakikita, at ang projection ng kabilang punto ay hindi nakikita.

Sa modelo ng spatial projection (Larawan 5) mula sa dalawang nakikipagkumpitensyang punto A At SA nakikitang punto A ayon sa dalawang katangiang magkatugma. Sa paghusga sa pamamagitan ng kadena S 1 →A→B tuldok A mas malapit sa nagmamasid kaysa sa punto SA. At, nang naaayon, higit pa mula sa projection plane π 1(mga. zA > zA).

kanin. 5 Fig.6

Kung ang punto mismo ay nakikita A, pagkatapos ay makikita rin ang projection nito A 1. Kaugnay ng projection na kasabay nito B 1. Para sa kalinawan at, kung kinakailangan, sa diagram, ang mga hindi nakikitang projection ng mga punto ay karaniwang nakapaloob sa mga bracket.

Alisin natin ang mga punto sa modelo A At SA. Mananatili ang magkasabay nilang projection sa eroplano π 1 at magkahiwalay na mga projection – sa π 2. Iwanan natin nang may kondisyon ang frontal projection ng observer (⇩) na matatagpuan sa gitna ng projection S 1. Pagkatapos, kasama ang hanay ng mga larawan ⇩ → A 2 → B 2 ito ay magiging posible upang hatulan iyon zA > z B at ang punto mismo ay nakikita A at ang projection nito A 1.

Isaalang-alang din natin ang mga nakikipagkumpitensyang puntos SA At D sa hitsura na may kaugnayan sa π 2 eroplano. Dahil ang karaniwang projecting beam ng mga puntong ito l 2 parallel sa axis 0Y, pagkatapos ay isang tanda ng visibility ng mga nakikipagkumpitensyang puntos SA At D tinutukoy ng hindi pagkakapantay-pantay y C > y D. Samakatuwid, ang puntong iyon D sarado ng isang tuldok SA at naaayon ang projection ng punto D 2 ay sakop ng projection ng punto C 2 sa ibabaw π 2.

Isaalang-alang natin kung paano natutukoy ang kakayahang makita ng mga nakikipagkumpitensyang puntos sa isang kumplikadong pagguhit (Larawan 6).

Sa paghusga sa mga coincident projection A 1≡SA 1 ang mga puntos mismo A At SA ay nasa isang projecting beam na kahanay sa axis 0Z. Nangangahulugan ito na ang mga coordinate ay maaaring ihambing zA At z B mga puntong ito. Upang gawin ito, ginagamit namin ang frontal projection plane na may hiwalay na mga larawan ng mga punto. Sa kasong ito zA > z B. Ito ay sumusunod mula dito na ang projection ay nakikita A 1.

Mga puntos C At D sa kumplikadong pagguhit na isinasaalang-alang (Larawan 6) ay nasa parehong projecting beam, ngunit parallel lamang sa axis 0Y. Samakatuwid, mula sa paghahambing y C > y D napagpasyahan namin na ang projection C 2 ay nakikita.

Pangkalahatang tuntunin. Ang kakayahang makita para sa pagtutugma ng mga projection ng mga nakikipagkumpitensyang puntos ay tinutukoy sa pamamagitan ng paghahambing ng mga coordinate ng mga puntong iyon sa direksyon ng isang karaniwang projection ray. Ang projection ng punto na ang coordinate ay mas malaki ay nakikita. Sa kasong ito, ang mga coordinate ay inihambing sa projection plane na may hiwalay na mga larawan ng mga punto.

Ang posisyon ng isang punto sa espasyo ay maaaring tukuyin ng dalawang orthogonal projection nito, halimbawa, pahalang at pangharap, pangharap at profile. Ang kumbinasyon ng anumang dalawang orthogonal projection ay nagpapahintulot sa iyo na malaman ang halaga ng lahat ng mga coordinate ng isang punto, bumuo ng isang ikatlong projection, at matukoy ang octant kung saan ito matatagpuan. Tingnan natin ang ilang tipikal na problema mula sa descriptive geometry course.

Para sa isang naibigay na kumplikadong pagguhit ng mga puntos A at B, kinakailangan:

Alamin muna natin ang mga coordinate ng point A, na maaaring isulat sa anyo A (x, y, z). Pahalang na projection ng point A - point A", pagkakaroon ng mga coordinate x, y. Gumuhit tayo ng mga perpendicular mula sa point A" hanggang sa x, y axes at hanapin ang A x, A y, ayon sa pagkakabanggit. Ang x coordinate para sa point A ay katumbas ng haba ng segment na A x O na may plus sign, dahil ang A x ay nasa rehiyon ng mga positibong halaga ng x axis. Isinasaalang-alang ang sukat ng pagguhit, nakita namin ang x = 10. Ang y coordinate ay katumbas ng haba ng segment A y O na may minus sign, dahil ang t. A y ay nasa rehiyon ng mga negatibong halaga ng y axis. Isinasaalang-alang ang sukat ng pagguhit, y = –30. Ang frontal projection ng point A - point A"" ay may mga coordinate x at z. I-drop natin ang patayo mula A"" sa z axis at hanapin ang A z. Ang z coordinate ng point A ay katumbas ng haba ng segment na A z O na may minus sign, dahil ang A z ay nasa rehiyon ng mga negatibong halaga ng z axis. Isinasaalang-alang ang drawing scale z = –10. Kaya, ang mga coordinate ng point A ay (10, -30, -10).

Ang mga coordinate ng point B ay maaaring isulat bilang B (x, y, z). Isaalang-alang ang pahalang na projection ng point B - point B". Dahil nasa x axis ito, B x = B" at ang coordinate B y = 0. Ang abscissa x ng point B ay katumbas ng haba ng segment B x O na may plus sign. Isinasaalang-alang ang drawing scale x = 30. Ang frontal projection ng point B ay t. Ang B˝ ay may mga coordinate x, z. Gumuhit tayo ng patayo mula sa B"" hanggang sa z axis, sa gayon ay nakakahanap ng B z. Ang applicate na z ng point B ay katumbas ng haba ng segment B z O na may minus sign, dahil ang B z ay nasa rehiyon ng mga negatibong halaga ng z axis. Isinasaalang-alang ang sukat ng pagguhit, tinutukoy namin ang halaga z = –20. Kaya ang mga coordinate ng B ay (30, 0, -20). Ang lahat ng kinakailangang mga konstruksyon ay ipinakita sa figure sa ibaba.

Konstruksyon ng mga projection ng mga puntos

Ang mga punto A at B sa eroplano P 3 ay may mga sumusunod na coordinate: A""" (y, z); B""" (y, z). Sa kasong ito, ang A"" at A""" ay nakahiga sa parehong patayo sa z axis, dahil mayroon silang karaniwang z coordinate. Katulad nito, ang B"" at B""" ay nakahiga sa isang karaniwang patayo sa z axis. Upang mahanap ang projection ng profile ng point A, i-plot namin sa kahabaan ng y-axis ang halaga ng kaukulang coordinate na nakita kanina. Sa figure, ito ay ginagawa gamit ang isang pabilog na arko ng radius A y O. Pagkatapos nito, gumuhit ng patayo mula sa A y hanggang sa mag-intersect ito sa patayo na naibalik mula sa punto A"" hanggang sa z axis. Tinutukoy ng intersection point ng dalawang perpendicular na ito ang posisyon ng A""".

Ang point B""" ay nasa z axis, dahil ang y ordinate ng puntong ito ay zero. Upang mahanap ang profile projection ng point B sa problemang ito, kailangan mo lang gumuhit ng patayo mula sa B"" hanggang sa z axis. Ang Ang intersection point ng patayo na ito sa z axis ay B """.

Pagtukoy sa posisyon ng mga puntos sa espasyo

Ang biswal na pag-iisip ng spatial na layout, na binubuo ng mga projection plane P 1, P 2 at P 3, ang lokasyon ng mga octant, pati na rin ang pagkakasunud-sunod ng pagbabago ng layout sa mga diagram, maaari mong direktang matukoy na ang point A ay matatagpuan sa III octant. , at ang punto B ay nasa eroplanong P 2.

Ang isa pang pagpipilian para sa paglutas ng problemang ito ay ang paraan ng mga pagbubukod. Halimbawa, ang mga coordinate ng point A ay (10, -30, -10). Ang isang positibong abscissa x ay nagpapahintulot sa amin na hatulan na ang punto ay matatagpuan sa unang apat na octants. Ang negatibong y-ordinate ay nagpapahiwatig na ang punto ay nasa pangalawa o pangatlong octant. Sa wakas, ang negatibong applicate z ay nagpapahiwatig na ang punto A ay matatagpuan sa ikatlong octant. Malinaw na inilalarawan ng sumusunod na talahanayan ang pangangatwiran sa itaas.

Octants	Mga palatandaan ng coordinate
	x	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Mga coordinate ng point B (30, 0, -20). Dahil ang ordinate ng point B ay zero, ang puntong ito ay matatagpuan sa projection plane P 2. Ang positive abscissa at negative applicate ng t.B ay nagpapahiwatig na ito ay matatagpuan sa hangganan ng ikatlo at ikaapat na octants.

Pagbuo ng isang visual na imahe ng mga punto sa sistema ng mga eroplano P 1, P 2, P 3

Gamit ang isang frontal isometric projection, bumuo kami ng spatial na layout ng III octant. Ito ay isang hugis-parihaba na trihedron, na ang mga mukha ay ang mga eroplanong P 1, P 2, P 3, at ang anggulo (-y0x) ay 45 º. Sa sistemang ito, ang mga segment sa kahabaan ng x, y, z axes ay ilalagay sa natural na laki nang walang pagbaluktot.

Magsimula tayo sa pagbuo ng isang visual na imahe ng point A (10, -30, -10) kasama ang pahalang na projection nito A. Ang pagkakaroon ng pag-plot ng kaukulang mga coordinate sa kahabaan ng abscissa at ordinate axis, nakita natin ang mga puntong A x at A y. Ang intersection ng mga perpendicular muling itinayo mula sa A x at A y ayon sa pagkakabanggit sa x at y axes ay tumutukoy sa posisyon ng punto A". Ang pag-alis mula sa A" na kahanay sa z axis patungo sa mga negatibong halaga nito ang segment AA", ang haba nito ay 10, nakita namin ang posisyon ng point A.

Ang visual na imahe ng point B (30, 0, -20) ay itinayo sa katulad na paraan - sa P2 plane kasama ang x at z axes, kailangan mong i-plot ang kaukulang mga coordinate. Ang intersection ng mga perpendicular na na-reconstruct mula sa B x at B z ay tutukuyin ang posisyon ng point B.

Isaalang-alang natin ang mga projection ng mga punto sa dalawang eroplano, kung saan kukuha tayo ng dalawang patayong eroplano (Larawan 4), na tatawagin nating pahalang na pangharap at mga eroplano. Ang linya ng intersection ng mga eroplanong ito ay tinatawag na projection axis. Nag-project kami ng isang punto A sa mga itinuturing na eroplano gamit ang plane projection. Upang gawin ito, kinakailangan na ibaba ang mga patayo na Aa at A mula sa isang naibigay na punto papunta sa itinuturing na mga eroplano.

Ang projection papunta sa pahalang na eroplano ay tinatawag pahalang na projection puntos A, at ang projection A? sa frontal plane ay tinatawag frontal projection.

Ang mga puntong ie-project ay karaniwang tinutukoy sa descriptive geometry gamit ang malalaking titik A, B, C. Ang mga maliliit na titik ay ginagamit upang ipahiwatig ang mga pahalang na projection ng mga puntos a, b, c... Ang mga frontal projection ay ipinahiwatig sa maliliit na letra na may stroke sa itaas a?, b?, c?…

Ang mga puntos ay itinalaga rin ng mga Roman numeral I, II,... at para sa kanilang mga projection - sa pamamagitan ng Arabic numeral 1, 2... at 1?, 2?...

Sa pamamagitan ng pag-ikot ng pahalang na eroplano ng 90°, maaari kang makakuha ng isang guhit kung saan ang parehong mga eroplano ay nasa parehong eroplano (Larawan 5). Ang larawang ito ay tinatawag diagram ng isang punto.

Sa pamamagitan ng mga patayong linya Ahh At ha? Gumuhit tayo ng isang eroplano (Larawan 4). Ang resultang eroplano ay patayo sa pangharap at pahalang na mga eroplano dahil naglalaman ito ng mga patayo sa mga eroplanong ito. Samakatuwid, ang eroplanong ito ay patayo sa linya ng intersection ng mga eroplano. Ang nagreresultang tuwid na linya ay nag-intersect sa pahalang na eroplano sa isang tuwid na linya ahh x, at ang frontal plane – sa isang tuwid na linya a?a X. Diretso aah at a?a x ay patayo sa axis ng intersection ng mga eroplano. Yan ay Aahaha? ay isang parihaba.

Kapag pinagsasama ang pahalang at pangharap na mga eroplanong projection A At A? ay hihiga sa parehong patayo sa axis ng intersection ng mga eroplano, dahil kapag ang pahalang na eroplano ay umiikot, ang perpendicularity ng mga segment ahh x at a?a hindi masisira ang x.

Nakukuha namin iyon sa projection diagram A At A? ilang mga punto A laging nakahiga sa parehong patayo sa axis ng intersection ng mga eroplano.

Dalawang projection a at A? ng isang tiyak na punto A ay maaaring malinaw na matukoy ang posisyon nito sa espasyo (Larawan 4). Ito ay kinumpirma ng katotohanan na kapag gumagawa ng isang patayo mula sa projection a hanggang sa pahalang na eroplano, dadaan ito sa punto A. Sa parehong paraan, isang patayo mula sa projection A? sa frontal plane ay dadaan sa punto A, ibig sabihin, punto A ay sabay-sabay sa dalawang tiyak na tuwid na linya. Point A ay ang kanilang punto ng intersection, iyon ay, ito ay tiyak.

Isaalang-alang ang isang parihaba Aaa X A?(Larawan 5), kung saan totoo ang mga sumusunod na pahayag:

1) Layo ng punto A mula sa frontal plane ay katumbas ng distansya ng pahalang na projection nito a mula sa axis ng intersection ng mga eroplano, i.e.

ha? = ahh X;

2) distansya ng punto A mula sa pahalang na eroplano ng mga projection ay katumbas ng distansya ng frontal projection nito A? mula sa axis ng intersection ng mga eroplano, i.e.

Ahh = a?a X.

Sa madaling salita, kahit na wala ang punto mismo sa diagram, gamit lamang ang dalawang projection nito, maaari mong malaman kung anong distansya ang isang naibigay na punto ay matatagpuan mula sa bawat isa sa mga projection plane.

Ang intersection ng dalawang projection planes ay naghahati sa espasyo sa apat na bahagi, na tinatawag sa quarters(Larawan 6).

Ang axis ng intersection ng mga eroplano ay naghahati sa pahalang na eroplano sa dalawang quarter - ang harap at likuran, at ang frontal na eroplano - sa itaas at ibabang quarters. Ang itaas na bahagi ng frontal plane at ang anterior na bahagi ng horizontal plane ay itinuturing na mga hangganan ng unang quarter.

Kapag natatanggap ang diagram, ang pahalang na eroplano ay umiikot at nakahanay sa pangharap na eroplano (Larawan 7). Sa kasong ito, ang harap na bahagi ng pahalang na eroplano ay magkakasabay sa ilalim na bahagi ng pangharap na eroplano, at ang likod na bahagi ng pahalang na eroplano ay magkakasabay sa tuktok na bahagi ng pangharap na eroplano.

Ang mga figure 8-11 ay nagpapakita ng mga punto A, B, C, D, na matatagpuan sa iba't ibang bahagi ng espasyo. Ang punto A ay matatagpuan sa unang quarter, ang punto B ay nasa pangalawa, ang punto C ay nasa ikatlo at ang punto D ay nasa ikaapat.

Kapag ang mga puntos ay matatagpuan sa una o ikaapat na quarter ng mga ito pahalang na projection ay nasa harap na bahagi ng pahalang na eroplano, at sa diagram ay hihiga sila sa ibaba ng axis ng intersection ng mga eroplano. Kapag ang isang punto ay matatagpuan sa ikalawa o ikatlong quarter, ang pahalang na projection nito ay nasa likod ng pahalang na eroplano, at sa diagram ito ay matatagpuan sa itaas ng axis ng intersection ng mga eroplano.

Mga projection sa harap Ang mga punto na matatagpuan sa una o ikalawang quarter ay matatagpuan sa itaas na bahagi ng frontal plane, at sa diagram ay matatagpuan sila sa itaas ng axis ng intersection ng mga eroplano. Kapag ang isang punto ay matatagpuan sa ikatlo o ikaapat na quarter, ang frontal projection nito ay nasa ibaba ng axis ng intersection ng mga eroplano.

Kadalasan, sa mga tunay na konstruksyon, ang pigura ay inilalagay sa unang quarter ng espasyo.

Sa ilang mga espesyal na kaso, ang punto ( E) ay maaaring humiga sa isang pahalang na eroplano (Larawan 12). Sa kasong ito, ang pahalang na projection nito e at ang punto mismo ay magkakasabay. Ang frontal projection ng naturang punto ay matatagpuan sa axis ng intersection ng mga eroplano.

Sa kaso kapag ang punto SA namamalagi sa frontal plane (Larawan 13), ang pahalang na projection nito k namamalagi sa axis ng intersection ng mga eroplano, at ang frontal k? ipinapakita ang aktwal na lokasyon ng puntong ito.

Para sa mga naturang punto, isang senyales na ito ay nasa isa sa mga projection plane ay ang isa sa mga projection nito ay nasa axis ng intersection ng mga eroplano.

Kung ang isang punto ay nasa axis ng intersection ng mga projection planes, ito at ang parehong projection nito ay nag-tutugma.

Kapag ang isang punto ay hindi nakahiga sa projection planes, ito ay tinatawag punto ng pangkalahatang posisyon. Sa mga sumusunod, kung walang mga espesyal na marka, ang puntong pinag-uusapan ay isang punto sa pangkalahatang posisyon.

2. Kakulangan ng projection axis

Upang ipaliwanag kung paano makakuha ng mga projection ng isang punto sa isang modelo na patayo sa projection plane (Larawan 4), kinakailangan na kumuha ng isang piraso ng makapal na papel sa hugis ng isang pinahabang parihaba. Kailangan itong baluktot sa pagitan ng mga projection. Ang fold line ay kumakatawan sa axis ng intersection ng mga eroplano. Kung pagkatapos nito ang baluktot na piraso ng papel ay ituwid muli, makakakuha tayo ng isang diagram na katulad ng ipinapakita sa figure.

Sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng dalawang projection plane sa drawing plane, posibleng hindi ipakita ang fold line, ibig sabihin, hindi gumuhit ng axis ng intersection ng mga eroplano sa diagram.

Kapag nagpaplano sa isang diagram, dapat mong palaging ilagay ang mga projection A At A? punto A sa isang patayong linya (Larawan 14), na patayo sa axis ng intersection ng mga eroplano. Samakatuwid, kahit na ang posisyon ng axis ng intersection ng mga eroplano ay nananatiling hindi tiyak, ngunit ang direksyon nito ay tinutukoy, ang axis ng intersection ng mga eroplano ay matatagpuan lamang sa diagram na patayo sa tuwid na linya. huh?.

Kung walang projection axis sa diagram ng isang punto, tulad ng sa unang Figure 14 a, maaari mong isipin ang posisyon ng puntong ito sa espasyo. Upang gawin ito, gumuhit kahit saan patayo sa tuwid na linya huh? projection axis, tulad ng sa pangalawang figure (Fig. 14) at ibaluktot ang pagguhit kasama ang axis na ito. Kung ibabalik natin ang mga perpendicular sa mga punto A At A? bago sila magsalubong, maaari kang makakuha ng isang punto A. Kapag binabago ang posisyon ng projection axis, ang iba't ibang mga posisyon ng point na may kaugnayan sa projection planes ay nakuha, ngunit ang kawalan ng katiyakan ng posisyon ng projection axis ay hindi nakakaapekto sa relatibong posisyon ng ilang mga puntos o figure sa espasyo.

3. Mga projection ng isang punto sa tatlong projection planes

Isaalang-alang natin ang profile plane ng mga projection. Ang mga projection sa dalawang perpendikular na eroplano ay karaniwang tinutukoy ang posisyon ng isang figure at ginagawang posible upang malaman ang tunay na sukat at hugis nito. Ngunit may mga pagkakataon na hindi sapat ang dalawang projection. Pagkatapos ay ginagamit ang pagtatayo ng ikatlong projection.

Ang ikatlong projection plane ay iginuhit upang ito ay patayo sa parehong projection plane nang sabay-sabay (Fig. 15). Ang ikatlong eroplano ay karaniwang tinatawag profile.

Sa ganitong mga konstruksyon, ang karaniwang tuwid na linya ng pahalang at pangharap na mga eroplano ay tinatawag aksis X , ang karaniwang tuwid na linya ng pahalang at profile na eroplano - aksis sa , at ang karaniwang tuwid na linya ng pangharap at profile na mga eroplano ay aksis z . Dot TUNGKOL SA, na nabibilang sa lahat ng tatlong eroplano, ay tinatawag na punto ng pinagmulan.

Ipinapakita ng Figure 15a ang punto A at tatlo sa mga projection nito. Projection papunta sa profile plane ( A??) ay tinatawag projection ng profile at magpakilala A??.

Upang makakuha ng diagram ng point A, na binubuo ng tatlong projection a, a, a, kinakailangang putulin ang trihedron na nabuo ng lahat ng mga eroplano sa kahabaan ng y-axis (Fig. 15b) at pagsamahin ang lahat ng mga eroplanong ito sa eroplano ng frontal projection. Ang pahalang na eroplano ay dapat na paikutin tungkol sa axis X, at ang profile plane ay tungkol sa axis z sa direksyon na ipinahiwatig ng arrow sa Figure 15.

Ipinapakita ng Figure 16 ang posisyon ng mga projection huh, huh? At A?? puntos A, nakuha sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng lahat ng tatlong eroplano sa drawing plane.

Bilang resulta ng hiwa, lumilitaw ang y-axis sa dalawang magkaibang lugar sa diagram. Sa isang pahalang na eroplano (Larawan 16) ito ay tumatagal ng isang patayong posisyon (patayo sa axis X), at sa profile plane - pahalang (patayo sa axis z).

Mayroong tatlong projection sa Figure 16 huh, huh? At A?? Ang mga puntong A ay may mahigpit na tinukoy na posisyon sa diagram at napapailalim sa mga hindi malabong kundisyon:

A At A? dapat palaging matatagpuan sa parehong patayong linya, patayo sa axis X;

A? At A?? dapat palaging matatagpuan sa parehong pahalang na tuwid na linya, patayo sa axis z;

3) kapag isinasagawa sa pamamagitan ng isang pahalang na projection at isang pahalang na tuwid na linya, at sa pamamagitan ng isang profile projection A??– isang patayong tuwid na linya, ang mga itinayong tuwid na linya ay kinakailangang magsalubong sa bisector ng anggulo sa pagitan ng mga projection axes, dahil ang figure Oa sa A 0 A n – parisukat.

Kapag gumagawa ng tatlong projection ng isang punto, kailangan mong suriin kung ang lahat ng tatlong kundisyon ay natutugunan para sa bawat punto.

4. Point coordinates

Ang posisyon ng isang punto sa espasyo ay maaaring matukoy gamit ang tatlong numero na tinatawag na nito mga coordinate. Ang bawat coordinate ay tumutugma sa distansya ng isang punto mula sa ilang projection plane.

Natukoy na distansya ng punto A sa profile plane ay ang coordinate X, kung saan X = huh?Huh(Fig. 15), ang distansya sa frontal plane ay coordinate y, at y = huh?Huh, at ang distansya sa pahalang na eroplano ay ang coordinate z, kung saan z = aA.

Sa Figure 15, ang point A ay sumasakop sa lapad ng isang rectangular parallelepiped, at ang mga sukat ng parallelepiped na ito ay tumutugma sa mga coordinate ng puntong ito, ibig sabihin, ang bawat isa sa mga coordinate ay kinakatawan sa Figure 15 ng apat na beses, i.e.:

x = a?A = Oa x = a y a = a z a?;

y = а?А = Оа y = а x а = а z а?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

Sa diagram (Larawan 16), ang mga x at z na coordinate ay lilitaw nang tatlong beses:

x = a z a?= Oa x = a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Lahat ng mga segment na tumutugma sa coordinate X(o z), ay parallel sa isa't isa. Coordinate sa kinakatawan ng dalawang beses ng isang axis na matatagpuan patayo:

y = Oa y = a x a

at dalawang beses - matatagpuan nang pahalang:

y = Oa y = a z a?.

Lumilitaw ang pagkakaibang ito dahil sa katotohanan na ang y-axis ay naroroon sa diagram sa dalawang magkaibang posisyon.

Dapat itong isaalang-alang na ang posisyon ng bawat projection ay tinutukoy sa diagram sa pamamagitan lamang ng dalawang mga coordinate, lalo na:

1) pahalang – mga coordinate X At sa,

2) frontal - mga coordinate x At z,

3) profile - mga coordinate sa At z.

Gamit ang mga coordinate x, y At z, maaari kang bumuo ng mga projection ng isang punto sa isang diagram.

Kung ang punto A ay ibinibigay ng mga coordinate, ang kanilang pag-record ay tinukoy bilang mga sumusunod: A ( X; y; z).

Kapag gumagawa ng mga projection ng punto A ang mga sumusunod na kondisyon ay dapat suriin:

1) pahalang at pangharap na mga projection A At A? X X;

2) mga projection sa harapan at profile A? At A? dapat na matatagpuan sa parehong patayo sa axis z, dahil mayroon silang isang karaniwang coordinate z;

3) pahalang na projection at inalis din sa axis X, tulad ng projection ng profile A malayo sa axis z, since projections ah? at eh? magkaroon ng isang karaniwang coordinate sa.

Kung ang isang punto ay nasa alinman sa mga projection plane, kung gayon ang isa sa mga coordinate nito ay katumbas ng zero.

Kapag ang isang punto ay nasa projection axis, dalawa sa mga coordinate nito ay katumbas ng zero.

Kung ang isang punto ay nasa pinanggalingan, ang lahat ng tatlong mga coordinate nito ay zero.

Verbal form	Graphic na anyo
1. I-plot ang kaukulang mga coordinate ng point A sa X, Y, Z axes. Kumuha kami ng mga puntos A x, A y, A z
2. Ang pahalang na projection A 1 ay matatagpuan sa intersection ng mga linya ng komunikasyon mula sa mga puntong A x at A y na iginuhit parallel sa X at Y axes
3. Ang frontal projection A 2 ay matatagpuan sa intersection ng mga linya ng komunikasyon mula sa mga puntong A x at A z na iginuhit parallel sa X at Z axes
4. Ang projection ng profile A 3 ay matatagpuan sa intersection ng mga linya ng komunikasyon mula sa mga puntong A z at A y na iginuhit parallel sa Z at Y axes

3.2. Posisyon ng punto na may kaugnayan sa projection planes

Ang posisyon ng isang punto sa espasyo na may kaugnayan sa mga projection planes ay tinutukoy ng mga coordinate nito. Tinutukoy ng X coordinate ang distansya ng isang punto mula sa P 3 plane (projection sa P 2 o P 1), tinutukoy ng Y coordinate ang distansya mula sa P 2 plane (projection papunta sa P 3 o P 1), tinutukoy ng Z coordinate ang distansya mula sa P 1 na eroplano (projection sa P 3 o P 2). Depende sa halaga ng mga coordinate na ito, maaaring sakupin ng isang punto ang parehong pangkalahatan at isang partikular na posisyon sa espasyo na may kaugnayan sa mga projection planes (Larawan 3.1).

kanin. 3.1. Pag-uuri ng punto

Tpuntospangkalahatanmga probisyon. Ang mga coordinate ng isang generic na punto ay hindi katumbas ng zero ( x≠0, y≠0, z≠0 ), at depende sa tanda ng coordinate, ang punto ay maaaring matatagpuan sa isa sa walong octants (Talahanayan 2.1).

Sa Fig. 3.2 ay nagbibigay ng mga guhit ng mga punto sa pangkalahatang posisyon. Ang pagsusuri sa kanilang mga imahe ay nagbibigay-daan sa amin upang tapusin na sila ay matatagpuan sa mga sumusunod na octants ng espasyo: A(+X;+Y; +Z(  Ioctant;B(+X;+Y;-Z(  IVoctant;C(-X;+Y; +Z(  Voctant;D(+X;+Y; +Z(  IIoctant.

Mga punto ng espesyal na posisyon. Ang isa sa mga coordinate sa isang punto ng partikular na posisyon ay katumbas ng zero, kaya ang projection ng punto ay namamalagi sa kaukulang projection field, ang iba pang dalawa - sa projection axes. Sa Fig. 3.3 ang mga nasabing puntos ay mga puntos A, B, C, D, G.A  P 3, pagkatapos ay ituro ang X A = 0; SA  P 3, pagkatapos ay ituro ang X B = 0; SA  П 2, pagkatapos ay pointY C =0;D  P 1, pagkatapos ay ituro ang Z D = 0.

Ang isang punto ay maaaring kabilang sa dalawang projection plane nang sabay-sabay kung ito ay nasa linya ng intersection ng mga eroplanong ito - ang projection axis. Para sa mga naturang punto, ang coordinate lamang sa axis na ito ay hindi zero. Sa Fig. 3.3 ang gayong punto ay ang puntong G(G  OZ, pagkatapos ay ituro ang X G =0,Y G =0).

3.3. Kamag-anak na posisyon ng mga puntos sa espasyo

Isaalang-alang natin ang tatlong mga pagpipilian para sa kamag-anak na pag-aayos ng mga puntos depende sa ratio ng mga coordinate na tumutukoy sa kanilang posisyon sa espasyo.

Sa Fig. 3.4 puntos A at B ay may magkaibang mga coordinate.

Ang kanilang kamag-anak na posisyon ay maaaring masuri sa pamamagitan ng kanilang distansya sa projection planes: Y A >Y B, pagkatapos ay ang point A ay matatagpuan sa malayo mula sa plane P 2 at mas malapit sa observer kaysa sa point B; Z A >Z B, pagkatapos ay ang punto A ay matatagpuan sa malayo mula sa eroplano P 1 at mas malapit sa tagamasid kaysa sa punto B; X A

Sa Fig. Ang 3.5 ay nagpapakita ng mga puntos A, B, C, D, kung saan ang isa sa mga coordinate ay pareho, at ang iba pang dalawa ay magkaiba.

Ang kanilang kamag-anak na posisyon ay maaaring masuri sa pamamagitan ng kanilang distansya sa mga projection planes tulad ng sumusunod:

Y A =Y B =Y D, pagkatapos ay ang mga punto A, B at D ay katumbas ng layo mula sa eroplano P 2, at ang kanilang mga pahalang at profile projection ay matatagpuan, ayon sa pagkakabanggit, sa mga tuwid na linya [A 1 B 1 ]llОХ at [A 3 B 3 ] llOZ. Ang geometric na lokasyon ng naturang mga punto ay isang eroplanong parallel sa P2;

Z A =Z B =Z C, pagkatapos ay ang mga punto A, B at C ay katumbas ng layo mula sa eroplano P 1, at ang kanilang mga frontal at profile projection ay matatagpuan, ayon sa pagkakabanggit, sa mga tuwid na linya [A 2 B 2 ]llОХ at [A 3 C 3 ] llOY. Ang geometric na lokasyon ng naturang mga punto ay isang eroplanong parallel sa P 1;

X A =X C =X D, pagkatapos ay ang mga puntong A, C at D ay katumbas ng layo mula sa eroplanong P 3 at ang kanilang pahalang at pangharap na mga projection ay matatagpuan, ayon sa pagkakabanggit, sa mga tuwid na linya [A 1 C 1 ]llOY at [A 2 D 2 ]llOZ . Ang geometric na lokasyon ng naturang mga punto ay isang eroplanong parallel sa P3.

3. Kung ang mga puntos ay may pantay na dalawang coordinate ng parehong pangalan, kung gayon sila ay tinatawag nakikipagkumpitensya. Ang mga nakikipagkumpitensyang puntos ay matatagpuan sa parehong linya ng projection. Sa Fig. 3.3 mayroong tatlong pares ng naturang mga punto kung saan: X A = X D ; Y A = Y D ; Z D > Z A; X A = X C ; Z A = Z C ; Y C > Y A ; Y A = Y B ; Z A = Z B ; X B > X A .

Mayroong pahalang na nakikipagkumpitensya na mga punto A at D, na matatagpuan sa pahalang na projecting line AD, frontally nakikipagkumpitensya na mga punto A at C, na matatagpuan sa frontally projecting line AC, profile na nakikipagkumpitensya na mga punto A at B, na matatagpuan sa profile projecting line AB.

Konklusyon sa paksa

1. Ang punto ay isang linear na geometric na imahe, isa sa mga pangunahing konsepto ng descriptive geometry. Ang posisyon ng isang punto sa espasyo ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng mga coordinate nito. Ang bawat isa sa tatlong projection ng isang punto ay nailalarawan sa pamamagitan ng dalawang coordinate, ang kanilang mga pangalan ay tumutugma sa mga pangalan ng mga axes na bumubuo sa kaukulang projection plane: pahalang - A 1 (XA; YA); pangharap – A 2 (XA; ZA); profile – A 3 (YA; ZA). Ang pagsasalin ng mga coordinate sa pagitan ng mga projection ay isinasagawa gamit ang mga linya ng komunikasyon. Gamit ang dalawang projection, maaari kang bumuo ng mga projection ng isang punto gamit ang mga coordinate o graphical.

3. Ang isang punto na may kaugnayan sa projection na mga eroplano ay maaaring sumakop sa parehong pangkalahatan at isang partikular na posisyon sa kalawakan.

4. Ang isang punto sa pangkalahatang posisyon ay isang punto na hindi kabilang sa alinman sa mga projection plane, ibig sabihin, nakahiga sa espasyo sa pagitan ng mga projection plane. Ang mga coordinate ng isang generic na punto ay hindi katumbas ng zero (x≠0,y≠0,z≠0).

5. Ang isang punto ng partikular na posisyon ay isang punto na kabilang sa isa o dalawang projection planes. Ang isa sa mga coordinate sa punto ng partikular na posisyon ay katumbas ng zero, kaya ang projection ng punto ay namamalagi sa kaukulang field ng projection plane, ang iba pang dalawa - sa projection axes.

6. Mga puntos na nakikipagkumpitensya - mga puntos na ang mga coordinate ng parehong pangalan ay nagtutugma. Mayroong pahalang na nakikipagkumpitensya na mga puntos, mga puntos na nakikipagkumpitensya sa harap, mga puntos na nakikipagkumpitensya sa profile.

Mga keyword

Mga coordinate ng punto

Pangkalahatang punto

Pribadong punto

Mga puntos na nakikipagkumpitensya

Mga pamamaraan ng aktibidad na kinakailangan upang malutas ang mga problema

– pagbuo ng isang punto ayon sa ibinigay na mga coordinate sa isang sistema ng tatlong projection planes sa kalawakan;

– pagbuo ng isang punto ayon sa ibinigay na mga coordinate sa isang sistema ng tatlong projection planes sa isang kumplikadong pagguhit.

Mga tanong sa pagsusulit sa sarili

1. Paano naitatag ang koneksyon sa pagitan ng lokasyon ng mga coordinate sa isang kumplikadong pagguhit sa sistema ng tatlong projection planes P 1 P 2 P 3 na may mga coordinate ng point projection?

2. Anong mga coordinate ang tumutukoy sa distansya ng mga punto sa pahalang, frontal, profile projection planes?

3. Anong mga coordinate at projection ng punto ang magbabago kung ang punto ay gumagalaw sa direksyon na patayo sa profile plane ng mga projection P 3?

4. Anong mga coordinate at projection ng isang punto ang magbabago kung ang punto ay gumagalaw sa direksyon na kahanay sa OZ axis?

5. Anong mga coordinate ang tumutukoy sa pahalang (frontal, profile) na projection ng isang punto?

7. Sa anong kaso ang projection ng isang punto ay tumutugma sa punto sa kalawakan mismo at saan matatagpuan ang iba pang dalawang projection ng puntong ito?

8. Maaari bang mapabilang ang isang punto sa tatlong projection planes nang sabay-sabay at sa anong kaso?

9. Ano ang mga pangalan ng mga punto na ang mga projection ng parehong pangalan ay nagtutugma?

10. Paano mo matutukoy kung alin sa dalawang punto ang mas malapit sa nagmamasid kung ang kanilang mga frontal projection ay magkasabay?

Mga gawain para sa malayang solusyon

1. Magbigay ng visual na representasyon ng mga puntong A, B, C, D na nauugnay sa mga projection planes P 1, P 2. Tinutukoy ang mga punto sa pamamagitan ng kanilang mga projection (Larawan 3.6).

2. Bumuo ng mga projection ng mga puntos A at B ayon sa kanilang mga coordinate sa isang visual na imahe at isang kumplikadong pagguhit: A(13.5; 20), B(6.5; –20). Bumuo ng projection ng point C, na matatagpuan simetriko sa point A na may kaugnayan sa frontal plane ng projection P 2.

3. Bumuo ng mga projection ng mga puntos A, B, C ayon sa kanilang mga coordinate sa isang visual na imahe at isang kumplikadong pagguhit: A(–20; 0; 0), B(–30; -20; 10), C(–10, –15, 0 ). Bumuo ng point D, na matatagpuan sa simetriko sa point C na may kaugnayan sa axis ng OX.

Isang halimbawa ng paglutas ng karaniwang problema

Gawain 1. Ang X, Y, Z na mga coordinate ng mga puntos na A, B, C, D, E, F ay ibinigay (Talahanayan 3.3)

Facebook

Twitter

Sa pakikipag-ugnayan sa

Mga kaklase

Google+