Od čega se sastoji trokut? Slični trokuti

Općenito, dva se trokuta smatraju sličnima ako imaju isti oblik, čak i ako su različite veličine, zakrenuti ili čak okrenuti naopako.

Matematički prikaz dvaju sličnih trokuta A 1 B 1 C 1 i A 2 B 2 C 2 prikazanih na slici zapisan je na sljedeći način:

ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2

Dva su trokuta slična ako:

1. Svaki kut jednog trokuta jednak je odgovarajućem kutu drugog trokuta:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2 I ∠C 1 = ∠C 2

2. Omjeri stranica jednog trokuta prema odgovarajućim stranicama drugog trokuta međusobno su jednaki:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Odnosi dvije strane jednog trokuta na odgovarajuće stranice drugog trokuta međusobno su jednake i istovremeno
kutovi između ovih stranica su jednaki:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ i $\kut A_1 = \kut A_2$
ili
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ i $\kut B_1 = \kut B_2$
ili
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ i $\kut C_1 = \kut C_2$

Ne brkajte slične trokute s jednakim trokutima. Jednaki trokuti imaju jednake odgovarajuće duljine stranica. Prema tome, za sukladne trokute:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Iz ovoga slijedi da su svi jednaki trokuti slični. Međutim, nisu svi slični trokuti jednaki.

Iako gornji zapis pokazuje da da bismo saznali jesu li dva trokuta slična ili ne, moramo znati vrijednosti triju kutova ili duljine triju stranica svakog trokuta, za rješavanje problema sa sličnim trokutima dovoljno je znati bilo koje tri od gore navedenih vrijednosti za svaki trokut. Ove količine mogu biti u različitim kombinacijama:

1) tri kuta svakog trokuta (ne morate znati duljine stranica trokuta).

Ili barem 2 kuta jednog trokuta moraju biti jednaka 2 kuta drugog trokuta.
Budući da ako su 2 kuta jednaka, onda će i treći kut biti jednak (vrijednost trećeg kuta je 180 - kut1 - kut2)

2) duljine stranica svakog trokuta (ne morate znati kutove);

3) duljine dviju stranica i kut između njih.

Zatim ćemo pogledati rješavanje nekih problema sa sličnim trokutima. Prvo ćemo pogledati probleme koji se mogu riješiti izravnom uporabom gornjih pravila, a zatim raspraviti neke praktične probleme koji se mogu riješiti uporabom metode sličnog trokuta.

Zadaci za vježbanje sa sličnim trokutima

Primjer #1: Pokažite da su dva trokuta na donjoj slici slična.

Riješenje:
Budući da su poznate duljine stranica obaju trokuta, ovdje se može primijeniti drugo pravilo:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Primjer #2: Pokažite da su dva zadana trokuta slična i odredite duljine stranica PQ I PR.

Riješenje:
∠A = ∠P I ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(budući da je ∠C = 180 - ∠A - ∠B i ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Iz ovoga slijedi da su trokuti ΔABC i ΔPQR slični. Stoga:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ i
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14 dolara

Primjer #3: Odredite duljinu AB u ovom trokutu.

Riješenje:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED I ∠A općenito => trokuti ΔABC I ΔADE su slični.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \desna strelica 2\puta AB = AB + 4 \desna strelica AB = 4$

Primjer #4: Odredite duljinu AD (x) geometrijski lik na slici.

Trokuti ΔABC i ΔCDE su slični jer je AB || DE i imaju zajednički gornji kut C.
Vidimo da je jedan trokut smanjena verzija drugog. Međutim, to moramo matematički dokazati.

AB || DE, CD || AC i BC || E.C.
∠BAC = ∠EDC i ∠ABC = ∠DEC

Na temelju gore navedenog i uzimajući u obzir prisutnost zajedničkog kuta C, možemo tvrditi da su trokuti ΔABC i ΔCDE slični.

Stoga:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57 dolara
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Praktični primjeri

Primjer #5: Tvornica koristi nagnutu pokretnu traku za transport proizvoda od razine 1 do razine 2, koja je 3 metra viša od razine 1, kao što je prikazano na slici. Kosi transporter se opslužuje s jednog kraja do razine 1, a s drugog kraja do radnog mjesta koje se nalazi na udaljenosti od 8 metara od radne točke razine 1.

Tvornica želi nadograditi transportnu traku za pristup novoj razini, koja je 9 metara iznad razine 1, uz zadržavanje kuta nagiba transportne trake.

Odredite udaljenost na kojoj se mora postaviti nova radna stanica kako bi se osiguralo da će pokretna traka raditi na novom kraju na razini 2. Također izračunajte dodatnu udaljenost koju će proizvod prijeći kada se pomakne na novu razinu.

Riješenje:

Prvo, označimo svaku točku sjecišta određenim slovom, kao što je prikazano na slici.

Na temelju obrazloženja danog u prethodnim primjerima, možemo zaključiti da su trokuti ΔABC i ΔADE slični. Stoga,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Dakle, nova točka mora biti postavljena na udaljenosti od 16 metara od postojeće točke.

Budući da se struktura sastoji od pravokutnih trokuta, udaljenost kretanja proizvoda možemo izračunati na sljedeći način:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Slično, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
što je udaljenost koju proizvod trenutno prijeđe kada dosegne postojeću razinu.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
ovo je dodatna udaljenost koju proizvod mora prijeći da bi dosegao novu razinu.

Primjer #6: Steve želi posjetiti svog prijatelja koji se nedavno preselio u novu kuću. Na slici je prikazana karta puta do kuće Stevea i njegovog prijatelja, zajedno s udaljenostima koje su Steveu poznate. Pomozite Steveu da dođe do prijateljeve kuće na najkraći mogući način.

Riješenje:

Karta puta može se geometrijski prikazati u sljedećem obliku, kao što je prikazano na slici.

Vidimo da su trokuti ΔABC i ΔCDE slični, dakle:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Izjava o problemu navodi sljedeće:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km i DE = 5 km

Koristeći ove informacije možemo izračunati sljedeće udaljenosti:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \puta CD)(BC) = \frac(13,13 \puta 4,41)(13,23) = 4,38 km$

Steve može doći do kuće svog prijatelja sljedećim rutama:

A -> B -> C -> E -> G, ukupna udaljenost je 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, ukupna udaljenost je 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, ukupna udaljenost je 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, ukupna udaljenost je 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Stoga je put br. 3 najkraći i može se ponuditi Steveu.

Primjer 7:
Trisha želi izmjeriti visinu kuće, ali nema pravi alat. Primijetila je da ispred kuće raste drvo te je svojom snalažljivošću i znanjem geometrije stečenim u školi odlučila odrediti visinu zgrade. Izmjerila je udaljenost od stabla do kuće, rezultat je bio 30 m. Zatim je stala ispred stabla i počela se pomicati unatrag sve dok gornji rub zgrade nije postao vidljiv iznad vrha stabla. Trisha je označila ovo mjesto i izmjerila udaljenost od njega do stabla. Ta je udaljenost bila 5 m.

Visina stabla je 2,8 m, a visina Trishinih očiju je 1,6 m. Pomozi Trishi odrediti visinu zgrade.

Riješenje:

Geometrijski prikaz problema prikazan je na slici.

Prvo koristimo sličnost trokuta ΔABC i ΔADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1,6)(2,8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2,8 \times AC = 1,6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \puta AC$

$(2,8 - 1,6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1,2) = 6,67$

Tada možemo koristiti sličnost trokuta ΔACB i ΔAFG ili ΔADE i ΔAFG. Izaberimo prvu opciju.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1,6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6,67)(6,67 + 5 + 30) = 0,16 \desna strelica H = \frac(1,6 )(0,16) = 10 m$

Trokut - definicija i opći pojmovi

Trokut je jednostavan mnogokut koji se sastoji od tri stranice i ima isti broj kutova. Njegove su ravnine ograničene s 3 točke i 3 segmenta koji spajaju te točke u parovima.

Svi vrhovi bilo kojeg trokuta, bez obzira na njegovu vrstu, označeni su velikim latiničnim slovima, a njegove strane prikazane su odgovarajućim oznakama suprotnih vrhova, samo ne velikim slovima, već malim. Tako, na primjer, trokut s vrhovima označenim s A, B i C ima stranice a, b, c.

Ako uzmemo u obzir trokut u euklidskom prostoru, onda je to geometrijski lik koji se sastoji od tri segmenta koji povezuju tri točke koje ne leže na istoj ravnoj liniji.

Pažljivo pogledajte gornju sliku. Na njemu su točke A, B i C vrhovi ovog trokuta, a njegovi segmenti nazivaju se stranicama trokuta. Svaki vrh ovog poligona unutar njega tvori kutove.

Vrste trokuta

Prema veličini kutova trokuta, oni su podijeljeni u takve vrste kao što su: Pravokutni;
Oštri kutni;
Tupi.

U pravokutne trokute spadaju oni koji imaju jedan pravi kut, a druga dva imaju oštre kutove.

Oštrokutni trokuti su oni kod kojih su svi kutovi oštri.

A ako trokut ima jedan tupi kut, a druga dva oštra kuta, onda se takav trokut klasificira kao tup.

Svatko od vas savršeno dobro razumije da nemaju svi trokuti jednake stranice. A prema duljini stranica trokute možemo podijeliti na:

jednakokračan;
Jednakostraničan;
Svestran.

Zadatak: Nacrtajte različite vrste trokuta. Definirajte ih. Kakvu razliku vidite među njima?

Osnovna svojstva trokuta

Iako se ti jednostavni poligoni mogu međusobno razlikovati po veličini kutova ili stranica, svaki trokut ima osnovna svojstva koja su karakteristična za ovaj lik.

U bilo kojem trokutu:

Ukupan zbroj svih njegovih kutova je 180º.
Ako pripada jednakostranicima, tada je svaki njegov kut 60º.
Jednakostranični trokut ima jednake i jednake kutove.
Što je manja stranica mnogokuta, manji je kut nasuprot njoj, i obrnuto, veći kut je nasuprot većoj stranici.
Ako su stranice jednake, tada su nasuprot njima jednaki kutovi i obrnuto.
Ako uzmemo trokut i produžimo njegovu stranicu, na kraju ćemo dobiti vanjski kut. Jednak je zbroju unutarnjih kutova.
U bilo kojem trokutu, njegova stranica, bez obzira koju odaberete, i dalje će biti manja od zbroja druge 2 strane, ali veća od njihove razlike:

1. a< b + c, a >prije Krista;
2.b< a + c, b >a–c;
3.c< a + b, c >a–b.

Vježbajte

U tablici su prikazana već poznata dva kuta trokuta. Znajući ukupni zbroj svih kutova, odredite čemu je jednak treći kut trokuta i unesite ga u tablicu:

1. Koliko stupnjeva ima treći kut?
2. Kojoj vrsti trokuta pripada?

Testovi ekvivalencije trokuta

potpisujem

II znak

III znak

Visina, simetrala i središnja trokuta

Visina trokuta – okomica povučena iz vrha lika na njegovu suprotnu stranu naziva se visina trokuta. Sve visine trokuta sijeku se u jednoj točki. Točka presjeka sve 3 visine trokuta je njegov ortocentar.

Isječak izvučen iz zadanog vrha i spajajući ga na sredini suprotne strane je središnja. Medijane, kao i visine trokuta, imaju jednu zajedničku sjecišnu točku, tzv. težište trokuta ili težište.

Simetrala trokuta je segment koji povezuje vrh kuta i točku na suprotnoj strani, a također dijeli ovaj kut na pola. Sve simetrale trokuta sijeku se u jednoj točki koja se naziva središtem kružnice upisane u trokut.

Isječak koji spaja središnje točke dviju stranica trokuta naziva se središnja linija.

Povijesna referenca

Figura kao što je trokut bila je poznata još u antičko doba. Ova figura i njezina svojstva spominju se na egipatskim papirusima prije četiri tisuće godina. Nešto kasnije, zahvaljujući Pitagorinom teoremu i Heronovoj formuli, proučavanje svojstava trokuta prešlo je na višu razinu, ali ipak se to dogodilo prije više od dvije tisuće godina.

U 15. – 16. stoljeću počela su se provoditi mnoga istraživanja o svojstvima trokuta, a kao rezultat toga nastala je znanost poput planimetrije, koja je nazvana "Geometrija novog trokuta".

Veliki doprinos poznavanju svojstava trokuta dao je ruski znanstvenik N. I. Lobačevski. Njegovi su radovi kasnije našli primjenu u matematici, fizici i kibernetici.

Zahvaljujući poznavanju svojstava trokuta, nastala je takva znanost kao što je trigonometrija. Pokazalo se da je to potrebno za osobu u njegovim praktičnim potrebama, jer je njegova upotreba jednostavno neophodna pri izradi karata, mjerenju područja, pa čak i pri projektiranju raznih mehanizama.

Koji je najpoznatiji trokut koji znate? Ovo je naravno Bermudski trokut! Ovo je ime dobio 50-ih godina prošlog stoljeća zbog geografskog položaja točaka (vrhova trokuta), unutar kojih su, prema postojećoj teoriji, nastale anomalije povezane s njim. Vrhovi Bermudskog trokuta su Bermuda, Florida i Portoriko.

Zadatak: Koje ste teorije o Bermudskom trokutu čuli?

Jeste li znali da u teoriji Lobačevskog, kada se zbrajaju kutovi trokuta, njihov zbroj uvijek daje rezultat manji od 180º. U Riemannovoj geometriji zbroj svih kutova trokuta veći je od 180º, au Euklidovim djelima jednak je 180 stupnjeva.

Domaća zadaća

Riješite križaljku na zadanu temu

Pitanja za križaljku:

1. Kako se zove okomica koja je povučena iz vrha trokuta na ravnicu koja se nalazi na suprotnoj strani?
2. Kako se jednom riječju može nazvati zbroj duljina stranica trokuta?
3. Navedi trokut čije su dvije stranice jednake?
4. Navedi trokut koji ima kut jednak 90°?
5. Kako se zove najveća stranica trokuta?
6. Kako se zove stranica jednakokračnog trokuta?
7. Uvijek ih je troje u bilo kojem trokutu.
8. Kako se zove trokut u kojem je jedan od kutova veći od 90°?
9. Naziv segmenta koji povezuje vrh naše figure sa sredinom suprotne strane?
10. U jednostavnom mnogokutu ABC veliko slovo A je...?
11. Kako se zove odsječak koji dijeli kut trokuta popola?

Pitanja na temu trokuta:

1. Definirajte to.
2. Koliko ima visina?
3. Koliko simetrala ima trokut?
4. Koliki mu je zbroj kutova?
5. Koje vrste ovog jednostavnog mnogokuta poznajete?
6. Imenujte točke trokuta koje se nazivaju izvanrednim.
7. Kojim uređajem možeš izmjeriti kut?
8. Ako kazaljke na satu pokazuju 21 sat. Koliki kut zaklapaju kazaljke na satu?
9. Pod kojim kutom se osoba okreće ako dobije naredbu “lijevo”, “krug”?
10. Koje još definicije znate koje su povezane s likom koji ima tri kuta i tri stranice?

Predmeti > Matematika > Matematika 7.r

Kaže se da su dva trokuta sukladna ako se mogu spojiti preklapanjem. Slika 1 prikazuje jednake trokute ABC i A 1 B 1 C 1. Svaki od ovih trokuta može se postaviti jedan na drugi tako da su potpuno kompatibilni, odnosno da su im vrhovi i stranice kompatibilni u paru. Jasno je da će se i kutovi ovih trokuta podudarati u parovima.

Dakle, ako su dva trokuta sukladna, tada su elementi (tj. stranice i kutovi) jednog trokuta jednaki elementima drugog trokuta. Imajte na umu da u jednakim trokutima naspram odgovarajućih jednakih stranica(tj. preklapanje kada se preklapa) leže jednaki kutovi i natrag: Jednake stranice leže nasuprot, odnosno jednakih kutova.

Tako, na primjer, u jednakim trokutima ABC i A 1 B 1 C 1, prikazanim na slici 1, nasuprot jednakih stranica AB i A 1 B 1 leže jednaki kutovi C i C 1. Jednakost trokuta ABC i A 1 B 1 C 1 označit ćemo na sljedeći način: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Ispada da se jednakost dvaju trokuta može utvrditi usporedbom nekih njihovih elemenata.

Teorem 1. Prvi znak jednakosti trokuta. Ako su dvije stranice i kut između njih jednog trokuta redom jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni (slika 2).

Dokaz. Promotrimo trokute ABC i A 1 B 1 C 1, u kojima je AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (vidi sliku 2). Dokažimo da je Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Kako je ∠ A = ∠ A 1, tada se trokut ABC može superponirati na trokut A 1 B 1 C 1 tako da vrh A bude poravnat s vrhom A 1, a stranice AB i AC redom su superponirane na zrake A 1 B 1 i A 1 C 1 . Budući da je AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, tada će stranica AB biti poravnata sa stranicom A 1 B 1, a stranica AC će biti poravnata sa stranicom A 1 C 1; posebno će se točke B i B 1, C i C 1 podudarati. Prema tome, stranice BC i B 1 C 1 će se podudarati. Dakle, trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 potpuno su kompatibilni, što znači da su jednaki.

Teorem 2 se dokazuje na sličan način metodom superpozicije.

Teorem 2. Drugi znak jednakosti trokuta. Ako su stranica i dva susjedna kuta jednog trokuta redom jednaki stranici i dvama susjednim kutovima drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni (slika 34).

Komentar. Na temelju teorema 2 utvrđuje se teorem 3.

Teorem 3. Zbroj bilo koja dva unutarnja kuta trokuta manji je od 180°.

Teorem 4 slijedi iz posljednjeg teorema.

Teorem 4. Vanjski kut trokuta veći je od bilo kojeg unutarnjeg kuta koji mu nije susjedan.

Teorem 5. Treći znak jednakosti trokuta. Ako su tri stranice jednog trokuta jednake trima stranicama drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni ().

Primjer 1. U trokutima ABC i DEF (sl. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Usporedi trokute ABC i DEF. Koji je kut u trokutu DEF jednak kutu B?

Riješenje. Ovi su trokuti jednaki prema prvom predznaku. Kut F trokuta DEF jednak je kutu B trokuta ABC, budući da ti kutovi leže nasuprot jednakih stranica DE i AC.

Primjer 2. Odsječci AB i CD (slika 5) sijeku se u točki O, koja je sredina svakog od njih. Kolika je duljina dužine BD ako je dužina AC 6 m?

Riješenje. Trokuti AOC i BOD su jednaki (prema prvom kriteriju): ∠ AOC = ∠ BOD (vertikalno), AO = OB, CO = OD (po uvjetu).
Iz jednakosti ovih trokuta slijedi da su im stranice jednake, tj. AC = BD. No kako je prema uvjetu AC = 6 m, onda je BD = 6 m.

Znanost o geometriji govori nam što su trokut, kvadrat i kocka. U suvremenom svijetu svi bez iznimke ga uče u školama. Također, znanost koja izravno proučava što je trokut i koja svojstva ima je trigonometrija. Ona detaljno istražuje sve fenomene vezane uz podatke.O tome što je trokut danas ćemo govoriti u našem članku. Njihove vrste bit će opisane u nastavku, kao i neki teoremi povezani s njima.

Što je trokut? Definicija

Ovo je ravni poligon. Ima tri ugla, kao što je jasno iz naziva. Također ima tri strane i tri vrha, prvi od njih su segmenti, drugi su točke. Znajući koliko su dva kuta jednaka, treći možete pronaći tako da od broja 180 oduzmete zbroj prva dva.

Koje vrste trokuta postoje?

Mogu se klasificirati prema različitim kriterijima.

Prije svega, dijele se na oštrokutne, tupokutne i pravokutne. Prvi imaju oštre kutove, odnosno one koji su manji od 90 stupnjeva. Kod tupih kutova jedan od kutova je tup, odnosno onaj koji je jednak više od 90 stupnjeva, a druga dva su oštra. U oštrokutne trokute spadaju i jednakostranični trokuti. Takvi trokuti imaju sve stranice i kutove jednake. Svi su jednaki 60 stupnjeva, to se lako može izračunati dijeljenjem zbroja svih kutova (180) s tri.

Pravokutni trokut

Nemoguće je ne govoriti o tome što je pravokutni trokut.

Takva figura ima jedan kut jednak 90 stupnjeva (ravno), odnosno dvije njegove strane su okomite. Preostala dva kuta su šiljasti. Mogu biti jednaki, tada će biti jednakokračan. Pitagorin poučak povezan je s pravokutnim trokutom. Koristeći ga, možete pronaći treću stranu, znajući prve dvije. Prema ovom teoremu, ako dodate kvadrat jedne noge kvadratu druge, možete dobiti kvadrat hipotenuze. Kvadrat katete može se izračunati oduzimanjem kvadrata poznate katete od kvadrata hipotenuze. Govoreći o tome što je trokut, možemo se prisjetiti i jednakokračnog trokuta. To je onaj u kojem su dvije strane jednake, a dva su kuta također jednaka.

Što su kateta i hipotenuza?

Krak je jedna od stranica trokuta koja čini kut od 90 stupnjeva. Hipotenuza je preostala stranica koja je nasuprot pravog kuta. Možete spustiti okomicu s nje na nogu. Omjer susjedne stranice i hipotenuze naziva se kosinus, a suprotne stranice sinus.

- koje su njegove karakteristike?

Pravokutan je. Njegove katete su tri i četiri, a hipotenuza pet. Ako vidite da su katete danog trokuta jednake tri i četiri, možete biti sigurni da će hipotenuza biti jednaka pet. Također, koristeći ovaj princip, možete lako odrediti da će noga biti jednaka tri ako je druga jednaka četiri, a hipotenuza je jednaka pet. Da biste dokazali ovu tvrdnju, možete primijeniti Pitagorin teorem. Ako su dvije katete jednake 3 i 4, tada je 9 + 16 = 25, korijen iz 25 je 5, odnosno hipotenuza je jednaka 5. Egipatski trokut je također pravokutni trokut čije su stranice jednake 6, 8 i 10; 9, 12 i 15 i ostali brojevi u omjeru 3:4:5.

Što bi drugo mogao biti trokut?

Trokuti također mogu biti upisani ili opisani. Lik oko kojeg je opisana kružnica naziva se upisana; svi njeni vrhovi su točke koje leže na kružnici. Opisani trokut je onaj u koji je upisana kružnica. Sve njegove strane dolaze u dodir s njim na određenim mjestima.

Kako se nalazi?

Površina bilo koje figure mjeri se u kvadratnim jedinicama (kvadratnim metrima, kvadratnim milimetrima, kvadratnim centimetrima, kvadratnim decimetrima itd.) Ova se vrijednost može izračunati na različite načine, ovisno o vrsti trokuta. Područje bilo koje figure s kutovima može se pronaći množenjem njezine strane s okomicom koja je na nju ispuštena iz suprotnog kuta i dijeljenjem ove figure s dva. Ovu vrijednost možete pronaći i množenjem dviju strana. Zatim pomnožite ovaj broj sa sinusom kuta koji se nalazi između ovih strana i podijelite rezultat s dva. Znajući sve strane trokuta, ali ne znajući njegove kutove, možete pronaći područje na drugi način. Da biste to učinili, morate pronaći polovicu perimetra. Zatim naizmjenično oduzmite različite strane od tog broja i pomnožite dobivene četiri vrijednosti. Zatim pronađite iz broja koji je izašao. Područje upisanog trokuta može se pronaći množenjem svih stranica i dijeljenjem dobivenog broja s brojem koji je opisan oko njega, pomnoženim s četiri.

Područje opisanog trokuta nalazi se na ovaj način: pomnožimo polovicu opsega s polumjerom kruga koji je u njega upisan. Ako se onda njegovo područje može pronaći na sljedeći način: kvadrirajte stranu, pomnožite dobiveni broj s korijenom od tri, a zatim podijelite ovaj broj s četiri. Na sličan način možete izračunati visinu trokuta u kojem su sve strane jednake; da biste to učinili, morate jednu od njih pomnožiti s korijenom od tri, a zatim podijeliti taj broj s dva.

Teoremi vezani uz trokut

Glavni teoremi koji su povezani s ovom slikom su gore opisani Pitagorin teorem i kosinusi. Drugi (sinusa) je da ako bilo koju stranu podijelite sa sinusom kuta nasuprot njoj, možete dobiti polumjer kruga koji je opisan oko nje, pomnožen s dva. Treći (kosinus) je da ako od zbroja kvadrata dviju strana oduzmemo njihov proizvod, pomnožen s dva i kosinus kuta koji se nalazi između njih, tada ćemo dobiti kvadrat treće strane.

Dali trokut - što je to?

Mnogi kada se suoče s ovim pojmom isprva pomisle da je to nekakva definicija u geometriji, ali to uopće nije tako. Dalijev trokut zajednički je naziv za tri mjesta koja su usko povezana sa životom slavnog umjetnika. Njegovi "vrhunci" su kuća u kojoj je živio Salvador Dali, dvorac koji je poklonio supruzi, kao i muzej nadrealističkih slika. Tijekom obilaska ovih mjesta možete saznati mnoge zanimljive činjenice o ovom jedinstvenom kreativnom umjetniku, poznatom u cijelom svijetu.

Vjerojatno bi se o temi “Trokut” mogla napisati cijela knjiga. Ali predugo je potrebno da se pročita cijela knjiga, zar ne? Stoga ćemo ovdje razmotriti samo činjenice koje se odnose na bilo koji trokut općenito, i sve vrste posebnih tema, kao što su, itd. razdvojeni u zasebne teme – čitajte knjigu u dijelovima. Pa, kao i za svaki trokut.

1. Zbroj kutova trokuta. Vanjski kut.

Čvrsto pamti i ne zaboravi. Nećemo to dokazivati ​​(vidi sljedeće razine teorije).

Jedina stvar koja vas može zbuniti u našoj formulaciji je riječ "unutarnji".

Zašto je ovdje? Ali upravo da naglasimo da govorimo o kutovima koji su unutar trokuta. Ima li stvarno još kakvih kutaka vani? Zamislite, događaju se. Trokut još ima vanjski uglovi. I najvažnija posljedica činjenice da iznos unutarnji kutovi trokut je jednak, dodiruje samo vanjski trokut. Dakle, otkrijmo koliki je ovaj vanjski kut trokuta.

Pogledajte sliku: uzmite trokut i (recimo) nastavite jednu stranu.

Naravno, mogli bismo ostaviti stranu i nastaviti stranu. Kao ovo:

Ali ni pod kojim okolnostima to ne možete reći o kutu. Zabranjeno je!

Dakle, nema svaki kut izvan trokuta pravo nazvati se vanjskim kutom, već samo onaj koji je formiran jednu stranu i nastavak druge strane.

Dakle, što bismo trebali znati o vanjskim kutovima?

Pogledajte, na našoj slici to znači to.

Kako se to odnosi na zbroj kutova trokuta?

Hajdemo shvatiti. Zbroj unutarnjih kutova je

ali - jer su i - susjedni.

Pa, evo ga: .

Vidite li kako je jednostavno?! Ali jako važno. Zato zapamtite:

Zbroj unutarnjih kutova trokuta jednak je, a vanjski kut trokuta jednak je zbroju dvaju unutarnjih kutova koji mu nisu susjedni.

2. Nejednakost trokuta

Sljedeća činjenica ne tiče se kutova, već stranica trokuta.

To znači da

Jeste li već pogodili zašto se ova činjenica zove nejednakost trokuta?

Pa, gdje ova nejednakost trokuta može biti korisna?

Zamislite da imate tri prijatelja: Kolya, Petya i Sergei. I tako Kolja kaže: "Od moje kuće do Petjine pravom linijom." I Petya: "Od moje kuće do Sergejeve kuće, metara u ravnoj liniji." A Sergej: "Tebi je dobro, ali od moje kuće do Kolinoja je ravna linija." Pa, ovdje morate reći: „Stoj, stani! Neki od vas govore laži!”

Zašto? Da, jer ako od Kolje do Petje ima m, a od Petje do Sergeja ima m, onda od Kolje do Sergeja definitivno mora biti manje () metara - inače se krši ista nejednakost trokuta. Pa, zdrav razum je definitivno, naravno, povrijeđen: uostalom, svatko od djetinjstva zna da put do ravne crte () treba biti kraći od puta do točke. (). Dakle, nejednakost trokuta jednostavno odražava ovu dobro poznatu činjenicu. Pa, sada znate kako odgovoriti na, recimo, pitanje:

Ima li trokut stranice?

Morate provjeriti je li točno da svaka dva od ova tri broja daju više od trećeg. Provjerimo: to znači da ne postoji nešto poput trokuta sa stranicama! Ali sa stranama - to se događa, jer

3. Jednakost trokuta

Pa, što ako ne postoji jedan, nego dva ili više trokuta. Kako možete provjeriti jesu li jednaki? Zapravo, po definiciji:

Ali... ovo je užasno nezgodna definicija! Kako se, molim te, mogu preklopiti dva trokuta čak iu bilježnici?! Ali na našu sreću postoji znakovi jednakosti trokuta, koji vam omogućuju da djelujete svojim umom bez izlaganja svojih bilježnica opasnosti.

I osim toga, odbacit ću vam neozbiljne šale, odat ću vam tajnu: za matematičara riječ “superponiranje trokuta” uopće ne znači njihovo izrezivanje i superponiranje, već izgovaranje mnogo, mnogo, mnogo riječi koje će dokazati da dva trokuta će se poklopiti kada se preklapaju. Dakle, ni u kojem slučaju ne biste trebali napisati u svom radu "Provjerio sam - trokuti se podudaraju kada se primjenjuju" - neće vam se računati i bit će u pravu, jer nitko ne jamči da niste pogriješili prilikom prijave, recimo, četvrt milimetra.

Dakle, neki matematičari su rekli hrpu riječi, te riječi nećemo ponavljati za njima (osim možda u zadnjoj razini teorije), ali ćemo aktivno koristiti tri znaka jednakosti trokuta.

U svakodnevnoj (matematičkoj) uporabi takve su skraćene formulacije prihvaćene - lakše se pamte i primjenjuju.

1. Prvi znak su dvije stranice i kut između njih;
2. Drugi znak je na dva ugla i susjednoj strani;
3. Treći znak je na tri strane.

TROKUT. UKRATKO O GLAVNOM

Trokut je geometrijski lik sastavljen od tri segmenta koji spajaju tri točke koje ne leže na istoj ravnoj liniji.

Osnovni koncepti.

Osnovna svojstva:

1. Zbroj unutarnjih kutova svakog trokuta je jednak, tj.
2. Vanjski kut trokuta jednak je zbroju dva unutarnja kuta koji mu nisu susjedni, tj.
   ili
3. Zbroj duljina bilo koje dvije stranice trokuta veći je od duljine njegove treće stranice, tj.
4. U trokutu veća stranica leži nasuprot većem kutu, a veći kut leži nasuprot većoj stranici, tj.
   ako, tada, i obrnuto,
   ako tada.

Znakovi jednakosti trokuta.

1. Prvi znak- na dvije strane i kut između njih.

2. Drugi znak- na dva ugla i susjednoj strani.

3. Treći znak- sa tri strane.

Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, znači da ste vrlo cool.

Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada ono najvažnije.

Razumjeli ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda neće biti dovoljno...

Za što?

Za uspješno položen Jedinstveni državni ispit, za upis na proračun na fakultet i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, za život.

Neću te uvjeravati ni u što, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju puno više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju bili... sretniji?

USPORITE SE RJEŠAVANJEM ZADATAKA NA OVU TEMU.

Tijekom ispita nećete tražiti teoriju.

Trebat će vam rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - trebaš ponoviti mnogo puta da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite, obavezno s rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (neobavezno) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Kako biste se bolje snašli u našim zadacima, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.

Kako? Postoje dvije mogućnosti:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 499 RUR

Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i odmah se otvara pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je CIJELI život stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Facebook

Cvrkut

U kontaktu s

Kolege

Google+