Punkty projekcyjne, których koincydencja nazywa się. Lekcja rysunku „konstruowanie rzutów punktów na powierzchnię przedmiotu”
Cele:
- Poznanie zasad konstruowania rzutów punktów na powierzchnię przedmiotu i czytanie rysunków.
- Rozwijaj myślenie przestrzenne, umiejętność analizy kształtu geometrycznego obiektu.
- Kształtowanie pracowitości, umiejętności współpracy podczas pracy w grupie i zainteresowania tematem.
PODCZAS ZAJĘĆ
ETAP I. MOTYWACJA DZIAŁAŃ NAUKOWYCH.
ETAP II. KSZTAŁCENIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI.
PAUZA OSZCZĘDZAJĄCA ZDROWIE. REFLEKSJA (NASTÓR)
ETAP III. PRACA INDYWIDUALNA.
ETAP I. MOTYWACJA DZIAŁAŃ NAUKOWYCH
1) Nauczyciel: Sprawdź swoje miejsce pracy, czy wszystko jest na swoim miejscu? Czy wszyscy są gotowi do wyjścia?
WEŹ GŁĘBOKI ODDECH, WSTRZYMAJ ODDECH PODCZAS WYDECHU, WYDECH.
Na początku lekcji określ swój nastrój według diagramu (ten diagram znajduje się na biurku wszystkich)
ŻYCZĘ CI POWODZENIA.
2)Nauczyciel: Praktyczna praca na ten temat „ Rzuty wierzchołków, krawędzi, ścian” pokazały, że są ludzie, którzy popełniają błędy przy projekcji. Nie są zdezorientowani, który z dwóch zbiegających się punktów na rysunku jest wierzchołkiem widocznym, a który niewidocznym; gdy krawędź jest równoległa do płaszczyzny i gdy jest prostopadła. Podobnie jest z krawędziami.
Aby zapobiec powtarzaniu się błędów, wykonaj niezbędne zadania korzystając z karty poradnictwa i popraw błędy w pracy praktycznej (ręcznie). Podczas pracy pamiętaj:
„KAŻDY MOŻE POPEŁNIĆ BŁĄD, TYLKO SZALONY TRZYMA SIĘ ZE SWOIM BŁĘDEM.”
A ci, którzy dobrze opanowali temat, będą pracować w grupach przy zadaniach twórczych (patrz. Aneks 1 ).
ETAP II. KSZTAŁCENIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI
1)Nauczyciel: W produkcji istnieje wiele części, które są ze sobą w określony sposób połączone.
Na przykład:
Osłona pulpitu mocowana jest do pionowych słupków. Zwróć uwagę na stół, przy którym stoisz, w jaki sposób i za pomocą czego przymocowana jest do siebie pokrywa i stojaki?
Odpowiedź:Śruba.
Nauczyciel: Co jest potrzebne do śruby?
Odpowiedź: Otwór.
Nauczyciel: Naprawdę. Aby zrobić dziurę, musisz znać jej lokalizację na produkcie. Wykonując stół, stolarz nie może za każdym razem kontaktować się z klientem. W co więc zaopatrzyć stolarza?
Odpowiedź: Rysunek.
Nauczyciel: Rysunek!? Co nazywamy rysunkiem?
Odpowiedź: Rysunek to obraz obiektu wykorzystujący rzuty prostokątne w relacji projekcji. Korzystając z rysunku, możesz wyobrazić sobie geometryczny kształt i wygląd produktu.
Nauczyciel: Zakończyliśmy rzuty prostokątne, co dalej? Czy na podstawie jednego rzutu będziemy w stanie określić położenie otworów? Co jeszcze musimy wiedzieć? Czego się uczyć?
Odpowiedź: Konstruuj punkty. Znajdź rzuty tych punktów we wszystkich widokach.
Nauczyciel: Dobrze zrobiony! Oto cel naszej lekcji i tematu: Konstrukcja rzutów punktów na powierzchnię obiektu. Wpisz temat lekcji w zeszycie.
Ty i ja wiemy, że dowolny punkt lub odcinek na obrazie obiektu jest rzutem wierzchołka, krawędzi, ściany, tj. każdy widok to obraz nie z jednej strony (widok z głowy, widok z góry, widok z lewej strony), ale całego obiektu.
Aby poprawnie znaleźć rzuty poszczególnych punktów leżących na ścianach, należy najpierw znaleźć rzuty tej ściany, a następnie za pomocą linii łączących znaleźć rzuty punktów.
(Patrzymy na rysunek na tablicy, pracujemy w zeszycie, gdzie w domu wykonujemy 3 rzuty tej samej części).
– Otworzyłem notatnik z gotowym rysunkiem (Wyjaśnienie budowy punktów na powierzchni przedmiotu za pomocą pytań pomocniczych na tablicy, a uczniowie zapisują je w zeszytach.)
Nauczyciel: Rozważ tę kwestię W. Do której płaszczyzny równoległa jest ściana tego punktu?
Odpowiedź: Krawędź jest równoległa do płaszczyzny czołowej.
Nauczyciel: Definiujemy rzut punktu B' na projekcji czołowej. Przesuń palcem w dół od punktu B' pionowa linia komunikacyjna do rzutu poziomego. Gdzie będzie zlokalizowany rzut poziomy punktu? W?
Odpowiedź: Na przecięciu z poziomym rzutem twarzy, która została rzucona na krawędź. I znajduje się w dolnej części projekcji (widok).
Nauczyciel: Rzut profilu punktu B'' , gdzie będzie zlokalizowany? Jak ją znajdziemy?
Odpowiedź: Na skrzyżowaniu poziomej linii komunikacyjnej z ul B' z pionową krawędzią po prawej stronie. Ta krawędź jest rzutem ściany z punktem W.
OSOBY, KTÓRZY CHCĄ KONSTRUKOWAĆ KOLEJNĄ Rzut PUNKTU, WZYWAJĄ SIĘ DO TABLICY.
Nauczyciel: Rzuty punktowe A lokalizowane są także przy wykorzystaniu linii komunikacyjnych. Do której płaszczyzny należy ściana, do której punkt jest równoległy? A?
Odpowiedź: Krawędź jest równoległa do płaszczyzny profilu. Definiujemy punkt na rzucie profilu A'' .
Nauczyciel: W którym rzucie twarz została rzucona na krawędź?
Odpowiedź: Z przodu i poziomo. Narysujmy poziomą linię łączącą, aż przetnie się z pionową krawędzią po lewej stronie na rzucie czołowym, otrzymamy punkt A' .
Nauczyciel: Jak znaleźć rzut punktu A w rzucie poziomym? Przecież linie komunikacyjne z projekcji punktów A' I A'' nie przecinaj rzutu twarzy (krawędzi) na rzut poziomy po lewej stronie. Co może nam pomóc?
Odpowiedź: Można zastosować stałą linię prostą (określa położenie widoku po lewej stronie). A'' narysuj pionową linię komunikacyjną, aż przetnie się ona ze stałą linią prostą. Od punktu przecięcia rysowana jest pozioma linia połączenia, aż do przecięcia się z pionową krawędzią po lewej stronie. (To jest ściana z punktem A) i oznacza rzut z punktem A .
2) Nauczyciel: Każdy ma na stole kartę zadań z dołączoną kalką. Przyjrzyj się rysunkowi, teraz spróbuj samodzielnie, bez przerysowywania rzutów, znaleźć podane rzuty punktów na rysunku.
– Znajdź obrazek w podręczniku, strona 76. 93. Sprawdź się. Ci, którzy zrobili to poprawnie, otrzymują „5”, jeden błąd – „4”, dwa – „3”.
(Oceny wystawiają sami uczniowie na arkuszu samokontroli).
– Zbieraj karty do weryfikacji.
3)Praca w grupach: Ograniczony czas: 4 min. + 2 minuty czeki. (Łączone są dwa biurka z uczniami i w grupie wybierany jest lider).
Każda grupa otrzymuje zadania na 3 poziomach. Uczniowie wybierają zadania według poziomu (według własnego uznania). Rozwiązuj zadania polegające na konstruowaniu punktów. Omów formację pod okiem prowadzącego. Następnie poprawna odpowiedź jest wyświetlana na tablicy za pomocą rzutnika. Każdy sprawdza, czy rzutowanie punktów zostało wykonane prawidłowo. Przy pomocy lidera grupy wystawiane są oceny z zadań i na arkuszach samokontroli (patrz. Załącznik 2 I Dodatek 3 ).
PAUZA OSZCZĘDZAJĄCA ZDROWIE. ODBICIE
„Poza faraona”– usiądź na krawędzi krzesła, wyprostuj plecy, ugnij ręce w łokciach, skrzyżuj nogi i połóż je na palcach. Wdech, napnij wszystkie mięśnie ciała, wstrzymując oddech, wydech. Zrób to 2-3 razy. Zamknij mocno oczy, aż dotrą do gwiazd i otwórz je. Zaznacz swój nastrój.
ETAP III. CZĘŚĆ PRAKTYCZNA. (Zadania indywidualne)
Do wyboru są karty zadań na różnych poziomach. Studenci wybierają opcję według swoich możliwości. Znajdź rzuty punktów na powierzchnię obiektu. Prace są przesyłane i oceniane na następną lekcję. (Cm. Dodatek 4 , Dodatek 5 , Załącznik 6 ).
IV ETAP. FINAŁ
1) Praca domowa. (Instrukcja). Wykonywane według poziomów:
B – zrozumienie, na „3”. Ćwiczenie 1 Ryc. 94a s. 77 – zgodnie z zadaniem z podręcznika: uzupełnij brakujące rzuty punktów na tych rzutach.
B – aplikacja, na „4”. Ćwiczenie 1 Ryc. 94 a, b. uzupełnij brakujące rzuty i zaznacz wierzchołki na obrazie wizualnym w 94a i 94b.
A – analiza, „5”. (Większy poziom trudności.) Były. 4 Ryc.97 – skonstruuj brakujące rzuty punktów i oznacz je literami. Nie ma obrazu wizualnego.
2)Analiza refleksyjna.
- Określ nastrój na koniec lekcji, zaznacz go dowolnym znakiem na karcie samokontroli.
- Czego nowego nauczyłeś się dzisiaj na zajęciach?
- Jaka forma pracy jest dla Ciebie najskuteczniejsza: grupowa, indywidualna i chciałbyś ją powtórzyć na kolejnej lekcji?
- Zbierz arkusze samokontroli.
3)„Błądny nauczyciel”
Nauczyciel: Nauczyłeś się konstruować rzuty wierzchołków, krawędzi, ścian i punktów na powierzchnię obiektu, przestrzegając wszystkich zasad konstrukcji. Ale dali ci rysunek zawierający błędy. Teraz spróbuj swoich sił jako nauczyciel. Znajdź błędy samodzielnie, jeśli znajdziesz wszystkie 8–6 błędów, wynik wynosi „5”; 5–4 błędy – „4”, 3 błędy – „3”.
Odpowiedzi:
Aparat projekcyjny
Aparat projekcyjny (ryc. 1) obejmuje trzy płaszczyzny projekcyjne:
π 1 – pozioma płaszczyzna projekcji;
π 2 – czołowa płaszczyzna występów;
π 3– płaszczyzna rzutowania profilu .
Płaszczyzny rzutowania są wzajemnie prostopadłe ( π 1^ π 2^ π 3), a ich linie przecięcia tworzą osie:
Przecięcie płaszczyzn π 1 I π 2 tworzą oś 0X (π 1∩ π 2 = 0X);
Przecięcie płaszczyzn π 1 I π 3 tworzą oś 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);
Przecięcie płaszczyzn π 2 I π 3 tworzą oś 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).
Za punkt początkowy (punkt 0) uważa się punkt przecięcia osi (OX∩OY∩OZ=0).
Ponieważ płaszczyzny i osie są wzajemnie prostopadłe, taki aparat jest podobny do kartezjańskiego układu współrzędnych.
Płaszczyzny rzutowania dzielą całą przestrzeń na osiem oktantów (na ryc. 1 oznaczono je cyframi rzymskimi). Płaszczyzny projekcyjne są uważane za nieprzezroczyste, a widz zawsze jest w środku I-ty oktant.
Rzut ortogonalny ze środkami projekcji S 1, S2 I S 3 odpowiednio dla płaszczyzny poziomej, czołowej i profilowej.
A.
Z ośrodków projekcyjnych S 1, S2 I S 3 wychodzą promienie wystające l 1, l 2 I l 3 A
- 1 A;
- 2– rzut czołowy punktu A;
- 3– rzut profilu punktu A.
Punkt w przestrzeni charakteryzuje się jego współrzędnymi A(x, y, z). Zwrotnica X, y I A z odpowiednio na osiach 0X, 0Y I 0Z pokaż współrzędne x, y I z zwrotnica A. Na ryc. 1 podaje wszystkie niezbędne oznaczenia i pokazuje połączenia pomiędzy punktami A przestrzeń, jej rzuty i współrzędne.
Schemat punktowy
Aby uzyskać fabułę punktu A(ryc. 2), w aparacie projekcyjnym (ryc. 1) płaszczyzna π 1 1 0X π 2. Potem samolot π 3 z projekcją punktową 3, obróć wokół osi w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara 0Z, aż zrówna się z płaszczyzną π 2. Kierunek obrotów płaszczyzny π 2 I π 3 pokazany na ryc. 1 strzałki. Jednocześnie prosto A 1 Ax I A 2 Ax 0X prostopadły A 1 A 2 i linie proste A 2 Ax I A 3 Ax będą znajdować się na wspólnej osi 0Z prostopadły A 2 A 3. W dalszej części będziemy odpowiednio nazywać te linie pionowy I poziomy linie komunikacyjne.
Należy zauważyć, że po przejściu od aparatu projekcyjnego na diagram rzutowany obiekt znika, ale zachowane są wszelkie informacje o jego kształcie, wymiarach geometrycznych i położeniu w przestrzeni.
A(x A , y A , z Ax A, y A I zA w następującej kolejności (ryc. 2). Sekwencja ta nazywana jest metodą konstruowania diagramu punktowego.
1. Osie są rysowane prostopadle OX, OY I OZ.
2. Na osi WÓŁ xA zwrotnica A i uzyskaj położenie punktu X.
3. Przez punkt X prostopadle do osi WÓŁ
X wzdłuż osi OJ wykreślana jest wartość liczbowa współrzędnej tak A zwrotnica A 1 na schemacie.
X wzdłuż osi OZ wykreślana jest wartość liczbowa współrzędnej zA zwrotnica A 2 na schemacie.
6. Przez punkt 2 równolegle do osi WÓŁ rysowana jest pozioma linia komunikacyjna. Przecięcie tej linii i osi OZ poda położenie punktu A z.
7. Na poziomej linii komunikacyjnej od punktu A z wzdłuż osi OJ wykreślana jest wartość liczbowa współrzędnej tak A zwrotnica A i określa się położenie rzutu profilu punktu 3 na schemacie.
Charakterystyka punktów
Wszystkie punkty przestrzeni są podzielone na punkty położenia szczegółowego i ogólnego.
Punkty o określonej pozycji. Punkty należące do aparatu projekcyjnego nazywane są punktami określonego położenia. Należą do nich punkty należące do płaszczyzn rzutowania, osi, początków i środków rzutowania. Cechami charakterystycznymi poszczególnych punktów pozycji są:
Metamatematyczne – jedna, dwie lub wszystkie numeryczne wartości współrzędnych są równe zeru i (lub) nieskończoności;
Na diagramie dwa lub wszystkie rzuty punktu znajdują się na osiach i (lub) znajdują się w nieskończoności.
Punkty pozycji ogólnej. Do punktów położenia ogólnego zalicza się punkty, które nie należą do aparatu projekcyjnego. Na przykład kropka A na ryc. 1 i 2.
W ogólnym przypadku wartości liczbowe współrzędnych punktu charakteryzują jego odległość od płaszczyzny projekcji: współrzędna X z samolotu π 3; koordynować y z samolotu π 2; koordynować z z samolotu π 1. Należy zauważyć, że znaki wartości liczbowych współrzędnych wskazują kierunek, w którym punkt oddala się od płaszczyzn projekcji. W zależności od kombinacji znaków wartości liczbowych współrzędnych punktu zależy to od tego, w którym oktanie się on znajduje.
Metoda dwóch obrazów
W praktyce oprócz metody pełnej projekcji stosowana jest metoda dwóch obrazów. Różni się tym, że metoda ta eliminuje trzecią projekcję obiektu. Aby otrzymać aparat projekcyjny metody dwóch obrazów, z aparatu projekcyjnego pełnego wyłącza się płaszczyznę projekcji profilu wraz ze środkiem projekcji (ryc. 3). Co więcej, na osi 0X przypisany jest punkt odniesienia (punkt 0 ) i od niego prostopadle do osi 0X w płaszczyznach projekcyjnych π 1 I π 2 narysuj osie 0Y I 0Z odpowiednio.
W tym urządzeniu cała przestrzeń jest podzielona na cztery ćwiartki. Na ryc. 3 są one oznaczone cyframi rzymskimi.
Płaszczyzny projekcyjne są uważane za nieprzezroczyste, a widz zawsze jest w środku I-ta ćwiartka.
Rozważmy działanie urządzenia na przykładzie rzutowania punktu A.
Z ośrodków projekcyjnych S 1 I S2 wychodzą promienie wystające l 1 I l 2. Promienie te przechodzą przez punkt A i przecinając się z płaszczyznami rzutowymi tworzą jego rzuty:
- 1– rzut poziomy punktu A;
- 2– rzut czołowy punktu A.
Aby uzyskać fabułę punktu A(ryc. 4), w aparacie projekcyjnym (ryc. 3) płaszczyzna π 1 z wynikowym rzutem punktu 1 obracać się zgodnie z ruchem wskazówek zegara wokół osi 0X, aż zrówna się z płaszczyzną π 2. Kierunek obrotu płaszczyzny π 1 pokazany na ryc. 3 strzałki. W tym przypadku na schemacie punktu uzyskanego metodą dwóch obrazów pozostaje tylko jeden pionowy linia komunikacyjna A 1 A 2.
W praktyce wykreślanie punktu A(x A , y A , z A) odbywa się zgodnie z wartościami liczbowymi jego współrzędnych x A, y A I zA w następującej kolejności (ryc. 4).
1. Narysowano oś WÓŁ i przypisany zostaje punkt odniesienia (punkt 0 ).
2. Na osi WÓŁ wykreślana jest wartość liczbowa współrzędnej xA zwrotnica A i uzyskaj położenie punktu X.
3. Przez punkt X prostopadle do osi WÓŁ rysowana jest pionowa linia komunikacyjna.
4. Na pionowej linii komunikacyjnej od punktu X wzdłuż osi OJ wykreślana jest wartość liczbowa współrzędnej tak A zwrotnica A i określa się położenie rzutu poziomego punktu 1 OJ nie jest rysowany, ale zakłada się, że jego wartości dodatnie znajdują się poniżej osi WÓŁ, a ujemne są wyższe.
5. Na pionowej linii komunikacyjnej od punktu X wzdłuż osi OZ wykreślana jest wartość liczbowa współrzędnej zA zwrotnica A i określa się położenie rzutu czołowego punktu 2 na schemacie. Należy zauważyć, że na schemacie oś OZ nie jest rysowany, ale zakłada się, że jego wartości dodatnie znajdują się powyżej osi WÓŁ, a ujemne są niższe.
Konkurencyjne punkty
Punkty na tej samej wystającej belce nazywane są punktami konkurującymi. W kierunku wystającej belki mają dla siebie wspólny występ, tj. ich prognozy są identyczne. Cechą charakterystyczną konkurujących ze sobą punktów na diagramie jest identyczna zbieżność ich rzutów o tej samej nazwie. Konkurencja polega na widoczności tych projekcji względem obserwatora. Innymi słowy, w przestrzeni dla obserwatora jeden z punktów jest widoczny, drugi nie. I odpowiednio na rysunku: jeden z rzutów konkurujących punktów jest widoczny, a rzut drugiego punktu jest niewidoczny.
Na modelu projekcji przestrzennej (ryc. 5) z dwóch konkurujących ze sobą punktów A I W widoczny punkt A według dwóch wzajemnie uzupełniających się cech. Sądząc po łańcuchu S 1 →A → B kropka A bliżej obserwatora niż punkt W. I odpowiednio dalej od płaszczyzny projekcji π 1(te. zA > zA).
Ryż. 5 Ryc.6
Jeśli sam punkt jest widoczny A, wówczas widoczny jest także jego rzut 1. W odniesieniu do zbieżnej z nią projekcji B 1. Dla przejrzystości i, jeśli to konieczne, na schemacie, niewidoczne rzuty punktów są zwykle ujęte w nawiasy.
Usuńmy punkty z modelu A I W. Ich zbieżne rzuty na płaszczyznę pozostaną π 1 i osobne projekcje – włączone π 2. Warunkowo zostawmy rzut czołowy obserwatora (⇩) znajdującego się w środku rzutu S 1. Następnie wzdłuż łańcucha obrazów ⇩ → 2 → B 2 będzie można to ocenić zA > z B i że sam punkt jest widoczny A i jego projekcja 1.
Rozważmy podobnie punkty konkurencyjne Z I D wyglądem w stosunku do płaszczyzny π 2. Ponieważ wspólna wystająca wiązka tych punktów l 2 równolegle do osi 0Y, to znak widoczności konkurujących punktów Z I D zdeterminowana nierównością y C > y D. Dlatego ten punkt D zamknięte kropką Z i odpowiednio rzut punktu D2 zostanie pokryty rzutem punktu C 2 na powierzchni π 2.
Zastanówmy się, jak określa się widoczność konkurujących punktów na złożonym rysunku (ryc. 6).
Sądząc po zbieżnych prognozach 1≡W 1 same punkty A I W znajdują się na jednej wystającej belce równoległej do osi 0Z. Oznacza to, że współrzędne można porównać zA I z B te punkty. Aby to zrobić, używamy płaszczyzny projekcji czołowej z oddzielnymi obrazami punktów. W tym przypadku zA > z B. Wynika z tego, że projekcja jest widoczna 1.
Zwrotnica C I D na rozpatrywanym złożonym rysunku (ryc. 6) znajdują się również na tej samej wystającej belce, ale tylko równolegle do osi 0Y. Dlatego z porównania y C > y D wnioskujemy, że rzut C 2 jest widoczny.
Główna zasada. Widoczność dla pasujących rzutów konkurujących punktów określa się poprzez porównanie współrzędnych tych punktów w kierunku wspólnego promienia rzutowania. Widoczny jest rzut punktu, którego współrzędna jest większa. W tym przypadku współrzędne porównywane są na płaszczyźnie rzutowania z oddzielnymi obrazami punktów.
Położenie punktu w przestrzeni można określić za pomocą jego dwóch rzutów ortogonalnych, na przykład poziomego i czołowego, czołowego i profilowego. Kombinacja dowolnych dwóch rzutów ortogonalnych pozwala znaleźć wartość wszystkich współrzędnych punktu, skonstruować trzeci rzut i określić oktant, w którym się on znajduje. Przyjrzyjmy się kilku typowym problemom z kursu geometrii wykreślnej.
Dla danego złożonego rysunku punktów A i B konieczne jest:
Wyznaczmy najpierw współrzędne punktu A, które można zapisać w postaci A (x, y, z). Rzut poziomy punktu A - punkt A", mający współrzędne x, y. Narysujmy prostopadłe z punktu A" do osi x, y i znajdź odpowiednio A x, A y. Współrzędna x punktu A jest równa długości odcinka A x O ze znakiem plus, ponieważ A x leży w obszarze dodatnich wartości osi x. Biorąc pod uwagę skalę rysunku, znajdujemy x = 10. Współrzędna y jest równa długości odcinka A y O ze znakiem minus, ponieważ t. A y leży w obszarze wartości ujemnych oś Y. Biorąc pod uwagę skalę rysunku, y = –30. Rzut czołowy punktu A - punkt A"" ma współrzędne x i z. Rzućmy prostopadłą z A" na oś z i znajdźmy A z. Współrzędna z punktu A jest równa długości odcinka A z O ze znakiem minus, ponieważ A z leży w obszarze ujemnych wartości osi z. Biorąc pod uwagę skalę rysunku z = –10. Zatem współrzędne punktu A wynoszą (10, –30, –10).
Współrzędne punktu B można zapisać jako B (x, y, z). Rozważmy rzut poziomy punktu B - punktu B”. Ponieważ leży on na osi x, wówczas B x = B” i współrzędna B y = 0. Odcięta x punktu B jest równa długości odcinka B x O ze znakiem plus. Biorąc pod uwagę skalę rysunku x = 30. Rzut punktu B na czoło wynosi t. B˝ ma współrzędne x, z. Narysujmy prostopadłą od B"" do osi z, znajdując w ten sposób B z. Zastosowanie z punktu B jest równe długości odcinka B z O ze znakiem minus, ponieważ B z leży w obszarze ujemnych wartości osi z. Biorąc pod uwagę skalę rysunku, wyznaczamy wartość z = –20. Zatem współrzędne B to (30, 0, -20). Wszystkie niezbędne konstrukcje przedstawiono na poniższym rysunku.
Konstrukcja rzutów punktów
Punkty A i B na płaszczyźnie P 3 mają współrzędne: A""" (y, z); B""" (y, z). W tym przypadku A"" i A""" leżą na tej samej prostopadłej do osi z, ponieważ mają wspólną współrzędną z. Podobnie B"" i B""" leżą na wspólnej prostopadłej do osi z. Aby znaleźć rzut profilu punktu A, nanosimy wzdłuż osi Y wartość odpowiedniej współrzędnej znalezionej wcześniej. Na rysunku odbywa się to za pomocą łuku kołowego o promieniu A y O. Następnie narysuj prostopadłą od A y, aż przetnie się z prostopadłą przywróconą z punktu A" do osi z. Punkt przecięcia tych dwóch prostopadłych wyznacza położenie A""".
Punkt B""" leży na osi z, ponieważ współrzędna y tego punktu wynosi zero. Aby znaleźć rzut profilu punktu B w tym zadaniu, wystarczy narysować prostopadłą z B"" do osi z. punkt przecięcia tej prostopadłej z osią z to B „””.
Wyznaczanie położenia punktów w przestrzeni
Wyobrażając sobie wizualnie układ przestrzenny, złożony z płaszczyzn rzutowych P 1, P 2 i P 3, położenie oktanów, a także kolejność przekształcania układu na diagramy, można bezpośrednio określić, że punkt A znajduje się w III oktancie , a punkt B leży na płaszczyźnie P 2.
Inną opcją rozwiązania tego problemu jest metoda wyjątków. Na przykład współrzędne punktu A to (10, -30, -10). Dodatnia odcięta x pozwala ocenić, że punkt znajduje się w pierwszych czterech oktanach. Ujemna współrzędna y wskazuje, że punkt znajduje się w drugim lub trzecim oktancie. Wreszcie ujemna aplikacja z wskazuje, że punkt A znajduje się w trzecim oktancie. Poniższa tabela jasno ilustruje powyższe rozumowanie.
| Oktanty | Znaki współrzędnych | ||
| X | y | z | |
| 1 | + | + | + |
| 2 | + | – | + |
| 3 | + | – | – |
| 4 | + | + | – |
| 5 | – | + | + |
| 6 | – | – | + |
| 7 | – | – | – |
| 8 | – | + | – |
Współrzędne punktu B (30, 0, -20). Ponieważ rzędna punktu B wynosi zero, punkt ten znajduje się na płaszczyźnie rzutu P 2. Dodatnia odcięta i ujemna aplikacja t. B wskazują, że leży on na granicy trzeciej i czwartej oktanty.
Konstrukcja obrazu wizualnego punktów układu płaszczyzn P 1, P 2, P 3
Wykorzystując czołowy rzut izometryczny zbudowaliśmy układ przestrzenny III oktantu. Jest to trójkąt prostokątny, którego ścianami są płaszczyzny P 1, P 2, P 3, a kąt (-y0x) wynosi 45 º. W tym systemie segmenty wzdłuż osi x, y, z zostaną wykreślone w naturalnym rozmiarze, bez zniekształceń.
Zacznijmy konstruować wizualny obraz punktu A (10, -30, -10) z jego rzutem poziomym A. Po wykreśleniu odpowiednich współrzędnych na osi odciętych i rzędnych znajdujemy punkty A x i A y. Przecięcie prostopadłych zrekonstruowany odpowiednio z A x i A y na osie x i y wyznacza położenie punktu A”. Odkładając z A” równolegle do osi z w kierunku jej wartości ujemnych odcinek AA”, którego długość wynosi 10, znajdujemy położenie punktu A.
Obraz wizualny punktu B (30, 0, -20) buduje się w podobny sposób - w płaszczyźnie P2 wzdłuż osi x i z należy wykreślić odpowiednie współrzędne. Przecięcie prostopadłych zrekonstruowanych z B x i B z wyznaczy położenie punktu B.
Rozważmy rzuty punktów na dwie płaszczyzny, dla których bierzemy dwie prostopadłe płaszczyzny (ryc. 4), które będziemy nazywać poziomymi czołowymi i płaszczyznami. Linię przecięcia tych płaszczyzn nazywa się osią rzutowania. Rzutujemy jeden punkt A na rozważane płaszczyzny za pomocą rzutu płaskiego. W tym celu należy obniżyć prostopadłe Aa i A z danego punktu na rozważane płaszczyzny.
Nazywa się rzutem na płaszczyznę poziomą projekcja pozioma zwrotnica A i projekcja A? w płaszczyźnie czołowej nazywa się projekcja czołowa.
Punkty przeznaczone do rzutowania są zwykle oznaczane w geometrii wykreślnej dużymi literami A, B, C. Małe litery służą do oznaczania poziomych rzutów punktów a, b, c... Występy czołowe są oznaczone małymi literami z kreską u góry a?, b?, c?…
Punkty oznaczono także cyframi rzymskimi I, II,... a dla ich rzutów - cyframi arabskimi 1, 2... i 1?, 2?...
Obracając płaszczyznę poziomą o 90°, można uzyskać rysunek, na którym obie płaszczyzny znajdują się w tej samej płaszczyźnie (rys. 5). To zdjęcie nazywa się schemat punktu.
Przez linie prostopadłe Ach I co? Narysujmy płaszczyznę (ryc. 4). Powstała płaszczyzna jest prostopadła do płaszczyzny czołowej i poziomej, ponieważ zawiera prostopadłe do tych płaszczyzn. Zatem płaszczyzna ta jest prostopadła do linii przecięcia płaszczyzn. Powstała linia prosta przecina płaszczyznę poziomą w linii prostej aha x, a płaszczyzna czołowa – w linii prostej a? a X. Prosto aaa i a? a x są prostopadłe do osi przecięcia płaszczyzn. To jest Aaaah? jest prostokątem.
Podczas łączenia płaszczyzn projekcji poziomej i czołowej A I A? będzie leżeć w tej samej prostopadłej do osi przecięcia płaszczyzn, ponieważ gdy płaszczyzna pozioma się obraca, prostopadłość segmentów aha x i a? a x nie zostanie uszkodzony.
Widzimy to na diagramie projekcyjnym A I A? jakiś punkt A leżą zawsze w tej samej prostopadłej do osi przecięcia płaszczyzn.
Dwie projekcje a i A? pewnego punktu A może jednoznacznie określić swoje położenie w przestrzeni (rys. 4). Potwierdza to fakt, że konstruując prostopadłą z rzutu a na płaszczyznę poziomą, przejdzie ona przez punkt A. W ten sam sposób prostopadła z rzutu A? do płaszczyzny czołowej przejdzie przez ten punkt A, czyli punkt A leży jednocześnie na dwóch określonych liniach prostych. Punkt A jest ich punktem przecięcia, to znaczy jest określony.
Rozważmy prostokąt Aaa X A?(rys. 5), dla którego prawdziwe są następujące twierdzenia:
1) Odległość punktowa A od płaszczyzny czołowej jest równa odległości jego rzutu poziomego a od osi przecięcia płaszczyzn, tj.
co? = aha X;
2) odległość punktowa A od poziomej płaszczyzny występów jest równa odległości jego rzutu czołowego A? od osi przecięcia płaszczyzn, tj.
Ach = a? a X.
Innymi słowy, nawet bez samego punktu na diagramie, wykorzystując jedynie jego dwa rzuty, można dowiedzieć się, w jakiej odległości dany punkt znajduje się od każdej z płaszczyzn rzutowania.
Przecięcie dwóch płaszczyzn projekcyjnych dzieli przestrzeń na cztery części, które nazywane są w ćwiartkach(ryc. 6).
Oś przecięcia płaszczyzn dzieli płaszczyznę poziomą na dwie ćwiartki – przednią i tylną, a płaszczyznę czołową – na ćwiartkę górną i dolną. Za granice pierwszej ćwiartki uważa się górną część płaszczyzny czołowej i przednią część płaszczyzny poziomej.
Po otrzymaniu diagramu płaszczyzna pozioma obraca się i jest zrównana z płaszczyzną czołową (ryc. 7). W tym przypadku przednia część płaszczyzny poziomej będzie pokrywać się z dolną częścią płaszczyzny czołowej, a tylna część płaszczyzny poziomej będzie pokrywać się z górną częścią płaszczyzny czołowej.
Ryciny 8-11 przedstawiają punkty A, B, C, D, położone w różnych ćwiartkach przestrzeni. Punkt A znajduje się w pierwszej ćwiartce, punkt B w drugiej, punkt C w trzeciej, a punkt D w czwartej.
Gdy punkty znajdują się w ich pierwszej lub czwartej ćwiartce rzuty poziome znajdują się w przedniej części płaszczyzny poziomej, a na schemacie będą leżeć poniżej osi przecięcia płaszczyzn. Gdy punkt znajduje się w drugiej lub trzeciej ćwiartce, jego rzut poziomy będzie leżał z tyłu płaszczyzny poziomej, a na diagramie będzie znajdował się nad osią przecięcia płaszczyzn.
Projekcje czołowe punkty znajdujące się w pierwszej lub drugiej ćwiartce będą leżeć w górnej części płaszczyzny czołowej, a na schemacie będą znajdować się powyżej osi przecięcia płaszczyzn. Gdy punkt znajduje się w trzeciej lub czwartej ćwiartce, jego rzut czołowy znajduje się poniżej osi przecięcia płaszczyzn.
Najczęściej w prawdziwych konstrukcjach figura umieszczana jest w pierwszej ćwiartce przestrzeni.
W niektórych szczególnych przypadkach punkt ( mi) może leżeć na płaszczyźnie poziomej (ryc. 12). W tym przypadku jego rzut poziomy e i sam punkt będą się pokrywać. Rzut czołowy takiego punktu będzie zlokalizowany na osi przecięcia płaszczyzn.
W przypadku gdy punkt DO leży na płaszczyźnie czołowej (ryc. 13), jej rzut poziomy k leży na osi przecięcia płaszczyzn i czołowej k? pokazuje rzeczywistą lokalizację tego punktu.
Dla takich punktów znakiem, że leży on na jednej z płaszczyzn rzutowania, jest to, że jeden z jego rzutów znajduje się na osi przecięcia płaszczyzn.
Jeżeli punkt leży na osi przecięcia płaszczyzn rzutowania, to on i oba jego rzuty pokrywają się.
Kiedy punkt nie leży na płaszczyznach rzutowania, nazywa się go punkt ogólnego stanowiska. Poniżej, jeśli nie ma specjalnych znaków, punkt, o którym mowa, jest punktem w położeniu ogólnym.
2. Brak osi projekcji
Aby wyjaśnić sposób uzyskania rzutów punktu na model prostopadle do płaszczyzny projekcji (rys. 4), należy wziąć kawałek grubego papieru w kształcie wydłużonego prostokąta. Należy go zgiąć pomiędzy występami. Linia zagięcia będzie reprezentować oś przecięcia płaszczyzn. Jeśli po tym zgiętą kartkę papieru ponownie wyprostujemy, otrzymamy schemat podobny do pokazanego na rysunku.
Łącząc dwie płaszczyzny rzutowania z płaszczyzną rysunkową, można nie pokazać linii zagięcia, czyli nie narysować osi przecięcia płaszczyzn na schemacie.
Rysując na diagramie należy zawsze umieszczać rzuty A I A? punkt A na jednej linii pionowej (ryc. 14), która jest prostopadła do osi przecięcia płaszczyzn. Dlatego nawet jeśli położenie osi przecięcia płaszczyzn pozostaje niepewne, ale jej kierunek jest określony, oś przecięcia płaszczyzn można zlokalizować jedynie na wykresie prostopadłym do prostej co?.
Jeżeli na diagramie punktu nie ma osi rzutowania, jak na pierwszym rysunku 14a, można sobie wyobrazić położenie tego punktu w przestrzeni. Aby to zrobić, narysuj dowolne miejsce prostopadle do linii prostej co? osi rzutu, jak na drugim rysunku (ryc. 14) i zagnij rysunek wzdłuż tej osi. Jeśli przywrócimy prostopadłe w punktach A I A? zanim się przetną, możesz zdobyć punkt A. Zmieniając położenie osi projekcji, uzyskuje się różne położenia punktu względem płaszczyzn projekcji, jednak niepewność położenia osi projekcji nie wpływa na względne położenie kilku punktów lub figur w przestrzeni.
3. Rzuty punktu na trzy płaszczyzny rzutowania
Rozważmy płaszczyznę profilu występów. Rzuty na dwie prostopadłe płaszczyzny zazwyczaj określają położenie figury i pozwalają poznać jej rzeczywistą wielkość i kształt. Ale są chwile, kiedy dwie projekcje nie wystarczą. Następnie stosuje się konstrukcję trzeciego rzutu.
Trzecia płaszczyzna projekcji jest rysowana tak, aby była prostopadła do obu płaszczyzn projekcji jednocześnie (ryc. 15). Zwykle nazywana jest trzecia płaszczyzna profil.
W takich konstrukcjach nazywa się wspólną linię prostą płaszczyzny poziomej i czołowej oś X , wspólna prosta płaszczyzny poziomej i profilowej – oś Na , a wspólna linia prosta płaszczyzny czołowej i profilowej to oś z . Kropka O, który należy do wszystkich trzech płaszczyzn, nazywany jest punktem początkowym.
Rysunek 15a pokazuje ten punkt A i trzy jego projekcje. Rzut na płaszczyznę profilu ( A??) są nazywane projekcja profilu i oznaczać A??.
Aby uzyskać diagram punktu A, który składa się z trzech rzutów a, a, a, należy przeciąć trójścian utworzony przez wszystkie płaszczyzny wzdłuż osi y (ryc. 15b) i połączyć wszystkie te płaszczyzny z płaszczyzną rzutu czołowego. Płaszczyzna pozioma musi zostać obrócona wokół osi X, a płaszczyzna profilu znajduje się wokół osi z w kierunku wskazanym strzałką na Rysunku 15.
Rysunek 16 pokazuje położenie występów Huh huh? I A?? zwrotnica A, uzyskany poprzez połączenie wszystkich trzech płaszczyzn z płaszczyzną rysunkową.
W wyniku cięcia oś Y pojawia się w dwóch różnych miejscach na diagramie. Na płaszczyźnie poziomej (ryc. 16) przyjmuje położenie pionowe (prostopadle do osi). X), a na płaszczyźnie profilu – poziomą (prostopadle do osi z).
Na rysunku 16 przedstawiono trzy rzuty Huh huh? I A?? punkty A mają ściśle określone położenie na diagramie i podlegają jednoznacznym warunkom:
A I A? powinny zawsze znajdować się na tej samej linii pionowej, prostopadłej do osi X;
A? I A?? powinny zawsze leżeć na tej samej poziomej linii prostej, prostopadłej do osi z;
3) przeprowadza się przez rzut poziomy i prostą poziomą oraz poprzez rzut profilowy A??– pionowa linia prosta, zbudowane linie proste będą koniecznie przecinać się na dwusiecznej kąta między osiami rzutowania, ponieważ figura Och Na A 0 A n – kwadrat.
Konstruując trzy rzuty punktu, należy sprawdzić, czy dla każdego punktu spełnione są wszystkie trzy warunki.
4. Współrzędne punktu
Położenie punktu w przestrzeni można określić za pomocą trzech liczb zwanych jego współrzędne. Każda współrzędna odpowiada odległości punktu od jakiejś płaszczyzny projekcji.
Określona odległość punktowa A do płaszczyzny profilu jest współrzędną X, w której X = Huh huh(ryc. 15), odległość do płaszczyzny czołowej ma współrzędną y i y = Huh huh, a odległość do płaszczyzny poziomej jest współrzędną z, w której z = aA.
Na rysunku 15 punkt A zajmuje szerokość równoległościanu prostokątnego, a wymiary tego równoległościanu odpowiadają współrzędnym tego punktu, czyli każda ze współrzędnych jest przedstawiona na rysunku 15 czterokrotnie, tj.:
x = a?A = Oa x = a y a = a z za?;
y = а?А = Оа y = а x а = а z а?;
z = aA = Oa z = a x a? = a tak?.
Na schemacie (ryc. 16) współrzędne x i z pojawiają się trzykrotnie:
x = a z a?= Oa x = a y a,
z = a x a? = Oa z = a y a?.
Wszystkie segmenty odpowiadające współrzędnej X(Lub z) są do siebie równoległe. Koordynować Na reprezentowana dwukrotnie przez oś umieszczoną pionowo:
y = Oa y = a x a
i dwukrotnie – umieszczone poziomo:
y = Oa y = a z za?.
Różnica ta wynika z faktu, że oś Y występuje na wykresie w dwóch różnych pozycjach.
Należy wziąć pod uwagę, że położenie każdego występu wyznaczają na schemacie tylko dwie współrzędne, a mianowicie:
1) poziome – współrzędne X I Na,
2) czołowy – współrzędne X I z,
3) profil – współrzędne Na I z.
Używanie współrzędnych x, y I z, możesz skonstruować rzuty punktu na diagramie.
Jeżeli punkt A jest określony przez współrzędne, ich zapis definiuje się następująco: A ( X; y; z).
Podczas konstruowania rzutów punktowych A należy sprawdzić następujące warunki:
1) rzuty poziome i czołowe A I A? X X;
2) występy czołowe i profilowe A? I A? muszą znajdować się w tej samej prostopadłości do osi z, ponieważ mają wspólną współrzędną z;
3) rzut poziomy i również usunięty z osi X, jak projekcja profilu A od osi z, ponieważ prognozy ah? i co? mają wspólną współrzędną Na.
Jeżeli punkt leży w którejkolwiek z płaszczyzn rzutowania, to jedna z jego współrzędnych jest równa zeru.
Gdy punkt leży na osi rzutowania, dwie jego współrzędne są równe zeru.
Jeśli punkt leży w początku układu, wszystkie trzy jego współrzędne wynoszą zero.
|
Forma werbalna |
Forma graficzna |
|
1. Narysuj odpowiednie współrzędne punktu A na osiach X, Y, Z. Otrzymujemy punkty A x, A y, A z | |
|
2. Rzut poziomy A 1 znajduje się na przecięciu linii komunikacyjnych z punktów A x i A y narysowanych równolegle do osi X i Y |
|
|
3. Rzut czołowy A 2 znajduje się na przecięciu linii komunikacyjnych z punktów A x i A z narysowanych równolegle do osi X i Z |
|
|
4. Rzut profilu A 3 znajduje się na przecięciu linii komunikacyjnych z punktów A z i A y narysowanych równolegle do osi Z i Y |
|
3.2. Położenie punktu względem płaszczyzn projekcji
Położenie punktu w przestrzeni względem płaszczyzn projekcji określają jego współrzędne. Współrzędna X określa odległość punktu od płaszczyzny P 3 (rzut na P 2 lub P 1), współrzędna Y określa odległość od płaszczyzny P 2 (rzut na P 3 lub P 1), współrzędna Z określa odległość od płaszczyzny P 1 (rzut na P 3 lub P 2). W zależności od wartości tych współrzędnych punkt może zajmować zarówno ogólne, jak i określone położenie w przestrzeni w stosunku do płaszczyzn rzutowania (ryc. 3.1).
Ryż. 3.1. Klasyfikacja punktowa
Tzwrotnicaogólnyzaprowiantowanie. Współrzędne punktu ogólnego nie są równe zero ( X≠0, y≠0, z≠0 ), a w zależności od znaku współrzędnej punkt może znajdować się w jednym z ośmiu oktanów (tabela 2.1).
Na ryc. 3.2 zawiera rysunki punktów w położeniu ogólnym. Analiza ich obrazów pozwala stwierdzić, że znajdują się one w następujących oktanach przestrzeni: A(+X;+Y; +Z( Ioktant;B(+X;+Y;-Z( IVoktant;C(-X;+Y; +Z( Voktant;D(+X;+Y; +Z( IIoktant.
Punkty o szczególnym położeniu. Jedna ze współrzędnych w punkcie danego położenia jest równa zeru, zatem rzut punktu leży na odpowiednim polu projekcji, a dwie pozostałe na osiach projekcji. Na ryc. 3.3 takimi punktami są punkty A, B, C, D, G.A P 3, następnie punkt X A = 0; W P 3, następnie punkt X B = 0; Z П 2, następnie punktY C =0;D P 1, następnie punkt Z D = 0.
Punkt może należeć jednocześnie do dwóch płaszczyzn rzutowania, jeżeli leży na linii przecięcia tych płaszczyzn – osi rzutowania. Dla takich punktów tylko współrzędna na tej osi nie jest zerowa. Na ryc. 3.3 takim punktem jest punkt G(G OZ, następnie punkt X G =0, Y G =0).
3.3. Względne położenie punktów w przestrzeni
Rozważmy trzy opcje względnego rozmieszczenia punktów w zależności od stosunku współrzędnych określających ich położenie w przestrzeni.
Na ryc. 3.4 Punkty A i B mają różne współrzędne.
Ich względne położenie można ocenić na podstawie odległości od płaszczyzn projekcji: Y A > Y B, wówczas punkt A leży dalej od płaszczyzny P 2 i bliżej obserwatora niż punkt B; Z A >Z B, wówczas punkt A leży dalej od płaszczyzny P 1 i bliżej obserwatora niż punkt B; XA Na ryc. Na rysunku 3.5 przedstawiono punkty A, B, C, D, dla których jedna ze współrzędnych jest taka sama, a pozostałe dwie są różne. Ich względne położenie można ocenić na podstawie odległości od płaszczyzn projekcji w następujący sposób: Y A =Y B =Y D, wówczas punkty A, B i D są w równej odległości od płaszczyzny P 2, a ich rzuty poziome i profilowe znajdują się odpowiednio na liniach prostych [A 1 B 1 ]llОХ i [A 3 B 3 ] llOZ. Geometryczne położenie takich punktów to płaszczyzna równoległa do P2; Z A =Z B =Z C, wówczas punkty A, B i C są w jednakowej odległości od płaszczyzny P 1, a ich rzuty czołowe i profilowe leżą odpowiednio na prostych [A 2 B 2 ]llОХ i [A 3 C 3 ] llOY. Geometryczne położenie takich punktów to płaszczyzna równoległa do P 1; X A =X C =X D, wówczas punkty A, C i D są w równej odległości od płaszczyzny P 3, a ich rzuty poziome i czołowe leżą odpowiednio na prostych [A 1 C 1 ]llOY i [A 2 D 2 ]llOZ . Geometrycznym położeniem takich punktów jest płaszczyzna równoległa do P3. 3. Jeżeli punkty mają równe dwie współrzędne o tej samej nazwie, to są one wywoływane konkurujące. Konkurujące punkty znajdują się na tej samej linii projekcyjnej. Na ryc. 3.3 istnieją trzy pary takich punktów, dla których: X A = X D ; Y ZA = Y D; Z D > Z A; X ZA = X do; Z ZA = Z do ; Y C > Y A ; Y ZA = Y B ; Z ZA = Z B ; X B > X A . Istnieją konkurujące ze sobą poziomo punkty A i D, położone na wystającej poziomo linii AD, czołowo rywalizujące punkty A i C, położone na wystającej czołowo linii AC, punkty konkurujące o profil A i B, położone na wystającej linii profilu AB. Wnioski na temat 1. Punkt to liniowy obraz geometryczny, jedno z podstawowych pojęć geometrii wykreślnej. Położenie punktu w przestrzeni można określić na podstawie jego współrzędnych. Każdy z trzech rzutów punktu charakteryzuje się dwiema współrzędnymi, ich nazwy odpowiadają nazwom osi tworzących odpowiednią płaszczyznę rzutowania: pozioma - A 1 (XA; YA); czołowy – A 2 (XA; ZA); profil – A 3 (YA; ZA). Tłumaczenie współrzędnych pomiędzy rzutami odbywa się za pomocą linii komunikacyjnych. Używając dwóch rzutów, możesz skonstruować rzuty punktu za pomocą współrzędnych lub graficznie. 3. Punkt w stosunku do płaszczyzn projekcji może zajmować zarówno ogólne, jak i określone położenie w przestrzeni. 4. Punkt w położeniu ogólnym to punkt nie należący do żadnej z płaszczyzn projekcji, czyli leżący w przestrzeni pomiędzy płaszczyznami projekcji. Współrzędne punktu ogólnego nie są równe zero (x≠0,y≠0,z≠0). 5. Punktem określonego położenia jest punkt należący do jednej lub dwóch płaszczyzn rzutowania. Jedna ze współrzędnych w punkcie danego położenia jest równa zeru, zatem rzut punktu leży na odpowiednim polu płaszczyzny rzutowania, pozostałe dwie na osiach rzutowania. 6. Punkty konkurencyjne – punkty, których współrzędne o tej samej nazwie pokrywają się. Istnieją punkty konkurujące poziomo, punkty konkurujące frontalnie, punkty konkurujące profilowo. Słowa kluczowe Współrzędne punktu Punkt ogólny Prywatny punkt Konkurencyjne punkty Metody działania niezbędne do rozwiązywania problemów – konstrukcja punktu według zadanych współrzędnych w układzie trzech płaszczyzn rzutowania w przestrzeni; – konstrukcja punktu według zadanych współrzędnych w układzie trzech płaszczyzn rzutowania na złożonym rysunku. Pytania autotestowe 1. W jaki sposób ustanawia się powiązanie położenia współrzędnych na złożonym rysunku w układzie trzech płaszczyzn rzutowych P 1 P 2 P 3 ze współrzędnymi rzutów punktowych? 2. Jakie współrzędne określają odległość punktów od płaszczyzn poziomych, czołowych, profilowych? 3. Jakie współrzędne i rzuty punktu zmienią się, jeśli punkt przesunie się w kierunku prostopadłym do płaszczyzny profilu rzutów P 3? 4. Jakie współrzędne i rzuty punktu ulegną zmianie, jeśli punkt porusza się w kierunku równoległym do osi OZ? 5. Jakie współrzędne wyznaczają rzut poziomy (czołowy, profilowy) punktu? 7. W jakim przypadku rzut punktu pokrywa się z samym punktem w przestrzeni i gdzie znajdują się pozostałe dwa rzuty tego punktu? 8. Czy punkt może należeć jednocześnie do trzech płaszczyzn rzutowania i w jakim przypadku? 9. Jakie są nazwy punktów, których rzuty o tej samej nazwie pokrywają się? 10. Jak określić, który z dwóch punktów jest bliżej obserwatora, jeśli ich rzuty czołowe pokrywają się? Zadania do samodzielnego rozwiązania 2. Konstruować rzuty punktów A i B według ich współrzędnych na obraz wizualny i złożony rysunek: A(13,5; 20), B(6,5; –20). Skonstruuj rzut punktu C, położonego symetrycznie do punktu A względem płaszczyzny czołowej rzutów P 2. 3. Konstruować rzuty punktów A, B, C według ich współrzędnych na obraz wizualny i złożony rysunek: A(–20; 0; 0), B(–30; -20; 10), C(–10, –15, 0 ). Skonstruuj punkt D, położony symetrycznie do punktu C względem osi OX. Przykład rozwiązania typowego problemu Zadanie 1. Podano współrzędne X, Y, Z punktów A, B, C, D, E, F (tabela 3.3)
Artykuły na ten temat
