Nájdite vlastné hodnoty a vektory. Maticová charakteristická rovnica

Ako vložiť matematické vzorce na stránku?

Ak niekedy potrebujete pridať jeden alebo dva matematické vzorce na webovú stránku, najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je popísaný v článku: matematické vzorce sa jednoducho vložia na stránku vo forme obrázkov, ktoré Wolfram Alpha automaticky generuje. Táto univerzálna metóda okrem jednoduchosti pomôže zlepšiť viditeľnosť stránky vo vyhľadávačoch. Funguje to už dlho (a myslím si, že bude fungovať navždy), ale je morálne zastarané.

Ak na svojej stránke neustále používate matematické vzorce, potom vám odporúčam použiť MathJax, špeciálnu knižnicu JavaScript, ktorá zobrazuje matematický zápis vo webových prehliadačoch pomocou značiek MathML, LaTeX alebo ASCIIMathML.

Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJax: (1) pomocou jednoduchého kódu môžete rýchlo pripojiť skript MathJax na vašu stránku, ktorý sa automaticky načíta zo vzdialeného servera v správnom čase (zoznam serverov); (2) nahrajte skript MathJax zo vzdialeného servera na váš server a pripojte ho ku všetkým stránkam vášho webu. Druhý spôsob je zložitejší a časovo náročnejší a umožní vám zrýchliť načítavanie stránok vášho webu a ak sa materský server MathJax stane z nejakého dôvodu dočasne nedostupným, nijako to neovplyvní vašu vlastnú stránku. Napriek týmto výhodám som zvolil prvý spôsob, keďže je jednoduchší, rýchlejší a nevyžaduje technické zručnosti. Nasledujte môj príklad a do 5 minút budete môcť na svojej webovej stránke využívať všetky funkcie MathJax.

Skript knižnice MathJax môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch možností kódu prevzatých z hlavnej webovej stránky MathJax alebo zo stránky dokumentácie:

Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky A alebo hneď za značkou . Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky sleduje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak prilepíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.

Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v službe Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vkladanie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu načítacieho kódu a umiestnite miniaplikáciu bližšie k začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do svojich webových stránok.

Akýkoľvek fraktál je zostavený podľa určitého pravidla, ktoré sa dôsledne uplatňuje neobmedzený počet krát. Každý takýto čas sa nazýva iterácia.

Iteračný algoritmus na zostavenie Mengerovej špongie je celkom jednoduchý: pôvodná kocka so stranou 1 je rozdelená rovinami rovnobežnými s jej plochami na 27 rovnakých kociek. Odstráni sa z nej jedna centrálna kocka a 6 kociek, ktoré k nej priliehajú pozdĺž plôch. Vznikne sada pozostávajúca z 20 zostávajúcich menších kociek. Ak urobíme to isté s každou z týchto kociek, dostaneme súpravu pozostávajúcu zo 400 menších kociek. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, dostaneme Mengerovu špongiu.

Matice diagonálneho typu sú najjednoduchšie usporiadané. Vzniká otázka, či je možné nájsť základ, v ktorom by matica lineárneho operátora mala diagonálny tvar. Takýto základ existuje.
Nech je daný lineárny priestor R n a v ňom pôsobiaci lineárny operátor A; v tomto prípade operátor A berie do seba R n, teda A:R n → R n .

Definícia. Nenulový vektor x sa nazýva vlastný vektor operátora A, ak operátor A transformuje x na vektor s ním kolineárny, t.j. Číslo λ sa nazýva vlastná hodnota alebo vlastná hodnota operátora A zodpovedajúceho vlastnému vektoru x .
Zaznamenávame niektoré vlastnosti vlastných hodnôt a vlastných vektorov.
1. Ľubovoľná lineárna kombinácia vlastných vektorov operátora A zodpovedajúceho rovnakej vlastnej hodnote λ je vlastný vektor s rovnakou vlastnou hodnotou.
2. Vlastné vektory operátor A s párovo odlišnými vlastnými hodnotami λ 1 , λ 2 , …, λ m sú lineárne nezávislé.
3. Ak vlastné hodnoty λ 1 =λ 2 = λ m = λ, potom vlastná hodnota λ zodpovedá nie viac ako m lineárne nezávislým vlastným vektorom.

Ak teda existuje n lineárne nezávislých vlastných vektorov zodpovedajúce rôznym vlastným hodnotám λ 1 , λ 2 , …, λ n , potom sú lineárne nezávislé, preto ich možno považovať za základ priestoru R n . Nájdite tvar matice lineárneho operátora A na základe jeho vlastných vektorov, pre ktoré pôsobíme s operátorom A na vektoroch báz: Potom .
Matica lineárneho operátora A má teda na základe svojich vlastných vektorov diagonálny tvar a vlastné hodnoty operátora A sú na diagonále.
Existuje iný základ, v ktorom má matica diagonálny tvar? Odpoveď na túto otázku dáva nasledujúca veta.

Veta. Matica lineárneho operátora A v báze (i = 1..n) má diagonálny tvar práve vtedy, ak všetky vektory bázy sú vlastné vektory operátora A.

Pravidlo na nájdenie vlastných hodnôt a vlastných vektorov

Nechajte vektor , kde x 1 , x 2 , …, x n - súradnice vektora x vzhľadom na základ a x je vlastný vektor lineárneho operátora A zodpovedajúci vlastnej hodnote λ, t.j. Tento vzťah je možné zapísať v maticovom tvare

. (*)

Rovnicu (*) možno považovať za rovnicu na nájdenie x , a , to znamená, že nás zaujímajú netriviálne riešenia, pretože vlastný vektor nemôže byť nula. Je známe, že netriviálne riešenia homogénneho systému lineárnych rovníc existujú práve vtedy, ak det(A - λE) = 0. Aby teda λ bolo vlastnou hodnotou operátora A, je potrebné a postačujúce, aby det(A - λE ) = 0.
Ak je rovnica (*) napísaná podrobne v súradnicovom tvare, dostaneme systém lineárnych homogénnych rovníc:

(1)
Kde je matica lineárneho operátora.

Sústava (1) má nenulové riešenie, ak sa jej determinant D rovná nule

Dostali sme rovnicu na nájdenie vlastných hodnôt.
Táto rovnica sa nazýva charakteristická rovnica a jej ľavá strana sa nazýva charakteristický polynóm matice (operátor) A. Ak charakteristický polynóm nemá reálne korene, potom matica A nemá žiadne vlastné vektory a nemôže byť redukovaná do diagonálneho tvaru.
Nech λ 1 , λ 2 , …, λ n sú skutočné korene charakteristickej rovnice a môžu byť medzi nimi násobky. Nahradením týchto hodnôt do systému (1) nájdeme vlastné vektory.

Príklad 12. Lineárny operátor A pôsobí v R 3 podľa zákona , kde x 1 , x 2 , .., x n sú súradnice vektora v zákl. , , . Nájdite vlastné hodnoty a vlastné vektory tohto operátora.
Riešenie. Vytvoríme maticu tohto operátora:
.
Zostavíme systém na určenie súradníc vlastných vektorov:

Zostavíme charakteristickú rovnicu a vyriešime ju:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Dosadením λ = -1 do systému máme:
alebo
Pretože , potom existujú dve závislé premenné a jedna voľná premenná.
Nech je x 1 voľná neznáma Túto sústavu vyriešime ľubovoľným spôsobom a nájdeme všeobecné riešenie tejto sústavy: Základná sústava riešení pozostáva z jedného riešenia, keďže n - r = 3 - 2 = 1.
Množina vlastných vektorov zodpovedajúcich vlastnej hodnote λ = -1 má tvar: , kde x 1 je ľubovoľné číslo iné ako nula. Vyberme si jeden vektor z tejto množiny, napríklad nastavením x 1 = 1: .
Ak budeme argumentovať podobne, nájdeme vlastný vektor zodpovedajúci vlastnej hodnote λ = 3: .
V priestore R 3 bázu tvoria tri lineárne nezávislé vektory, ale získali sme len dva lineárne nezávislé vlastné vektory, z ktorých bázu v R 3 nemožno vytvoriť. V dôsledku toho maticu A lineárneho operátora nemožno redukovať na diagonálny tvar.

Príklad 13 Daná matica .
1. Dokážte, že vektor je vlastný vektor matice A. Nájdite vlastnú hodnotu zodpovedajúcu tomuto vlastnému vektoru.
2. Nájdite základ, v ktorom má matica A diagonálny tvar.
Riešenie.
1. Ak , potom x je vlastný vektor

.
Vektor (1, 8, -1) je vlastný vektor. Vlastná hodnota λ = -1.
Matica má diagonálny tvar v základe pozostávajúcom z vlastných vektorov. Jeden z nich je známy. Poďme nájsť zvyšok.
Hľadáme vlastné vektory zo systému:

Charakteristická rovnica: ;
(3+A)[-2(2-A)(2+A)+3] = 0; (3+A)(A2-1) = 0
λ1 = -3, λ2 = 1, λ3 = -1.
Nájdite vlastný vektor zodpovedajúci vlastnej hodnote λ = -3:

Hodnosť matice tohto systému sa rovná dvom a rovná sa počtu neznámych, preto má tento systém iba nulové riešenie x 1 = x 3 = 0. x 2 tu môže byť čokoľvek iné ako nula, napr. x 2 = 1. Vektor (0 ,1,0) je teda vlastný vektor zodpovedajúci λ = -3. Skontrolujme to:
.
Ak λ = 1, dostaneme systém
Poradie matice je dve. Prečiarknite poslednú rovnicu.
Nech x 3 je voľná neznáma. Potom x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 \u003d 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 \u003d -9x 3.
Za predpokladu, že x 3 = 1, máme (-3,-9,1) - vlastný vektor zodpovedajúci vlastnej hodnote λ = 1. Skontrolujte:

.
Pretože vlastné hodnoty sú skutočné a rôzne, vektory, ktoré im zodpovedajú, sú lineárne nezávislé, takže ich možno brať ako základ v R3. Teda v zákl , , matica A má tvar:
.
Nie každú maticu lineárneho operátora A:R n → R n možno redukovať na diagonálny tvar, pretože pre niektoré lineárne operátory môže existovať menej ako n lineárne nezávislých vlastných vektorov. Ak je však matica symetrická, potom presne m lineárne nezávislých vektorov zodpovedá koreňu charakteristickej rovnice násobnosti m.

Definícia. Symetrická matica je štvorcová matica, v ktorej sú prvky, ktoré sú symetrické vzhľadom na hlavnú uhlopriečku, rovnaké, to znamená, v ktorej .
Poznámky. 1. Všetky vlastné hodnoty symetrickej matice sú skutočné.
2. Vlastné vektory symetrickej matice zodpovedajúce párovo odlišným vlastným hodnotám sú ortogonálne.
Za jednu z početných aplikácií študovaného aparátu považujeme problém určenia tvaru krivky druhého rádu.

". Prvá časť načrtáva ustanovenia, ktoré sú minimálne potrebné na pochopenie chemometrie, a druhá časť obsahuje fakty, ktoré potrebujete vedieť pre hlbšie pochopenie metód viacrozmernej analýzy. Prezentácia je ilustrovaná príkladmi vytvorenými v excelovom zošite Matrix.xls ktorý je priložený k tomuto dokumentu.

Odkazy na príklady sú v texte umiestnené ako objekty programu Excel. Tieto príklady sú abstraktného charakteru, nie sú nijako viazané na problémy analytickej chémie. Reálne príklady využitia maticovej algebry v chemometrii sú rozoberané v iných textoch venovaných rôznym chemometrickým aplikáciám.

Väčšina meraní uskutočňovaných v analytickej chémii nie sú priame, ale nepriamy. To znamená, že v experimente sa namiesto hodnoty požadovaného analytu C (koncentrácia) získa iná hodnota X(signál) súvisiaci, ale nie rovný C, t.j. X(C) ≠ C. Spravidla typ závislosti X(C) nie je známe, ale našťastie v analytickej chémii je väčšina meraní proporcionálna. To znamená, že ako koncentrácia C in a krát sa signál X zvýši o rovnakú hodnotu, t.j. X(a C) = a x(C). Okrem toho sú signály aj aditívne, takže signál zo vzorky obsahujúcej dve látky s koncentráciami C 1 a C 2 sa bude rovnať súčtu signálov z každej zložky, t.j. X(C1 + C2) = X(C1)+ X(C2). Proporcionalita a aditívnosť spolu dávajú linearita. Na ilustráciu princípu linearity možno uviesť mnoho príkladov, ale stačí spomenúť dva najvýraznejšie príklady – chromatografiu a spektroskopiu. Druhým znakom experimentu v analytickej chémii je viackanálový. Moderné analytické zariadenia súčasne merajú signály pre mnoho kanálov. Napríklad intenzita priepustnosti svetla sa meria pre viacero vlnových dĺžok naraz, t.j. rozsah. Preto sa v experimente zaoberáme rôznymi signálmi X 1 , X 2 ,...., X n charakterizujúce súbor koncentrácií C 1 ,C 2, ..., C m látok prítomných v skúmanom systéme.

Ryža. 1 Spectra

Analytický experiment je teda charakterizovaný linearitou a multidimenzionálnosťou. Preto je vhodné považovať experimentálne dáta za vektory a matice a manipulovať s nimi pomocou aparátu maticovej algebry. Úspešnosť tohto prístupu ilustruje príklad uvedený v , ktorý ukazuje tri spektrá pre 200 vlnových dĺžok od 4000 do 4796 cm–1. Najprv ( X 1) a druhý ( X 2) spektrá boli získané pre štandardné vzorky, v ktorých sú známe koncentrácie dvoch látok A a B: v prvej vzorke [A] = 0,5, [B] = 0,1 a v druhej vzorke [A] = 0,2, [ B] = 0,6. Čo možno povedať o novej, neznámej vzorke, ktorej spektrum je uvedené X 3 ?

Zvážte tri experimentálne spektrá X 1 , X 2 a X 3 ako tri vektory dimenzie 200. Pomocou lineárnej algebry sa to dá ľahko ukázať X 3 = 0.1 X 1 +0.3 X 2, takže tretia vzorka zjavne obsahuje iba látky A a B v koncentráciách [A] = 0,5×0,1 + 0,2×0,3 = 0,11 a [B] = 0,1×0,1 + 0,6×0,3 = 0,19.

1. Základné informácie

1.1 Matrice

Matrix nazývaná napríklad obdĺžniková tabuľka čísel

Ryža. 2 Matica

Matice sú označené veľkými tučnými písmenami ( A), a ich prvky - so zodpovedajúcimi malými písmenami s indexmi, t.j. a ij . Prvý index očísluje riadky a druhý stĺpce. V chemometrii je zvykom označovať maximálnu hodnotu indexu rovnakým písmenom ako samotný index, ale veľkými písmenami. Preto matica A možno napísať aj ako ( a ij , i = 1,..., ja; j = 1,..., J). Pre príklad matice ja = 4, J= 3 a a 23 = −7.5.

Dvojica čísel ja A J sa nazýva rozmer matice a označuje sa ako ja× J. Príkladom matrice v chemometrii je súbor spektier získaných pre ja vzorky na J vlnové dĺžky.

1.2. Najjednoduchšie operácie s maticami

Matice môžu vynásobte číslami. V tomto prípade sa každý prvok vynásobí týmto číslom. Napríklad -

Ryža. 3 Násobenie matice číslom

Dve matice rovnakej dimenzie môžu byť elementárne zložiť A odčítať. Napríklad,

Ryža. 4 Pridanie matice

Násobením číslom a sčítaním sa získa matica rovnakého rozmeru.

Nulová matica je matica pozostávajúca z núl. Je určený O. To je zrejmé A+O = A, A−A = O a 0 A = O.

Matica môže transponovať. Pri tejto operácii sa matrica preklopí, t.j. riadky a stĺpce sú vymenené. Transpozícia je označená pomlčkou, A“ alebo index A t . Teda ak A = {a ij , i = 1,..., ja; j = 1,...,J), To A t = ( a ji , j = 1,...,J; i = 1,..., ja). Napríklad

Ryža. 5 Maticová transpozícia

Je zrejmé, že ( A t) t = A, (A+B) t = A t+ B t .

1.3. Maticové násobenie

Matice môžu množiť, ale iba ak majú príslušné rozmery. Prečo je to tak, bude zrejmé z definície. Matrixový produkt A, rozmer ja× K a matrice B, rozmer K× J, sa nazýva matica C, rozmer ja× J, ktorého prvkami sú čísla

Teda pre produkt AB je potrebné, aby počet stĺpcov v ľavej matici A sa rovnalo počtu riadkov v pravej matici B. Príklad produktu Matrix -

Obr.6 Súčin matíc

Pravidlo násobenia matice môže byť formulované nasledovne. Na nájdenie prvku matice C stojaci na križovatke i-tý riadok a j-tý stĺpec ( c ij) sa musí vynásobiť prvok po prvku i-tý riadok prvej matice A na j-tý stĺpec druhej matice B a spočítajte všetky výsledky. Takže v zobrazenom príklade sa prvok z tretieho riadka a druhého stĺpca získa ako súčet prvkov po prvkoch v treťom riadku. A a druhý stĺpec B

Obr.7 Prvok súčinu matíc

Súčin matríc závisí od poradia, t.j. AB ≠ BA, aspoň z rozmerových dôvodov. Hovorí sa, že je nekomutatívna. Súčin matíc je však asociatívny. Znamená to, že ABC = (AB)C = A(BC). Navyše je aj distributívny, t.j. A(B+C) = AB+AC. To je zrejmé AO = O.

1.4. Štvorcové matice

Ak sa počet stĺpcov matice rovná počtu jej riadkov ( ja = J=N), potom sa takáto matica nazýva štvorec. V tejto časti sa budeme zaoberať iba takýmito maticami. Medzi týmito maticami je možné vyčleniť matice so špeciálnymi vlastnosťami.

Samotársky matica (označená ja a niekedy E) je matica, v ktorej sa všetky prvky rovnajú nule, okrem diagonálnych, ktoré sa rovnajú 1, t.j.

Samozrejme AI = IA = A.

Matica sa nazýva uhlopriečka, ak všetky jeho prvky okrem diagonálnych ( a ii) sa rovnajú nule. Napríklad

Ryža. 8 Diagonálna matica

Matrix A nazývaný vrchol trojuholníkový, ak sa všetky jeho prvky ležiace pod uhlopriečkou rovnajú nule, t.j. a ij= 0, pri i>j. Napríklad

Ryža. 9 Horná trojuholníková matrica

Spodná trojuholníková matica je definovaná podobne.

Matrix A volal symetrické, Ak A t = A. Inými slovami a ij = a ji. Napríklad

Ryža. 10 Symetrická matica

Matrix A volal ortogonálne, Ak

A t A = AA t = ja.

Matica sa nazýva normálne Ak

1.5. Stopa a determinant

Sledovanieštvorcovú maticu A(označené Tr( A) alebo Sp( A)) je súčet jeho diagonálnych prvkov,

Napríklad,

Ryža. 11 Maticová stopa

To je zrejmé

Sp(a A) = α Sp( A) A

Sp( A+B) = Sp( A)+ Sp( B).

Dá sa to ukázať

Sp( A) = Sp( A t), Sp( ja) = N,

a tiež to

Sp( AB) = Sp( BA).

Ďalšou dôležitou vlastnosťou štvorcovej matice je jej determinant(označené det( A)). Definícia determinantu vo všeobecnom prípade je pomerne komplikovaná, takže začneme najjednoduchšou možnosťou - maticou A rozmer (2×2). Potom

Pre maticu (3×3) sa determinant bude rovnať

V prípade matice ( N× N) determinant sa vypočíta ako súčet 1 2 3 ... N= N! termíny, z ktorých každý sa rovná

indexy k 1 , k 2 ,..., k N sú definované ako všetky možné usporiadané permutácie rčísla v sade (1, 2, ... , N). Výpočet maticového determinantu je zložitý postup, ktorý sa v praxi vykonáva pomocou špeciálnych programov. Napríklad,

Ryža. 12 Maticový determinant

Zaznamenávame iba zrejmé vlastnosti:

det( ja) = 1, det( A) = det( A t),

det( AB) = det( A)det( B).

1.6. vektory

Ak má matica iba jeden stĺpec ( J= 1), potom sa takýto objekt nazýva vektor. Presnejšie, stĺpcový vektor. Napríklad

Za matice pozostávajúce z jedného radu možno považovať aj napr

Tento objekt je tiež vektor, ale riadkový vektor. Pri analýze údajov je dôležité pochopiť, s ktorými vektormi sa zaoberáme - stĺpcami alebo riadkami. Takže spektrum odobraté pre jednu vzorku možno považovať za riadkový vektor. Potom by sa súbor spektrálnych intenzít pri určitej vlnovej dĺžke pre všetky vzorky mal považovať za stĺpcový vektor.

Rozmer vektora je počet jeho prvkov.

Je jasné, že akýkoľvek stĺpcový vektor možno transpozíciou transformovať na riadkový, t.j.

V tých prípadoch, kde nie je špecificky špecifikovaná forma vektora, ale hovorí sa jednoducho o vektore, znamenajú stĺpcový vektor. Toto pravidlo dodržíme aj my. Vektor je označený malým priamym tučným písmenom. Nulový vektor je vektor, ktorého všetky prvky sú rovné nule. Označuje sa 0 .

1.7. Najjednoduchšie operácie s vektormi

Vektory možno sčítať a násobiť číslami rovnakým spôsobom ako matice. Napríklad,

Ryža. 13 Operácie s vektormi

Dva vektory X A r volal kolineárne, ak existuje číslo α také, že

1.8. Produkty vektorov

Dva vektory rovnakej dimenzie N možno znásobiť. Nech sú dva vektory X = (X 1 , X 2 ,...,X N) t a r = (r 1 , r 2 ,...,r N) t. Podľa pravidla násobenia „riadok po stĺpci“ z nich môžeme vyrobiť dva produkty: X t r A xy t . Prvá práca

volal skalárne alebo interné. Jeho výsledkom je číslo. Používa tiež notáciu ( X,r)= X t r. Napríklad,

Ryža. 14 Vnútorný (skalárny) súčin

Druhá práca

volal externé. Jeho výsledkom je matica rozmerov ( N× N). Napríklad,

Ryža. 15 Vonkajší produkt

Volajú sa vektory, ktorých skalárny súčin sa rovná nule ortogonálne.

1.9. Vektorová norma

Skalárny súčin vektora so sebou samým sa nazýva skalárny štvorec. Táto hodnota

definuje štvorec dĺžka vektor X. Na označenie dĺžky (tzv normou vektor) sa používa zápis

Napríklad,

Ryža. 16 Vektorová norma

Vektor jednotkovej dĺžky (|| X|| = 1) sa nazýva normalizovaný. Nenulový vektor ( X ≠ 0 ) možno normalizovať vydelením dĺžkou, t.j. X = ||X|| (X/||X||) = ||X|| e. Tu e = X/||X|| je normalizovaný vektor.

Vektory sa nazývajú ortonormálne, ak sú všetky normalizované a párovo ortogonálne.

1.10. Uhol medzi vektormi

Skalárny súčin definuje a rohuφ medzi dvoma vektormi X A r

Ak sú vektory ortogonálne, potom cosφ = 0 a φ = π/2, a ak sú kolineárne, potom cosφ = 1 a φ = 0.

1.11. Vektorové znázornenie matice

Každá matrica A veľkosť ja× J môžu byť reprezentované ako množina vektorov

Tu je každý vektor a j je j-tý stĺpcový a riadkový vektor b i je i-tý riadok matice A

1.12. Lineárne závislé vektory

vektory rovnakej dimenzie ( N) možno sčítať a vynásobiť číslom, rovnako ako matice. Výsledkom je vektor rovnakej dimenzie. Nech existuje niekoľko vektorov rovnakej dimenzie X 1 , X 2 ,...,X K a rovnaký počet čísel α α 1 , α 2 ,...,α K. Vektor

r= α 1 X 1 + α 2 X 2 +...+α K X K

volal lineárna kombinácia vektory X k .

Ak existujú také nenulové čísla α k ≠ 0, k = 1,..., K, Čo r = 0 , potom takáto množina vektorov X k volal lineárne závislé. V opačnom prípade sa vektory nazývajú lineárne nezávislé. Napríklad vektory X 1 = (2, 2) ta X 2 = (−1, −1) t sú lineárne závislé, keďže X 1 +2X 2 = 0

1.13. Hodnosť matice

Zvážte súbor K vektory X 1 , X 2 ,...,X K rozmery N. Hodnosť tohto systému vektorov je maximálny počet lineárne nezávislých vektorov. Napríklad v súprave

existujú napríklad len dva lineárne nezávislé vektory X 1 a X 2, takže jeho poradie je 2.

Je zrejmé, že ak je v množine viac vektorov, ako je ich rozmer ( K>N), potom sú nevyhnutne lineárne závislé.

Hodnosť matice(označené hodnosťou ( A)) je poradie systému vektorov, z ktorých pozostáva. Hoci akákoľvek matica môže byť reprezentovaná dvoma spôsobmi (stĺpcovými vektormi alebo riadkovými vektormi), nemá to vplyv na hodnotu poradia, pretože

1.14. inverzná matica

štvorcovú maticu A sa nazýva nedegenerovaný, ak má jedinečný obrátene matice A-1 , určené podmienkami

AA −1 = A −1 A = ja.

Inverzná matica neexistuje pre všetky matice. Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou pre nedegeneráciu je

det( A) ≠ 0 alebo poradie ( A) = N.

Inverzia matice je zložitý postup, na ktorý existujú špeciálne programy. Napríklad,

Ryža. 17 Inverzia matice

Uvádzame vzorce pre najjednoduchší prípad - matice 2 × 2

Ak matriky A A B sú teda nedegenerované

(AB) −1 = B −1 A −1 .

1.15. Pseudoinverzná matica

Ak matica A je degenerovaný a inverzná matica neexistuje, potom v niektorých prípadoch možno použiť pseudoinverzný matice, ktorá je ako taká matica definovaná A+ to

AA + A = A.

Pseudoinverzná matica nie je jediná a jej forma závisí od spôsobu konštrukcie. Napríklad pre obdĺžnikovú maticu môžete použiť metódu Moore-Penrose.

Ak je počet stĺpcov menší ako počet riadkov, potom

A + =(A t A) −1 A t

Napríklad,

Ryža. 17a Pseudomaticová inverzia

Ak je počet stĺpcov väčší ako počet riadkov, potom

A + =A t ( AA t) −1

1.16. Násobenie vektora maticou

Vektor X možno vynásobiť maticou A vhodný rozmer. V tomto prípade sa stĺpcový vektor vynásobí vpravo Ax a vektorový reťazec je vľavo X t A. Ak je rozmer vektora J a rozmer matice ja× J výsledkom je potom vektor dimenzie ja. Napríklad,

Ryža. 18 Vektorovo-maticové násobenie

Ak matica A- námestie ( ja× ja), potom vektor r = Ax má rovnaké rozmery ako X. To je zrejmé

A(α 1 X 1 + α 2 X 2) = a 1 Ax 1 + α 2 Ax 2 .

Matice preto možno považovať za lineárne transformácie vektorov. Najmä X = X, Vôl = 0 .

2. Ďalšie informácie

2.1. Sústavy lineárnych rovníc

Nechaj A- veľkosť matrice ja× J, A b- rozmerový vektor J. Zvážte rovnicu

Ax = b

vzhľadom na vektor X, rozmery ja. V podstate ide o systém ja lineárne rovnice s J neznámy X 1 ,...,X J. Riešenie existuje vtedy a len vtedy

hodnosť ( A) = poradie ( B) = R,

Kde B je rozšírená matica dimenzií ja×( J+1) pozostávajúce z matrice A, čalúnený stĺpom b, B = (A b). V opačnom prípade sú rovnice nekonzistentné.

Ak R = ja = J, potom je riešenie jedinečné

X = A −1 b.

Ak R < ja, potom existuje veľa rôznych riešení, ktoré možno vyjadriť pomocou lineárnej kombinácie J−R vektory. Systém homogénnych rovníc Ax = 0 so štvorcovou maticou A (N× N) má netriviálne riešenie ( X ≠ 0 ) vtedy a len vtedy, ak det( A) = 0. Ak R= poradie( A)<N, potom existujú N−R lineárne nezávislé riešenia.

2.2. Bilineárne a kvadratické formy

Ak A je štvorcová matica a X A r- vektory zodpovedajúcej dimenzie, potom skalárny súčin tvaru X t Áno volal bilineárne tvar definovaný maticou A. O X = r výraz X t Ax volal kvadratický formulár.

2.3. Pozitívne definitívne matice

štvorcovú maticu A volal kladné definitívne, ak pre akýkoľvek nenulový vektor X ≠ 0 ,

X t Ax > 0.

The negatívne (X t Ax < 0), nezáporné (X t Ax≥ 0) a nepozitívne (X t Ax≤ 0) určité matice.

2.4. Choleský rozklad

Ak je symetrická matica A je pozitívne definitívna, potom existuje jedinečná trojuholníková matica U s pozitívnymi prvkami, pre ktoré

A = U t U.

Napríklad,

Ryža. 19 Choleský rozklad

2.5. polárny rozklad

Nechaj A je nedegenerovaná štvorcová matica rozmerov N× N. Potom je tu unikát polárny výkon

A = SR,

Kde S je nezáporná symetrická matica a R je ortogonálna matica. matice S A R možno definovať explicitne:

S 2 = AA t alebo S = (AA t) ½ a R = S −1 A = (AA t) -½ A.

Napríklad,

Ryža. 20 Polárny rozklad

Ak matica A je degenerovaný, potom rozklad nie je jedinečný - konkrétne: S stále sám, ale R môže byť veľa. Polárny rozklad predstavuje maticu A ako kombinácia kompresie/natiahnutia S a sústruženie R.

2.6. Vlastné vektory a vlastné hodnoty

Nechaj A je štvorcová matica. Vektor v volal vlastný vektor matice A, Ak

Av = λ v,

kde sa volá číslo λ vlastná hodnota matice A. Teda transformácia, ktorú matica vykonáva A nad vektorom v, sa redukuje na jednoduché natiahnutie alebo stlačenie s faktorom λ. Vlastný vektor je určený až do násobenia konštantou α ≠ 0, t.j. Ak v je vlastný vektor, potom α v je tiež vlastný vektor.

2.7. Vlastné hodnoty

Na matrice A, rozmer ( N× N) nemôže byť väčšia ako N vlastné hodnoty. Uspokojujú charakteristická rovnica

det( A − λ ja) = 0,

čo je algebraická rovnica N- poradie. Najmä pre maticu 2×2 má charakteristická rovnica tvar

Napríklad,

Ryža. 21 Vlastné hodnoty

Množina vlastných hodnôt λ 1 ,..., λ N matice A volal spektrum A.

Spektrum má rôzne vlastnosti. Najmä

det( A) = λ 1×...×λ N, Sp( A) = λi +...+λ N.

Vlastné hodnoty ľubovoľnej matice môžu byť komplexné čísla, ale ak je matica symetrická ( A t = A), potom sú jeho vlastné hodnoty skutočné.

2.8. Vlastné vektory

Na matrice A, rozmer ( N× N) nemôže byť väčšia ako N vlastné vektory, z ktorých každý zodpovedá svojej vlastnej hodnote. Na určenie vlastného vektora v n musíte vyriešiť systém homogénnych rovníc

(A − λ n ja)v n = 0 .

Má to netriviálne riešenie, pretože det( A-λ n ja) = 0.

Napríklad,

Ryža. 22 Vlastné vektory

Vlastné vektory symetrickej matice sú ortogonálne.

SYSTÉM HOMOGÉNNYCH LINEÁRNYCH ROVNIC

Systém homogénnych lineárnych rovníc je systém tvaru

Je jasné, že v tomto prípade , pretože všetky prvky jedného zo stĺpcov v týchto determinantoch sa rovnajú nule.

Keďže neznáme sa nachádzajú podľa vzorcov , potom v prípade, keď Δ ≠ 0, systém má jedinečné nulové riešenie X = r = z= 0. V mnohých problémoch je však zaujímavá otázka, či homogénny systém má iné riešenia ako nula.

Veta. Aby systém lineárnych homogénnych rovníc mal nenulové riešenie, je potrebné a postačujúce, aby Δ ≠ 0.

Ak je teda determinant Δ ≠ 0, potom má systém jedinečné riešenie. Ak Δ ≠ 0, potom systém lineárnych homogénnych rovníc má nekonečný počet riešení.

Príklady.

Vlastné vektory a vlastné hodnoty matice

Nech je daná štvorcová matica , X je nejaký maticový stĺpec, ktorého výška sa zhoduje s poradím matice A. .

V mnohých problémoch je potrebné zvážiť rovnicu pre X

kde λ je nejaké číslo. Je jasné, že pre každé λ má táto rovnica nulové riešenie.

Číslo λ, pre ktoré má táto rovnica nenulové riešenia, sa nazýva vlastná hodnota matice A, A X lebo také λ sa nazýva vlastný vektor matice A.

Poďme nájsť vlastný vektor matice A. Pretože E∙X=X, potom je možné maticovú rovnicu prepísať ako alebo . V rozšírenej forme môže byť táto rovnica prepísaná ako systém lineárnych rovníc. Naozaj .

A preto

Získali sme teda systém homogénnych lineárnych rovníc na určenie súradníc x 1, x2, x 3 vektor X. Aby mala sústava nenulové riešenia, je potrebné a postačujúce, aby determinant sústavy bol rovný nule, t.j.

Toto je rovnica 3. stupňa vzhľadom na λ. Volá sa charakteristická rovnica matice A a slúži na určenie vlastných hodnôt λ.

Každá vlastná hodnota λ zodpovedá vlastnému vektoru X, ktorého súradnice sú určené zo systému pri zodpovedajúcej hodnote λ.

Príklady.

VEKTOROVÁ ALGEBRA. VEKTOROVÁ KONCEPCIA

Pri štúdiu rôznych odvetví fyziky existujú veličiny, ktoré sú úplne určené nastavením ich číselných hodnôt, napríklad dĺžka, plocha, hmotnosť, teplota atď. Takéto hodnoty sa nazývajú skalárne. Okrem nich však existujú aj veličiny, na určenie ktorých je okrem číselnej hodnoty potrebné poznať aj ich smer v priestore, napríklad sila pôsobiaca na teleso, rýchlosť a zrýchlenie. telesa, keď sa pohybuje v priestore, sila magnetického poľa v danom bode priestoru a pod. Takéto veličiny sa nazývajú vektorové veličiny.

Uveďme presnú definíciu.

Smerový segment Nazvime segment, vzhľadom na ktorého konce je známe, ktorý z nich je prvý a ktorý je druhý.

Vektor volá sa smerovaný segment, ktorý má určitú dĺžku, t.j. Toto je segment určitej dĺžky, v ktorom sa jeden z bodov, ktoré ho obmedzujú, považuje za začiatok a druhý za koniec. Ak A je začiatok vektora, B je jeho koniec, potom sa vektor označuje symbolom, okrem toho sa vektor často označuje jedným písmenom . Na obrázku je vektor označený segmentom a jeho smer šípkou.

modul alebo dlhý vektor sa nazýva dĺžka smerovaného segmentu, ktorý ho definuje. Označené || alebo ||.

Takzvaný nulový vektor, ktorého začiatok a koniec sa zhodujú, budeme tiež označovať ako vektory. Je označený. Nulový vektor nemá určený smer a jeho modul sa rovná nule ||=0.

Vektory a sú tzv kolineárne ak sú umiestnené na rovnakej čiare alebo na rovnobežných čiarach. V tomto prípade, ak sú vektory a smerované rovnako, napíšeme opačne.

Nazývajú sa vektory umiestnené na priamkach rovnobežných s tou istou rovinou koplanárny.

Volajú sa dva vektory a rovný ak sú kolineárne, majú rovnaký smer a sú rovnako dlhé. V tomto prípade napíšte.

Z definície rovnosti vektorov vyplýva, že vektor sa môže pohybovať rovnobežne so sebou samým umiestnením jeho počiatku do ľubovoľného bodu v priestore.

Napríklad.

LINEÁRNE OPERÁCIE NA VEKTOROCH

1. Násobenie vektora číslom.

   Súčin vektora číslom λ je nový vektor taký, že:

   Súčin vektora a čísla λ označujeme .

   

   Napríklad, je vektor smerujúci rovnakým smerom ako vektor a má polovičnú dĺžku ako vektor .

   Zadaná operácia má nasledovné vlastnosti:

2. Sčítanie vektorov.

   Dovoliť a byť dva ľubovoľné vektory. Vezmite ľubovoľný bod O a zostrojte vektor. Potom od veci A odložte vektor. Volá sa vektor spájajúci začiatok prvého vektora s koncom druhého súčet týchto vektorov a je označený .

   

   Formulovaná definícia sčítania vektorov sa nazýva paralelogramové pravidlo, keďže rovnaký súčet vektorov možno získať nasledovne. Odložte od pointy O vektory a . Na týchto vektoroch zostrojte rovnobežník OABC. Keďže vektory , potom vektor , čo je uhlopriečka rovnobežníka nakreslená z vrcholu O, bude samozrejme súčtom vektorov .

   

   Je ľahké skontrolovať nasledujúce vlastnosti sčítania vektorov.

3. Rozdiel vektorov.

   Zavolá sa vektor kolineárny k danému vektoru , rovnakej dĺžky a opačne orientovaný opak vektor pre vektor a označuje sa ako . Opačný vektor možno považovať za výsledok násobenia vektora číslom λ = –1: .

Facebook

Twitter

V kontakte s

Spolužiaci

Google+