Projekcijske točke čija se koincidencija nazivaju. Lekcija crtanja "konstruiranje projekcija točaka na površini objekta"
Ciljevi:
- Proučavanje pravila za konstruiranje projekcija točaka na površini predmeta i čitanje crteža.
- Razvijati prostorno razmišljanje, sposobnost analize geometrijskog oblika predmeta.
- Razvijati marljivost, sposobnost suradnje u grupnom radu i interes za predmet.
TIJEKOM NASTAVE
FAZA I. MOTIVACIJA AKTIVNOSTI UČENJA.
ETAPA II. FORMIRANJE ZNANJA, SPOSOBNOSTI I VJEŠTINA.
ZDRAVSTVENA PAUZA. REFLEKSIJA (RASPOLOŽENJE)
STADIJ III. INDIVIDUALNI RAD.
FAZA I. MOTIVACIJA AKTIVNOSTI UČENJA
1) Učitelj, nastavnik, profesor: Provjerite svoje radno mjesto, je li sve na mjestu? Jesu li svi spremni za polazak?
DUBOKO UDAHNI, ZADRŽI DAH DOK IZDIŠEŠ, IZDAHNI.
Odredite svoje raspoloženje na početku lekcije prema dijagramu (ovaj dijagram je na svačijem stolu)
ŽELIM VAM SREĆU.
2)Nastavnik: Praktičan rad na temu “ Projekcije vrhova, bridova, ploha” pokazalo je da postoje momci koji griješe pri projiciranju. Zbunjeni su koja je od dviju poklapajućih točaka na crtežu vidljivi vrh, a koji je nevidljiv; kada je brid paralelan s ravninom, a kada je okomit. Isto je i s rubovima.
Kako biste spriječili ponavljanje pogrešaka, izvršite potrebne zadatke korištenjem savjetodavne kartice i ispravite pogreške u praktičnom radu (ručno). I dok radite, zapamtite:
“SVATKO MOŽE POGRIJEŠITI, SAMO LUDA OSTAJE PRI SVOJOJ GREŠCI.”
A oni koji su dobro savladali temu, radit će u grupama s kreativnim zadacima (vidi. Prilog 1 ).
ETAPA II. FORMIRANJE ZNANJA, SPOSOBNOSTI I VJEŠTINA
1)Učitelj, nastavnik, profesor: U proizvodnji postoji mnogo dijelova koji su međusobno pričvršćeni na određeni način.
Na primjer:
Poklopac radne površine pričvršćen je na okomite stupove. Obratite pažnju na stol za kojim se nalazite, kako i čime su poklopac i police međusobno pričvršćeni?
Odgovor: Vijak.
Učitelj, nastavnik, profesor:Što je potrebno za vijak?
Odgovor: Rupa.
Učitelj, nastavnik, profesor: Stvarno. A da biste napravili rupu, morate znati njezino mjesto na proizvodu. Prilikom izrade stola stolar ne može svaki put kontaktirati kupca. Dakle, što trebate osigurati stolaru?
Odgovor: Crtež.
Učitelj, nastavnik, profesor: Crtanje!? Što nazivamo crtežom?
Odgovor: Crtež je slika predmeta pomoću pravokutnih projekcija u odnosu projekcije. Pomoću crteža možete zamisliti geometrijski oblik i dizajn proizvoda.
Učitelj, nastavnik, profesor: Završili smo pravokutne projekcije, što dalje? Hoćemo li iz jedne projekcije moći odrediti mjesto rupa? Što još trebamo znati? Što naučiti?
Odgovor: Konstruirajte točke. Pronađite projekcije tih točaka u svim prikazima.
Učitelj, nastavnik, profesor: Dobro napravljeno! Ovo je cilj naše lekcije i teme: Konstrukcija projekcija točaka na površini predmeta. Zapišite temu lekcije u svoju bilježnicu.
Ti i ja znamo da je svaka točka ili segment na slici objekta projekcija vrha, ruba, lica, tj. svaki pogled je slika ne s jedne strane (pogled glave, pogled odozgo, pogled lijevo), već cijeli objekt.
Da biste ispravno pronašli projekcije pojedinih točaka koje leže na licima, prvo morate pronaći projekcije tog lica, a zatim pomoću spojnih linija pronaći projekcije točaka.
(Gledamo crtež na ploči, radimo u bilježnici, gdje se kod kuće rade 3 projekcije istog dijela).
– Otvorio bilježnicu s dovršenim crtežom (Objašnjenje konstrukcije točaka na plohi predmeta uz usmjeravajuća pitanja na ploči, a učenici to popravljaju u svojim bilježnicama.)
Učitelj, nastavnik, profesor: Razmotrite poantu U. S kojom ravninom je paralelna ploha te točke?
Odgovor: Rub je paralelan s frontalnom ravninom.
Učitelj, nastavnik, profesor: Definiramo projekciju točke b' na frontalnoj projekciji. Prijeđite prstom prema dolje od točke b' vertikalna komunikacijska linija prema horizontalnoj projekciji. Gdje će se nalaziti horizontalna projekcija točke? U?
Odgovor: Na raskrižju s horizontalnom projekcijom lica koja je bila projicirana u rub. I nalazi se na dnu projekcije (pogled).
Učitelj, nastavnik, profesor: Profilna projekcija točke b'' , gdje će se nalaziti? Kako ćemo je pronaći?
Odgovor: Na raskrižju horizontalne komunikacijske linije od b' s okomitim rubom na desnoj strani. Ovaj rub je projekcija lica s točkom U.
NA PLOČU SE POZIVAJU ONI KOJI ŽELE KONSTRUIRATI SLJEDEĆU PROJEKCIJU TOČKE.
Učitelj, nastavnik, profesor: Točkaste projekcije A također se nalaze pomoću komunikacijskih linija. S kojom je ravninom paralelna ploha s točkom? A?
Odgovor: Rub je paralelan s profilnom ravninom. Na projekciji profila definiramo točku A'' .
Učitelj, nastavnik, profesor: U kojoj je projekciji lice projicirano u rub?
Odgovor: Na prednjoj strani i vodoravno. Nacrtajmo vodoravnu vezu dok se ne presječe s okomitim rubom lijevo na frontalnoj projekciji, dobivamo točku A' .
Učitelj, nastavnik, profesor: Kako pronaći projekciju točke A na horizontalnoj projekciji? Uostalom, komunikacijske linije iz projekcije točaka A' I A'' ne sijeku projekciju lica (brid) na horizontalnoj projekciji s lijeve strane. Što nam može pomoći?
Odgovor: Možete koristiti konstantnu ravnu liniju (ona određuje mjesto pogleda s lijeve strane) od A'' nacrtati okomitu komunikacijsku liniju dok se ne presijeca s konstantnom ravnom linijom. Vodoravna linija povezivanja povlači se od točke sjecišta do sjecišta s okomitim rubom na lijevoj strani. (Ovo je lice s točkom A) i označava projekciju s točkom A .
2) Učitelj, nastavnik, profesor: Svatko ima karticu sa zadacima na stolu s priloženim paus papirom. Pregledajte crtež, pokušajte sada sami, bez ponovnog crtanja projekcija, pronaći zadane projekcije točaka na crtežu.
– Pronađi sliku u udžbeniku, strana 76. 93. Testirajte se. Oni koji su to učinili točno - ocjenjuju "5", jedna pogreška - "4"; dvije - "3".
(Ocjene daju sami učenici na listiću za samokontrolu).
– Prikupite kartice za provjeru.
3)Rad u skupinama: Vremenski ograničeno: 4 min. + 2 min. provjere. (Spajaju se dva stola s učenicima, a unutar grupe bira se voditelj).
Svaka skupina dobiva zadatke u 3 razine. Učenici biraju zadatke po razinama (po želji). Rješavanje problema koji uključuju konstruiranje točaka. Razgovarajte o formaciji pod nadzorom voditelja. Zatim se točan odgovor prikazuje na ploči pomoću grafoskopa. Svi provjeravaju je li projekcija točaka ispravno izvedena. Uz pomoć voditelja skupine ocjenjuju se zadaće i listići za samokontrolu (vidi. Dodatak 2 I Dodatak 3 ).
ZDRAVSTVENA PAUZA. ODRAZ
“Poza faraona”– sjednite na rub stolca, ispravite leđa, ruke savijte u laktovima, prekrižite noge i postavite ih na prste. Udahnite, zategnite sve mišiće tijela dok zadržavate dah, izdahnite. Učinite to 2-3 puta. Čvrsto zatvorite oči, dok ne dosegnu zvijezde, i otvorite ih. Označite svoje raspoloženje.
STADIJ III. PRAKTIČNI DIO. (Individualni zadaci)
Dostupne su kartice zadataka na različitim razinama. Učenici biraju svoju opciju prema svojim sposobnostima. Pronađite projekcije točaka na površini predmeta. Radovi se predaju i ocjenjuju za sljedeći sat. (Cm. Dodatak 4 , Dodatak 5 , Dodatak 6 ).
IV STADIJ. KONAČNO
1) Domaća zadaća. (Uputa). Izvodi se po razinama:
B – razumijevanje, na “3”. Vježba 1 Sl. 94a str.77 – prema zadatku u udžbeniku: dopuniti nedostajuće projekcije točaka na tim projekcijama.
B – prijava, na “4”. Vježba 1 sl. 94 a, b. dovršite projekcije koje nedostaju i označite vrhove na vizualnoj slici u 94a i 94b.
A – analiza, “5”. (Povećane poteškoće.) npr. 4 Sl.97 – konstruirajte projekcije točaka koje nedostaju i označite ih slovima. Nema vizualne slike.
2)Refleksivna analiza.
- Odredite raspoloženje na kraju lekcije, označite ga bilo kojim znakom na listu samokontrole.
- Što ste novo danas naučili na satu?
- Koji oblik rada vam je najučinkovitiji: grupni, individualni i želite li da se ponovi na sljedećem satu?
- Sakupite listove samokontrole.
3)“Pogrešni učitelj”
Učitelj, nastavnik, profesor: Naučili ste konstruirati projekcije vrhova, bridova, ploha i točaka na plohu predmeta, poštujući sva pravila konstruiranja. Ali dali su vam crtež koji sadrži pogreške. Sada se okušajte kao učitelj. Pronađite pogreške sami, ako pronađete svih 8–6 pogrešaka, tada je rezultat "5"; 5-4 pogreške - "4", 3 pogreške - "3".
odgovori:
Projekcijski aparati
Projekcijski uređaj (slika 1) uključuje tri projekcijske ravnine:
π 1 – horizontalna projekcijska ravnina;
π 2 – frontalna ravnina projekcija;
π 3– ravnina projekcije profila .
Ravnine projekcije su međusobno okomite ( π 1^ π 2^ π 3), a njihove sjecišne linije čine osi:
Presjek ravnina π 1 I π 2čine os 0X (π 1∩ π 2 = 0X);
Presjek ravnina π 1 I π 3čine os 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);
Presjek ravnina π 2 I π 3čine os 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).
Sjecište osi (OX∩OY∩OZ=0) smatra se početnom točkom (točka 0).
Budući da su ravnine i osi međusobno okomite, takav je aparat sličan Kartezijevom koordinatnom sustavu.
Projekcijske ravnine dijele cijeli prostor na osam oktanata (na sl. 1 označeni su rimskim brojevima). Ravnine projekcije smatraju se neprozirnima, a gledatelj je uvijek unutra ja-ti oktant.
Ortogonalna projekcija sa središtima projekcije S 1, S 2 I S 3 odnosno za horizontalnu, frontalnu i profilnu projekcijsku ravninu.
A.
Iz projekcijskih centara S 1, S 2 I S 3 izlaze projicirane zrake l 1, l 2 I l 3 A
- A 1 A;
- A 2– frontalna projekcija točke A;
- A 3– profilna projekcija točke A.
Točku u prostoru karakteriziraju njezine koordinate A(x,y,z). Bodovi A x, A y I A z odnosno na osi 0X, 0Y I 0Z pokazati koordinate x, y I z bodova A. Na sl. 1 daje sve potrebne oznake i prikazuje veze između točke A prostor, njegove projekcije i koordinate.
Dijagram točaka
Da biste dobili zaplet točke A(slika 2), u aparatu za projekciju (slika 1) ravnina π 1 A 1 0X π 2. Zatim avion π 3 s točkastom projekcijom A 3, rotirati u smjeru suprotnom od kazaljke na satu oko osi 0Z, dok se ne poravna s ravninom π 2. Smjer rotacije ravnine π 2 I π 3 prikazano na sl. 1 strelice. U isto vrijeme ravno A 1 A x I A 2 A x 0X okomito A 1 A 2, i ravne linije A 2 A x I A 3 A x nalazit će se na zajedničkoj osi 0Z okomito A 2 A 3. U nastavku ćemo te retke zvati redom vertikalna I horizontalna komunikacijske linije.
Treba napomenuti da pri prelasku s aparata za projekciju na dijagram projicirani objekt nestaje, ali ostaju sačuvani svi podaci o njegovom obliku, geometrijskim dimenzijama i položaju u prostoru.
A(x A, y A, z Ax A, y A I zA u sljedećem nizu (slika 2). Ovaj niz se naziva metoda konstruiranja točkastog dijagrama.
1. Osi se crtaju ortogonalno OX, OY I OZ.
2. Na osi VOL xA bodova A i dobiti položaj točke A x.
3. Kroz točku A x okomito na os VOL
A x duž osi OY ucrtava se brojčana vrijednost koordinate y A bodova A A 1 na dijagramu.
A x duž osi OZ ucrtava se brojčana vrijednost koordinate zA bodova A A 2 na dijagramu.
6. Kroz točku A 2 paralelno s osi VOL nacrtana je horizontalna komunikacijska linija. Sjecište ove linije i osi OZ dat će položaj točke A z.
7. Na horizontalnoj komunikacijskoj liniji od točke A z duž osi OY ucrtava se brojčana vrijednost koordinate y A bodova A te se odredi položaj profilne projekcije točke A 3 na dijagramu.
Karakteristike točaka
Sve točke u prostoru dijele se na točke posebnog i općeg položaja.
Točke posebnog položaja. Točke koje pripadaju projekcijskom aparatu nazivaju se točkama posebnog položaja. To uključuje točke koje pripadaju projekcijskim ravninama, osima, ishodištima i projekcijskim središtima. Karakteristične značajke pojedinih položajnih točaka su:
Metamatematički – jedna, dvije ili sve numeričke vrijednosti koordinata jednake su nuli i (ili) beskonačnosti;
Na dijagramu su dvije ili sve projekcije točke smještene na osi i (ili) u beskonačnosti.
Točke općeg položaja. U točke općeg položaja spadaju točke koje ne pripadaju projekcijskom aparatu. Na primjer, točka A na sl. 1. i 2.
U općem slučaju, numeričke vrijednosti koordinata točke karakteriziraju njezinu udaljenost od ravnine projekcije: koordinata x iz aviona π 3; Koordinirati g iz aviona π 2; Koordinirati z iz aviona π 1. Treba napomenuti da znakovi za numeričke vrijednosti koordinata označavaju smjer u kojem se točka udaljava od ravnina projekcije. Ovisno o kombinaciji predznaka za brojčane vrijednosti koordinata točke, ovisi u kojem se oktanu nalazi.
Metoda dvije slike
U praksi se uz metodu pune projekcije koristi i dvoslikovna metoda. Razlikuje se po tome što ova metoda eliminira treću projekciju objekta. Da bi se dobio aparat za projekciju metode dvije slike, ravnina projekcije profila sa svojim središtem projekcije isključena je iz aparata za puno projekciju (slika 3). Štoviše, na os 0X dodijeljena je referentna točka (točka 0 ) i iz nje okomito na os 0X u ravninama projekcija π 1 I π 2 nacrtati sjekire 0Y I 0Z odnosno.
U ovom uređaju, cijeli prostor je podijeljen u četiri kvadranta. Na sl. 3 označeni su rimskim brojevima.
Ravnine projekcije smatraju se neprozirnima, a gledatelj je uvijek unutra ja-ti kvadrant.
Razmotrimo rad uređaja na primjeru projiciranja točke A.
Iz projekcijskih centara S 1 I S 2 izlaze projicirane zrake l 1 I l 2. Ove zrake prolaze kroz točku A i sijekući se s ravninama projekcija čine njegove projekcije:
- A 1– horizontalna projekcija točke A;
- A 2– frontalna projekcija točke A.
Da biste dobili zaplet točke A(slika 4), u aparatu za projekciju (slika 3) ravnina π 1 s rezultirajućom projekcijom točke A 1 rotirati u smjeru kazaljke na satu oko osi 0X, dok se ne poravna s ravninom π 2. Smjer rotacije ravnine π 1 prikazano na sl. 3 strijele. U ovom slučaju na dijagramu točke dobivene metodom dviju slika ostaje samo jedna vertikalna komunikacijska linija A 1 A 2.
U praksi, ucrtavanje točke A(x A, y A, z A) provodi se prema numeričkim vrijednostima njegovih koordinata x A, y A I zA u sljedećem nizu (slika 4).
1. Nacrtana je os VOL i dodijeljena je referentna točka (točka 0 ).
2. Na osi VOL ucrtava se brojčana vrijednost koordinate xA bodova A i dobiti položaj točke A x.
3. Kroz točku A x okomito na os VOL povučena je vertikalna komunikacijska linija.
4. Na vertikalnoj komunikacijskoj liniji od točke A x duž osi OY ucrtava se brojčana vrijednost koordinate y A bodova A te se odredi položaj horizontalne projekcije točke A 1 OY nije nacrtan, ali se pretpostavlja da se njegove pozitivne vrijednosti nalaze ispod osi VOL, a negativni su veći.
5. Na vertikalnoj komunikacijskoj liniji od točke A x duž osi OZ ucrtava se brojčana vrijednost koordinate zA bodova A te se odredi položaj čeone projekcije točke A 2 na dijagramu. Treba napomenuti da je u dijagramu os OZ nije nacrtan, ali se pretpostavlja da se njegove pozitivne vrijednosti nalaze iznad osi VOL, a negativni su manji.
Natjecateljski bodovi
Točke na istoj projekcijskoj gredi nazivaju se konkurentske točke. U smjeru projicirajuće grede imaju zajedničku projekciju, t.j. njihove projekcije su identične. Karakteristična značajka konkurentskih točaka na dijagramu je identična podudarnost njihovih istoimenih projekcija. Konkurencija leži u vidljivosti ovih projekcija u odnosu na promatrača. Drugim riječima, u prostoru za promatrača jedna od točaka je vidljiva, druga nije. I, sukladno tome, na crtežu: jedna od projekcija konkurentskih točaka je vidljiva, a projekcija druge točke je nevidljiva.
Na modelu prostorne projekcije (sl. 5) iz dvije konkurentne točke A I U vidljiva točka A prema dvije karakteristike koje se međusobno nadopunjuju. Sudeći po lancu S 1 →A→B točka A bliže promatraču od točke U. I, prema tome, dalje od ravnine projekcije π 1(oni. zA > zA).
Riža. 5 sl.6
Ako je sama točka vidljiva A, tada je vidljiva i njegova projekcija A 1. U odnosu na projekciju koja se s njim podudara B 1. Radi jasnoće i, ako je potrebno, na dijagramu, nevidljive projekcije točaka obično se stavljaju u zagrade.
Uklonimo točke na modelu A I U. Njihove podudarne projekcije na ravnini će ostati π 1 a zasebne projekcije – na π 2. Ostavimo uvjetno frontalnu projekciju promatrača (⇩) koja se nalazi u središtu projekcije S 1. Zatim, duž lanca slika ⇩ → A 2 → B 2 to će se moći prosuditi zA > z B a da je sama točka vidljiva A i njegovu projekciju A 1.
Razmotrimo na sličan način konkurentske bodove S I D u izgledu u odnosu na ravninu π 2. Budući da zajednička projicirajuća greda ovih točaka l 2 paralelno s osi 0Y, zatim znak vidljivosti natjecateljskih točaka S I D određena nejednakošću y C > y D. Stoga ta točka D zatvorena točkom S a sukladno tome i projekcija točke D 2 bit će pokriven projekcijom točke C 2 na površini π 2.
Razmotrimo kako se određuje vidljivost konkurentskih točaka u složenom crtežu (slika 6).
Sudeći po podudarnim projekcijama A 1≡U 1 same točke A I U nalaze se na jednoj izbočenoj gredi paralelnoj s osi 0Z. To znači da se koordinate mogu uspoređivati zA I z B ove točke. Da bismo to učinili, koristimo ravninu frontalne projekcije s odvojenim slikama točaka. U ovom slučaju zA > z B. Iz ovoga slijedi da je projekcija vidljiva A 1.
Bodovi C I D u složenom crtežu koji se razmatra (slika 6) također su na istoj izbočenoj gredi, ali samo paralelno s osi 0Y. Stoga, iz usporedbe y C > y D zaključujemo da je projekcija C 2 vidljiva.
Opće pravilo. Vidljivost za podudaranje projekcija konkurentskih točaka određuje se usporedbom koordinata tih točaka u smjeru zajedničke projekcijske zrake. Vidljiva je projekcija točke čija je koordinata veća. U ovom slučaju, koordinate se uspoređuju na ravnini projekcije s odvojenim slikama točaka.
Položaj točke u prostoru može se odrediti njezinim dvjema ortogonalnim projekcijama, npr. horizontalnom i frontalnom, frontalnom i profilnom. Kombinacija bilo koje dvije ortogonalne projekcije omogućuje vam da saznate vrijednost svih koordinata točke, konstruirate treću projekciju i odredite oktant u kojem se nalazi. Pogledajmo nekoliko tipičnih problema iz tečaja nacrtne geometrije.
Za zadani složeni crtež točaka A i B potrebno je:
Odredimo najprije koordinate točke A koje se mogu napisati u obliku A (x, y, z). Horizontalna projekcija točke A - točka A", koja ima koordinate x, y. Povucimo okomice iz točke A" na osi x, y i pronađimo redom A x, A y. Koordinata x za točku A jednaka je duljini segmenta A x O sa znakom plus, budući da A x leži u području pozitivnih vrijednosti osi x. Uzimajući u obzir mjerilo crteža, nalazimo x = 10. Y koordinata je jednaka duljini segmenta A y O s znakom minus, budući da t. A y leži u području negativnih vrijednosti y os. Uzimajući u obzir mjerilo crteža, y = –30. Frontalna projekcija točke A - točka A"" ima koordinate x i z. Spustimo okomicu s A"" na os z i pronađimo A z. Koordinata z točke A jednaka je duljini segmenta A z O s znakom minus, jer A z leži u području negativnih vrijednosti osi z. Uzimajući u obzir mjerilo crteža z = –10. Dakle, koordinate točke A su (10, –30, –10).
Koordinate točke B mogu se napisati kao B (x, y, z). Promotrimo horizontalnu projekciju točke B - točka B". Budući da leži na osi x, tada je B x = B" i koordinata B y = 0. Apscisa x točke B jednaka je duljini segmenta B x O sa znakom plus. Uzimajući u obzir mjerilo crteža x = 30. Frontalna projekcija točke B je t.B˝ ima koordinate x, z. Povucimo okomicu iz B"" na os z, pronalazeći B z. Primjena z točke B jednaka je duljini segmenta B z O s predznakom minus, jer B z leži u području negativnih vrijednosti osi z. Uzimajući u obzir mjerilo crteža, određujemo vrijednost z = –20. Dakle, koordinate B su (30, 0, -20). Sve potrebne konstrukcije prikazane su na slici ispod.
Konstrukcija projekcija točaka
Točke A i B u ravnini P 3 imaju sljedeće koordinate: A""" (y, z); B""" (y, z). U ovom slučaju, A"" i A""" leže na istoj okomici na os z, jer imaju zajedničku z koordinatu. Slično, B"" i B""" leže na zajedničkoj okomici na z os. Da bismo pronašli projekciju profila točke A, duž y-osi nacrtamo vrijednost odgovarajuće koordinate koju smo ranije pronašli. Na slici je to učinjeno pomoću kružnog luka radijusa A y O. Nakon toga povucite okomicu iz A y dok se ne siječe s okomicom vraćenom iz točke A"" na os z. Sjecište ovih dviju okomica određuje položaj A""".
Točka B""" leži na osi z, jer je y ordinata ove točke nula. Da biste pronašli projekciju profila točke B u ovom problemu, trebate samo povući okomicu iz B"" na os z. sjecište ove okomice s osi z je B """.
Određivanje položaja točaka u prostoru
Vizualno zamišljajući prostorni raspored, sastavljen od ravnina projekcija P 1, P 2 i P 3, položaja oktanata, kao i redoslijeda transformacije rasporeda u dijagrame, možete izravno utvrditi da se točka A nalazi u III oktantu. , a točka B leži u ravnini P 2.
Druga opcija za rješavanje ovog problema je metoda izuzetaka. Na primjer, koordinate točke A su (10, -30, -10). Pozitivna apscisa x omogućuje nam da prosudimo da se točka nalazi u prva četiri oktanta. Negativna y-ordinata označava da je točka u drugom ili trećem oktantu. Konačno, negativna primjena z označava da se točka A nalazi u trećem oktantu. Sljedeća tablica jasno ilustrira gore navedeno razmišljanje.
| oktanti | Koordinatni znakovi | ||
| x | g | z | |
| 1 | + | + | + |
| 2 | + | – | + |
| 3 | + | – | – |
| 4 | + | + | – |
| 5 | – | + | + |
| 6 | – | – | + |
| 7 | – | – | – |
| 8 | – | + | – |
Koordinate točke B (30, 0, -20). Budući da je ordinata točke B nula, ta se točka nalazi u ravnini projekcije P 2. Pozitivna apscisa i negativni aplikat t.B pokazuju da se nalazi na granici trećeg i četvrtog oktanta.
Konstrukcija vizualne slike točaka u sustavu ravnina P 1, P 2, P 3
Frontalnom izometrijskom projekcijom izgradili smo prostorni raspored III oktanta. To je pravokutni triedar čije su plohe ravnine P1, P2, P3, a kut (-y0x) je 45º. U ovom sustavu, segmenti duž x, y, z osi bit će iscrtani u prirodnoj veličini bez izobličenja.
Počnimo konstruirati vizualnu sliku točke A (10, -30, -10) s njezinom horizontalnom projekcijom A. Nakon što smo ucrtali odgovarajuće koordinate duž apscise i osi ordinata, nalazimo točke A x i A y. Sjecište okomica rekonstruiran od A x i A y do x i y osi određuje položaj točke A". Odlažući od A" paralelno s osi z prema njegovim negativnim vrijednostima segment AA", čija je duljina 10, nalazimo položaj točke A.
Vizualna slika točke B (30, 0, -20) konstruirana je na sličan način - u ravnini P2 po x i z osi potrebno je ucrtati odgovarajuće koordinate. Sjecište okomica rekonstruiranih iz B x i B z odredit će položaj točke B.
Promotrimo projekcije točaka na dvije ravnine, za koje uzimamo dvije okomite ravnine (sl. 4), koje ćemo zvati horizontalne fronte i ravnine. Sjecište tih ravnina naziva se os projekcije. Jednu točku A projiciramo na razmatrane ravnine pomoću ravninske projekcije. Za to je potrebno spustiti okomice Aa i A iz zadane točke na razmatrane ravnine.
Projekcija na horizontalnu ravninu naziva se horizontalna projekcija bodova A, i projekcija A? na frontalnoj ravni zove se frontalna projekcija.
Točke koje se projiciraju obično se u nacrtnoj geometriji označavaju velikim slovima A, B, C. Mala slova koriste se za označavanje horizontalnih projekcija točaka a, b, c... Frontalne projekcije označene su malim slovima s crtom na vrhu a?, b?, c?…
Točke su također označene rimskim brojevima I, II,... a za njihove projekcije - arapskim brojevima 1, 2... i 1?, 2?...
Zakretanjem horizontalne ravnine za 90° dobiva se crtež na kojem su obje ravnine u istoj ravnini (sl. 5). Ova slika se zove dijagram točke.
Kroz okomite linije Ahh I ha? Nacrtajmo ravninu (slika 4). Dobivena ravnina je okomita na frontalnu i horizontalnu ravninu jer sadrži okomice na te ravnine. Stoga je ta ravnina okomita na presjek ravnina. Dobivena ravna crta siječe horizontalnu ravninu u ravnoj liniji ahh x, a frontalna ravnina – u ravnoj liniji a?a X. Ravno aah i a?a x su okomite na os presjeka ravnina. To je Aahaha? je pravokutnik.
Pri kombinaciji horizontalne i frontalne projekcijske ravnine A I A? ležat će na istoj okomitoj osi presjeka ravnina, budući da kada horizontalna ravnina rotira, okomitost segmenata ahh x i a?a x neće biti slomljen.
To dobivamo na dijagramu projekcije A I A? neka točka A leže uvijek na istoj okomici na os presjeka ravnina.
Dvije projekcije a i A? određene točke A može jednoznačno odrediti njezin položaj u prostoru (sl. 4). To potvrđuje i činjenica da će okomica iz projekcije a na vodoravnu ravninu konstruirati kroz točku A. Na isti način okomica iz projekcije A? na frontalnu ravninu proći će kroz točku A, tj. točka A je istovremeno na dvije određene ravne linije. Točka A je njihova sjecišna točka, odnosno određena je.
Razmotrimo pravokutnik Aaa x A?(Sl. 5), za koje vrijede sljedeće tvrdnje:
1) Udaljenost točke A od frontalne ravnine jednaka je udaljenosti njegove horizontalne projekcije a od osi presjeka ravnina, tj.
ha? = ahh X;
2) udaljenost točke A od horizontalne ravnine projekcija jednaka je udaljenosti njegove frontalne projekcije A? od osi presjeka ravnina, tj.
Ahh = a?a X.
Drugim riječima, čak i bez same točke na dijagramu, koristeći samo njezine dvije projekcije, možete saznati na kojoj se udaljenosti određena točka nalazi od svake od ravnina projekcije.
Sjecište dviju projekcijskih ravnina dijeli prostor na četiri dijela koji se tzv u četvrtinama(slika 6).
Os presjeka ravnina dijeli horizontalnu ravninu na dvije četvrtine - prednju i stražnju, a frontalnu ravninu - na gornju i donju četvrtinu. Gornji dio frontalne ravnine i prednji dio horizontalne ravnine smatraju se granicama prve četvrtine.
Pri primanju dijagrama horizontalna ravnina se okreće i poravnava s frontalnom ravninom (slika 7). U tom će se slučaju prednji dio vodoravne ravnine poklapati s donjim dijelom frontalne ravnine, a stražnji dio vodoravne ravnine poklapati će se s gornjim dijelom frontalne ravnine.
Slike 8-11 prikazuju točke A, B, C, D koje se nalaze u različitim četvrtima prostora. Točka A nalazi se u prvoj četvrtini, točka B je u drugoj, točka C je u trećoj, a točka D je u četvrtoj.
Kada se bodovi nalaze u prvoj ili četvrtoj četvrtini njih horizontalne projekcije nalaze se na prednjem dijelu horizontalne ravnine, a na dijagramu će ležati ispod osi presjeka ravnina. Kada se točka nalazi u drugoj ili trećoj četvrtini, njena horizontalna projekcija ležat će na stražnjoj strani horizontalne ravnine, a na dijagramu će se nalaziti iznad osi presjeka ravnina.
Frontalne projekcije točke koje se nalaze u prvoj ili drugoj četvrtini ležat će na gornjem dijelu frontalne ravnine, a na dijagramu će se nalaziti iznad osi presjeka ravnina. Kada se točka nalazi u trećoj ili četvrtoj četvrtini, njena frontalna projekcija je ispod osi presjeka ravnina.
Najčešće se u realnim konstrukcijama lik postavlja u prvu četvrtinu prostora.
U nekim posebnim slučajevima, točka ( E) može ležati na horizontalnoj ravnini (slika 12). U tom će se slučaju njegova horizontalna projekcija e i sama točka podudarati. Frontalna projekcija takve točke nalazit će se na osi presjeka ravnina.
U slučaju kada se točka DO leži na frontalnoj ravnini (slika 13), svojoj horizontalnoj projekciji k leži na osi presjeka ravnina, a front k? pokazuje stvarni položaj ove točke.
Za takve točke znak da leži na jednoj od ravnina projekcija je da je jedna od njezinih projekcija na osi presjeka ravnina.
Ako točka leži na presječnoj osi projekcijskih ravnina, ona i obje njezine projekcije se podudaraju.
Kada točka ne leži na ravninama projekcija tzv točka općeg položaja. U nastavku, ako nema posebnih oznaka, riječ je o točki općeg položaja.
2. Nedostatak osi projekcije
Da bismo objasnili kako dobiti projekcije točke na model okomito na ravninu projekcije (slika 4), potrebno je uzeti komad debelog papira u obliku izduženog pravokutnika. Treba ga saviti između projekcija. Preklopna linija će predstavljati os presjeka ravnina. Ako se nakon toga savijeni papir ponovno ispravi, dobit ćemo dijagram sličan ovom prikazanom na slici.
Spajanjem dviju ravnina projekcije s ravninom crtanja moguće je ne prikazati liniju pregiba, odnosno ne nacrtati os presjeka ravnina na dijagramu.
Kada crtate na dijagramu, uvijek trebate postaviti projekcije A I A? točku A na jednoj okomitoj liniji (slika 14), koja je okomita na os presjeka ravnina. Stoga, čak i ako položaj osi presjeka ravnina ostaje nesiguran, ali je njen smjer određen, os presjeka ravnina može se locirati samo na dijagramu okomito na ravnu liniju ha?.
Ako na dijagramu točke nema osi projekcije, kao na prvoj slici 14 a, možete zamisliti položaj te točke u prostoru. Da biste to učinili, nacrtajte bilo gdje okomito na ravnu liniju ha? os projekcije, kao na drugoj slici (sl. 14) i savijte crtež duž ove osi. Ako obnovimo okomice u točkama A I A? prije nego što se presjeku, možete dobiti bod A. Pri promjeni položaja osi projekcije dobivaju se različiti položaji točke u odnosu na ravnine projekcije, ali nesigurnost položaja osi projekcije ne utječe na međusobni položaj više točaka ili likova u prostoru.
3. Projekcije točke na tri projekcijske ravnine
Razmotrimo profilnu ravninu projekcija. Projekcije na dvije okomite ravnine obično određuju položaj lika i omogućuju određivanje njegove stvarne veličine i oblika. Ali postoje trenuci kada dvije projekcije nisu dovoljne. Zatim se koristi konstrukcija treće projekcije.
Treća ravnina projekcije nacrtana je tako da je okomita na obje ravnine projekcije istovremeno (slika 15). Obično se zove treći avion profil.
U takvim se konstrukcijama naziva zajednička ravna linija vodoravne i frontalne ravnine os x , zajednička pravac horizontalne i profilne ravnine – os na , a zajednička ravna linija frontalne i profilne ravnine je os z . Točka OKO, koja pripada svim trima ravninama, naziva se ishodištem.
Slika 15a prikazuje točku A i tri njegove projekcije. Projekcija na ravninu profila ( A??) se zovu projekcija profila i označavaju A??.
Da bi se dobio dijagram točke A, koji se sastoji od tri projekcije a, a, a, potrebno je izrezati trokut koji čine sve ravnine duž y-osi (sl. 15b) i spojiti sve te ravnine s ravninom frontalne projekcije. Vodoravna ravnina mora se rotirati oko osi x, a ravnina profila je oko osi z u smjeru označenom strelicom na slici 15.
Slika 16 prikazuje položaj projekcija ha, ha? I A?? bodova A, dobivena spajanjem sve tri ravnine s ravninom nacrta.
Kao rezultat rezanja, y-os se pojavljuje na dva različita mjesta na dijagramu. Na vodoravnoj ravnini (slika 16) zauzima okomiti položaj (okomito na os x), a na ravnini profila – horizontalno (okomito na os z).
Na slici 16 postoje tri projekcije ha, ha? I A?? točke A imaju strogo definiran položaj na dijagramu i podložne su nedvosmislenim uvjetima:
A I A? treba uvijek biti smješten na istoj okomitoj liniji, okomito na os x;
A? I A?? treba uvijek biti smješten na istoj horizontalnoj ravnoj liniji, okomito na os z;
3) kada se izvodi kroz horizontalnu projekciju i horizontalnu pravu te kroz profilnu projekciju A??– okomiti pravac, konstruirani pravci nužno će se sijeći na simetrali kuta između osi projekcije, jer slika Oa na A 0 A n – kvadrat.
Kod konstruiranja tri projekcije točke potrebno je provjeriti jesu li za svaku točku zadovoljena sva tri uvjeta.
4. Koordinate točke
Položaj točke u prostoru može se odrediti pomoću tri broja koji se nazivaju it koordinate. Svaka koordinata odgovara udaljenosti točke od neke ravnine projekcije.
Određena udaljenost točke A ravnini profila je koordinata x, pri čemu x = ha? ha(Sl. 15), udaljenost do frontalne ravnine je koordinata y, a y = ha? ha, a udaljenost do horizontalne ravnine je koordinata z, pri čemu z = aA.
Na slici 15 točka A zauzima širinu pravokutnog paralelopipeda, a mjere tog paralelopipeda odgovaraju koordinatama te točke, tj. svaka od koordinata prikazana je na slici 15 četiri puta, tj.
x = a?A = Oa x = a y a = a z a?;
y = a?A = Oa y = a x a = a z a?;
z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.
Na dijagramu (slika 16) x i z koordinate se pojavljuju tri puta:
x = a z a?= Oa x = a y a,
z = a x a? = Oa z = a y a?.
Svi segmenti koji odgovaraju koordinati x(ili z), međusobno su paralelne. Koordinirati na predstavljen dvaput okomitom osi:
y = Oa y = a x a
i dva puta – horizontalno:
y = Oa y = a z a?.
Ova razlika se pojavljuje zbog činjenice da je y-os prisutna na dijagramu u dva različita položaja.
Treba uzeti u obzir da je položaj svake projekcije na dijagramu određen sa samo dvije koordinate, i to:
1) horizontalno – koordinate x I na,
2) frontalni – koordinate x I z,
3) profil – koordinate na I z.
Korištenje koordinata x, y I z, možete konstruirati projekcije točke na dijagramu.
Ako je točka A dana koordinatama, njihov zapis se definira na sljedeći način: A ( X; y; z).
Pri konstruiranju projekcija točaka A moraju se provjeriti sljedeći uvjeti:
1) horizontalne i frontalne projekcije A I A? x x;
2) frontalne i profilne projekcije A? I A? moraju biti smješteni na istoj okomitoj osi z, budući da imaju zajedničku koordinatu z;
3) horizontalna projekcija i također uklonjena s osi x, poput projekcije profila A daleko od osi z, budući da projekcije ah? i eh? imaju zajedničku koordinatu na.
Ako točka leži u bilo kojoj od ravnina projekcije, tada je jedna od njezinih koordinata jednaka nuli.
Kada točka leži na osi projekcije, dvije njene koordinate jednake su nuli.
Ako točka leži u ishodištu, sve tri koordinate su nula.
|
Glagolski oblik |
Grafički oblik |
|
1. Ucrtajte odgovarajuće koordinate točke A na osi X, Y, Z. Dobivamo točke A x, A y, A z | |
|
2. Horizontalna projekcija A 1 nalazi se na sjecištu komunikacijskih linija iz točaka A x i A y povučenih paralelno s osi X i Y |
|
|
3. Frontalna projekcija A 2 nalazi se na sjecištu komunikacijskih linija iz točaka A x i A z povučenih paralelno s osi X i Z |
|
|
4. Projekcija profila A 3 nalazi se na sjecištu komunikacijskih linija iz točaka A z i A y povučenih paralelno s osi Z i Y |
|
3.2. Položaj točke u odnosu na ravnine projekcije
Položaj točke u prostoru u odnosu na ravnine projekcija određen je njezinim koordinatama. Koordinata X određuje udaljenost točke od ravnine P 3 (projekcija na P 2 ili P 1), koordinata Y određuje udaljenost od ravnine P 2 (projekcija na P 3 ili P 1), koordinata Z određuje udaljenost od ravnine P 1 (projekcija na P 3 ili P 2). Ovisno o vrijednosti tih koordinata, točka može zauzimati i opći i poseban položaj u prostoru u odnosu na ravnine projekcije (sl. 3.1).
Riža. 3.1. Klasifikacija bodova
TbodovaOpćenitoodredbe. Koordinate generičke točke nisu jednake nuli ( x≠0, g≠0, z≠0 ), a ovisno o predznaku koordinate, točka se može nalaziti u jednom od osam oktanata (tablica 2.1).
Na sl. 3.2 daje crteže točaka u općem položaju. Analiza njihovih slika omogućuje nam da zaključimo da se nalaze u sljedećim oktantima prostora: A(+X;+Y; +Z( Ioktant;B(+X;+Y;-Z( IVoktant;C(-X;+Y; +Z( Voctant;D(+X;+Y; +Z( IIoktant.
Točke posebnog položaja. Jedna od koordinata u točki određenog položaja jednaka je nuli, tako da projekcija točke leži na odgovarajućem projekcijskom polju, a druge dvije - na osi projekcije. Na sl. 3.3 takve točke su točke A, B, C, D, G.A P 3, tada je točka X A = 0; U P 3, zatim točka X B = 0; S P 2, tada je točkaY C =0;D P 1, tada točka Z D = 0.
Točka može pripadati dvjema ravninama odjednom ako leži na presjecištu tih ravnina - osi projekcije. Za takve točke samo koordinata na ovoj osi nije nula. Na sl. 3.3 takva točka je točka G(G OZ, zatim točka X G =0,Y G =0).
3.3. Relativni položaj točaka u prostoru
Razmotrimo tri mogućnosti relativnog rasporeda točaka ovisno o omjeru koordinata koje određuju njihov položaj u prostoru.
Na sl. 3.4 točke A i B imaju različite koordinate.
Njihov relativni položaj može se procijeniti njihovom udaljenošću od ravnina projekcije: Y A >Y B, tada se točka A nalazi dalje od ravnine P 2 i bliže promatraču nego točka B; Z A >Z B, tada se točka A nalazi dalje od ravnine P 1 i bliže promatraču nego točka B; X A Na sl. 3.5 prikazane su točke A, B, C, D, kojima je jedna od koordinata ista, a druge dvije različite. Njihov relativni položaj može se procijeniti njihovom udaljenošću od ravnina projekcije na sljedeći način: Y A =Y B =Y D, tada su točke A, B i D jednako udaljene od ravnine P 2, a njihove horizontalne i profilne projekcije nalaze se redom na ravnim linijama [A 1 B 1 ]llOH i [A 3 B 3 ] llOZ. Geometrijski položaj takvih točaka je ravnina paralelna s P2; Z A =Z B =Z C, tada su točke A, B i C jednako udaljene od ravnine P 1, a njihove frontalne i profilne projekcije nalaze se redom na pravcima [A 2 B 2 ]llOH i [A 3 C 3 ] llOY. Geometrijsko mjesto takvih točaka je ravnina paralelna s P 1; X A =X C =X D, tada su točke A, C i D jednako udaljene od ravnine P 3 i njihove horizontalne i frontalne projekcije nalaze se redom na pravim linijama [A 1 C 1 ]llOY i [A 2 D 2 ]llOZ . Geometrijski položaj takvih točaka je ravnina paralelna s P3. 3. Ako točke imaju jednake dvije istoimene koordinate, tada se nazivaju natječući se. Konkurentske točke nalaze se na istoj liniji projekcije. Na sl. 3.3 postoje tri para takvih točaka za koje je: X A = X D ; Y A = Y D; Z D > Z A; X A = X C; Z A = Z C; Y C > Y A ; Y A = Y B; Z A = Z B; X B > X A . Postoje horizontalno konkurentne točke A i D, koje se nalaze na horizontalnoj projiciranoj liniji AD, frontalno konkurentne točke A i C, koje se nalaze na čeonoj projiciranoj liniji AC, profilne konkurentne točke A i B, koje se nalaze na profilnoj projiciranoj liniji AB. Zaključci o temi 1. Točka je linearna geometrijska slika, jedan od osnovnih pojmova nacrtne geometrije. Položaj točke u prostoru može se odrediti njezinim koordinatama. Svaku od tri projekcije točke karakteriziraju dvije koordinate, njihova imena odgovaraju nazivima osi koje tvore odgovarajuću ravninu projekcije: vodoravna - A 1 (XA; YA); frontalni – A 2 (XA; ZA); profil – A 3 (YA; ZA). Prijevod koordinata između projekcija provodi se pomoću komunikacijskih linija. Koristeći dvije projekcije, možete konstruirati projekcije točke koristeći koordinate ili grafički. 3. Točka u odnosu na projekcijske ravnine može zauzimati i opći i pojedini položaj u prostoru. 4. Točka općeg položaja je točka koja ne pripada niti jednoj ravnini projiciranja, tj. leži u međuprostoru ravnina projiciranja. Koordinate generičke točke nisu jednake nuli (x≠0,y≠0,z≠0). 5. Točka određenog položaja je točka koja pripada jednoj ili dvjema projekcijskim ravninama. Jedna od koordinata u točki određenog položaja jednaka je nuli, tako da projekcija točke leži na odgovarajućem polju ravnine projekcije, a druge dvije - na osi projekcije. 6. Konkurentske točke – točke čije se istoimene koordinate poklapaju. Postoje horizontalno konkurentne točke, frontalno konkurentne točke, profilne konkurentne točke. Ključne riječi Koordinate točke Opća točka Privatna točka Natjecateljski bodovi Metode aktivnosti potrebne za rješavanje problema – konstrukcija točke prema zadanim koordinatama u sustavu triju projekcijskih ravnina u prostoru; – konstrukcija točke prema zadanim koordinatama u sustavu triju ravnina projekcije na složenom crtežu. Pitanja za samotestiranje 1. Kako se uspostavlja veza između položaja koordinata na složenom crtežu u sustavu triju ravnina projekcija P 1 P 2 P 3 s koordinatama projekcija točaka? 2. Koje koordinate određuju udaljenost točaka od horizontalne, frontalne, profilne projekcijske ravnine? 3. Koje koordinate i projekcije točke će se promijeniti ako se točka pomakne u pravcu okomitom na profilnu ravninu projekcija P 3? 4. Koje koordinate i projekcije točke će se promijeniti ako se točka pomakne u pravcu paralelnom s osi OZ? 5. Koje koordinate određuju horizontalnu (frontalnu, profilnu) projekciju točke? 7. U kojem slučaju se projekcija točke poklapa sa samom točkom u prostoru i gdje se nalaze druge dvije projekcije te točke? 8. Može li točka pripadati trima ravninama istovremeno i u kojem slučaju? 9. Kako se zovu točke čije se istoimene projekcije poklapaju? 10. Kako odrediti koja je od dviju točaka bliža promatraču ako im se frontalne projekcije poklapaju? Zadaci za samostalno rješavanje 2. Konstruirati projekcije točaka A i B prema njihovim koordinatama na vizualnoj slici i složenom crtežu: A(13,5; 20), B(6,5; –20). Konstruirajte projekciju točke C, koja se nalazi simetrično na točku A u odnosu na frontalnu ravninu projekcija P 2. 3. Konstruirajte projekcije točaka A, B, C prema njihovim koordinatama na vizualnoj slici i složenom crtežu: A(–20; 0; 0), B(–30; -20; 10), C(–10, –15, 0 ). Konstruirajte točku D koja se nalazi simetrično u odnosu na točku C u odnosu na os OX. Primjer rješavanja tipičnog problema Zadatak 1. Date su X, Y, Z koordinate točaka A, B, C, D, E, F (tablica 3.3)
Članci na temu
